Использование прикладной среды MS Excel для решения задач из курса "Математика"

При нажатии клавиши Ввод в ячейку заносится результат вычислений по введенной формуле. Ячейка, содержащая формулу, называется вычисляемой.

Формула связывает значения, расположенные в разных ячейках. Чтобы использовать данные из других ячеек, надо указать в формулах ссылку на их адрес (таблица 9).

Ввод понятия "встроенная функция"

Во время объяснения составьте таблицу некоторых встроенных функций и формы их записи в изучаемой среде (таблица 11), поясните применение функций на примерах (таблица 10).

Приводите только те функции, которые будут понятны в данной возрастной группе. Так, например, не следует говорить о тригонометрических и логарифмических функциях.

Таблица 10 Примеры использования встроенных функций

Исходные данные	Применение	Результат
Ячейка	Данные
A1	53361	=КОРЕНЬ(А1)	231
A2	-25,1	=ABS(A2)	25,1
A3	54	=A3/B3	5,4
B3	10	=ЦЕЛОЕ(А3/B3)	5
A4	425
B4	238	=НОД(А4, B4)	17
A5	9
B5	4
A6	21	=A5*A6*B5*B6	27216
B6	36	=НОК(А5:В6) =СУММ(А1:А6)	252 53844,9
A7	11.10.1951	=ДЕНЬ(А7) =МЕСЯЦ(А7) =ГОД(А7)	11 10 1951

Таблица 11 Встроенные функции Excel

Функции	Вид записи	Назначение
Математические	КОРЕНЬ(…) ABS(…) ЦЕЛОЕ(…) ПИ( ) НОД(…) НОК(…) СЛЧИС( )	Вычисление квадратного корня Вычисление абсолютного значения (модуля) числа Округление числа или результата выражения, указанного в скобках, до ближайшего меньшего (!) целого Значение математической константы "ПИ" (3,1415926…) Наибольший общий делитель нескольких чисел Наименьшее общее кратное нескольких чисел Вычисление случайного числа в промежутке между 0 и 1
Статистические	МИН(…) МАКС(…) СРЕДНЕЕ(…) СУММ(…)	Определение минимального из указанных чисел Определение максимального из указанных чисел Определение среднего из указанных чисел Определение суммы указанных чисел
Дата и время	СЕГОДНЯ( ) МЕСЯЦ(дата) ДЕНЬ(дата) ГОД(дата)	Значение сегодняшней даты в виде даты в числовом формате Вычисление порядкового номера месяца в году по указанной дате Вычисление порядкового номера дня в году по указанной дате Вычисление года по указанной дате
Логические	И (условие1; Условие2;…) ИЛИ (условие1; Условие2;…) ЕСЛИ (условие; знач_ИСТИНА; Знач_ЛОЖЬ)	Вычисление значения (ИСТИНА, ЛОЖЬ) логической операции И Вычисление значения (ИСТИНА, ЛОЖЬ) логической операции ИЛИ Вычисление значения в зависимости от выполнения условия

Правило копирования формул

Важнейшей функцией среды табличного процессора является возможность копирования формул в другие ячейки [23, c. 115].

Предварительно следует ввести понятие однотипной формулы на примере следующей задачи.

Задание 1. Стоимость электроэнергии

Заданы стоимость 1 кВт-ч электроэнергии и показания счетчика за предыдущий и текущий месяцы (рисунок 4). Необходимо вычислить расход электроэнергии за прошедший период и стоимость израсходованной электроэнергии.

При объяснении условия задачи поясните, что такое счетчик электроэнергии, как вычисляется расход и стоимость.

Нарисуйте на доске фрагмент таблицы (5 строк), приведенной на рисунке 2. Сначала обсудите и запишите на доске, как выглядят формулы в ячейках столбца D. Объясните, что такие формулы называются однотипными. Сформулируйте правило составления всех этих формул: вычесть из ячейки столбца С, находящейся в этой же строке, значение ячейки из столбца В, находящейся в этой же строке.

Рис. 2. Расчет стоимости электроэнергии

Далее объясните, что в таблице может быть очень много строк и, чтобы не вводить в каждую ячейку формулу (это очень утомительная и трудоемкая работа), можно скопировать формулу-образец в эти ячейки. При этом среда сама определит, значения каких ячеек следует использовать в формуле.

Обратите внимание, что при копировании среда сама определит вид формулы в копируемой ячейке и вычислит ее значение.

Затем обсудите и запишите на доске, как выглядят формулы в ячейках столбца Е.

Вариант диалога:

вопрос: "Можно ли считать эти формулы однотипными?";

ответ: "Да";

вопрос: "Сформулируйте правило вычисления значений в столбце Е";

ответ: "Умножить значение из ячейки столбца С, находящейся в этой же строке, на значение из ячейки В1";

вопрос: "Если мы скопируем формулу из ячейки ЕЗ в нижние ячейки, как будет выглядеть формула в ячейке Е4?".

Примечание. Мнения по этому вопросу могут разделиться. Одни ученики приведут формулу =D4*B1 (исходя из здравого смысла), другие - D4*B2 (исходя из правил копирования формулы), третьи сразу заметят несогласованность их знаний о правилах копирования формулы и здравого смысла [24, c. 132].

Учитель объясняет, что при копировании такой формулы среда должна как-то "догадаться", что адрес В1 менять не надо.

Ввод понятий относительной и абсолютной ссылок

В среде табличного процессора существует несколько видов ссылок, различающихся по форме записи адреса ячейки: относительные, абсолютные и смешанные (таблица 12).

Таблица 12 Виды ссылок

Название	Запись	При копировании	Технология ввода
Относительная	СЗ	Меняется в соответствии с новым положением ячейки	Щелкнуть в ячейке
Абсолютная	$C$3	Не меняется	Щелкнуть в ячейке.
Смешанная	C$3 $C3	Не меняется номер строки Не меняется имя столбца	Нажимать F4 до преобразования адреса к нужному виду

При копировании формул программа сама изменит относительные ссылки в соответствии с новым положением вычисляемой ячейки. Абсолютные ссылки программа оставит без изменения. У смешанного адреса меняться будет только одна часть (не отмеченная знаком $).

Обсудите, как должна выглядеть формула в ячейке ЕЗ в задаче о расчете электроэнергии, чтобы при копировании адрес В1 не менялся.

Для закрепления понятия рекомендуется привести несколько примеров. На рисунке приведены фрагменты таблицы с введенными исходными данными и формулами. Требуется определить, как преобразуется та или иная формула при копировании в нижние ячейки или в соседние по горизонтали или в любую произвольную ячейку электронной таблицы.

Вычисление по формулам.

В начале урока следует выполнить несколько простейших заданий по вводу данных и вычислений по формулам [38, c. 210].

Пример:

1) в ячейку А1 ввести дату своего рождения;

2) посмотреть различные форматы представления даты (Формат - Ячейки), а также перевести дату в числовой тип;

3) в ячейку А2 ввести сегодняшнюю дату;

4) в ячейке A3 вычислить количество прожитых дней по формуле =А2-А1. Результат может оказаться представленным в виде даты; тогда его следует перевести в числовой тип.

После этого учащиеся выполняют задание 1. После выполнения задания объясните учащимся, что такое вычисляемая ячейка. Для этого предложите по очереди щелкнуть в ячейках ЕЗ:Е8 и просмотреть, что записано в ячейке, а что в строке ввода. Обратите также внимание на то, как выглядят формулы в ячейках Е4:Е8, куда они были скопированы по образцу. Очень важно показать, что среда сама определяет адреса ячеек в копируемых формулах.

Предложите выполнить пункты задания 1 применительно к летнему расписанию. Далее следует предложить несколько заданий для самостоятельного выполнения.

Для того чтобы учащиеся сосредоточились на создании формул и организации вычислений, следует предварительно создать файл с исходными данными к задачам. Учащиеся должны открыть этот файл, скопировать данные и вставить в свой документ. Желательно, чтобы в задаче было много строк для вычисления, чтобы у учащихся не возникло желания вводить формулу в каждую расчетную ячейку [38, c. 215].

Примеры заданий для самостоятельной работы

Задание 2. Расчет стоимости покупки

Заданы названия продуктов, цена продукта и количество купленного товара (рисунок 3). Вычислить стоимость каждого продукта и общую сумму покупки.

Примечание. Для подготовки файла можно использовать магазинный чек с большим количеством покупок.

Рис. 3. Расчет стоимости покупки

Задание 3. Построение календаря на месяц

Составить календарь на текущий месяц, год (рисунок 4).

Рис. 4. Построение календаря

Здесь важно заметить, что формулу из ячейки СЗ надо копировать вправо, а формулу из ячейки С4 - вниз и вправо.

Примечание. В этой задаче можно показать, что в среде табличного процессора можно автоматически заполнить дни недели (потянув за маркер автозаполнения) [34, c. 95].

Использование в формулах встроенных функций.

В ходе урока рекомендуется предложить учащимся выполнить вычисления с использованием встроенных функций, рассмотренных на предыдущих уроках.

Далее учащиеся решают задачу о расчете возраста учащихся.

Задание 4. Возраст учащихся

Задан список учащихся и даты их рождения (рисунок 5). Вычислить возраст учащихся. Определить, кто родился раньше (позже), кто самый старший (самый младший). Исходные данные должны быть приготовлены заранее в отдельном файле:

-в ячейку D3 записать формулу "ГОД(СЕГОДНЯ()-СЗ))-1900;

-в ячейку С24 записать формулу =МИН(СЗ:С23);

-в ячейку D24 записать формулу =MИH(D3:D23);

-в ячейку С25 записать формулу =МАКС(СЗ:С23);

-в ячейку D25 записать формулу =MИH(D3:D23).

После выполнения задания рекомендуется обсудить с учащимися результаты расчетов, обратить внимание на применение функции МИН( ) и MAKC( ) к датам и числам.

Рис. 5. Список учащихся

При применении функции МИН() к столбцу Дата рожд. результатом будет дата рождения того, кто родился раньше всех, то есть самого старшего. А при применении функции МИН() к столбцу Возраст результатом будет возраст самого младшего.

Вычисления с использованием в формулах относительных, абсолютных и смешанных ссылок.

Перед выполнением практической работы рекомендуется вспомнить виды ссылок и технологию их использования в формулах. Далее ученики выполняют задачу о расчете стоимости электроэнергии. Для выполнения работы необходимо заранее подготовить файл с исходными данными [20, c. 55].

Очень часто учащиеся вместо вставки адреса приемом "щелкнуть в ячейке" вводят этот адрес "вручную". Этого не рекомендуется делать по следующим причинам.

-увеличивается время на поиск нужной буквы, на переключение с русского на английский язык;

-набор вручную не способствует пониманию смысла формулы: ученики механически переписывают адрес и могут не заметить, что, возможно, в их таблице те же данные расположены в других ячейках, в то время как прием "щелкнуть в ячейке" означает "взять отсюда" и не требует даже определения буквенно-цифрового обозначения;

-если буква столбца набрана схожей русской буквой, это приведет к ошибке, которую не всегда легко распознать;

Предложите записать в тетради и выучить правило ввода ссылки в формулу.

Для ввода ссылки в формулу необходимо выполнить следующие действия:

1) в строке ввода формулы установить курсор в то место, где должна быть ссылка (адрес ячейки);

2) щелкнуть в ячейке, на адрес которой должна указывать ссылка в формуле.

Для закрепления освоенных приемов предложите выполнить самостоятельно другие задачи.

Задание 5. Движение автомобиля

Автомобиль едет с постоянной скоростью. Рассчитать путь, пройденный за определенные промежутки времени (рисунок 6). Время увеличивается на одну и ту же величину.

Рис. 6. Расчет пути движения автомобиля

В этой задаче необходимо объяснить, как составляется формула для расчета следующего момента времени по предыдущему [23, c. 145].

Задание 6. Стоимость подписки

Задана стоимость подписных изданий, количество выпусков в месяц и цена одного номера (рисунок 7). Требуется рассчитать, сколько стоит подписка на журнал на 1, 2 и т. д. месяца.

Для выполнения задания необходимо заранее приготовить файл с исходными данными:

-в ячейку Е2 записать формулу =02+1;

-в ячейку D3 записать формулу =ВЗ*СЗ;

-в ячейку ЕЗ записать формулу =$D3*E$2 (скопировать формулу вправо).

Скопировать диапазон в нижние ячейки.



Рис. 7. Расчет стоимости подписки

Задание 7. Арифметическая прогрессия

Заданы первый член арифметической прогрессии , и разность q. Построить таблицу, в которой вычисляется порядковый номер i следующих членов арифметической прогрессии, значение каждого члена и сумма всех членов S:

, .

Примечание. Эту задачу можно предложить учащимся, знакомым с понятием арифметической прогрессии. После выполнения расчетов предложите учащимся отформатировать таблицы расчетов.

Рис. 8. Расчет членов арифметической прогрессии

Логические функции

Повторение изученных технологических приемов. В начале урока учитель проводит устный опрос по технологии работы в среде табличного процессора.

1) как запускается среда табличного процессора?

2) назовите объекты электронной таблицы и правила их именования;

3) какие типы данных вы знаете?

4) как изменить тип данных?

5) какие формы записи даты и времени вы знаете?

6) чтобы ввести исходные данные в ячейку таблицы, надо...

7) чтобы исправить данные в ячейке, надо...

8) где осуществляется редактирование данных?

9) чтобы изменить ширину столбца, надо...

10) как переместить данные из одной ячейки в другую?

11) чтобы ввести формулу в ячейку, надо...

12) в ячейках электронной таблицы А1:СЗ записаны числа. Запишите по правилам среды табличного процессора формулу вычисления арифметического выражения:

Ответ: =(А1 + С1)/(А2*С2) или =(А1 + С1)/А2/С2;

13)в ячейках электронной таблицы А1:СЗ записаны числа. Запишите по правилам среды табличного процессора формулу вычисления арифметического выражения:

Ответ: =(А1 + В1/С1)/(А2 + С2);

14)в ячейках электронной таблицы А1:СЗ записаны числа. Запишите по правилам среды табличного процессора формулу вычисления арифметического выражения:



Ответ: =А1/В1+(В1+В2)/С2*СЗ;

15) как скопировать формулу из одной ячейки в диапазон других ячеек?

16) как ввести адрес ячейки в формулу?

17) какие типы ссылок вы знаете?

18) в чем разница между относительными и абсолютными ссылками?

19) в ячейке СЗ записана формула =ВЗ*$С$1. Как будет выглядеть копия этой формулы в ячейке СЮ?

Знакомство с логическими функциями и их использованием.

Для освоения назначения логических функций следует обсудить несколько примеров их использования. К этому моменту учащиеся должны быть знакомы с основными логическими операциями: И, ИЛИ, НЕ. Первые навыки работы с логическими условиями учащиеся получают еще в 7-м классе при работе в среде программирования. В рамках изучения среды электронных таблиц проводится дальнейшее развитие умений использования этих операций. Сначала рекомендуется записать виды логических функций в общую таблицу. При рассмотрении примеров использования логических функций надо отталкиваться от простейших примеров и далее переходить к более сложным.

Таблица 13 Примеры применения логических функций

Ячейка	Значение	Функция	Результат	Вопросы для обсуждения
Простые логические условия
А1	5	=А1>0	ИСТИНА	При каких других данных в ячейке А1 значение условия будет истинным? Ответ: При любых положительных
А2	-1	=A2>0	ЛОЖЬ	При каких других данных в ячейке А2 значение условия будет ложным? Ответ: При любых отрицательных и нуле
А3	0	=A3>0	ЛОЖЬ	Почему значение ЛОЖЬ?
А4	0	=A4>=0	ИСТИНА	Почему значение ИСТИНА?
Сложные логические условия
А5	-3	=ИЛИ(А5<-10; A5>10	ЛОЖЬ	При каких других данных в ячейке А5 значение условия будет истинным? Ответ: (-; -10) и (10; )
А6	-10	=ИЛИ(А6>=-10; A6<=10	ИСТИНА	При каких других данных в ячейке А6 значение условия будет истинным? Ответ: при любых
A7	-4	=И(A7>-5; A4<5)	ИСТИНА
Логическая функция ЕСЛИ
А8	5	=ЕСЛИ(A8>0; 1;0)	1
A9	0	=ЕСЛИ(A9>0; "ДА"; "НЕТ")	НЕТ
A10	8	=ЕСЛИ(ИЛИ(А10<=10; A7>=0) A10*2; A10*5)	16	Приведите примеры значений в ячейках А10 и А7, при которых будет вычисляться выражение А10*5. Ответ: Например, А10=11, А7=-4
Использование вложенных функций ЕСЛИ
А11	Есть	=ЕСЛИ(А11="Есть"; А10-А9; ЕСЛИ(А8>0; A10/A8; "Нет"	8	Рассмотреть, какие будут результаты формулы при других данных в ячейках А11, А10, А9, А8

При объяснении использования вложенных функций ЕСЛИ рекомендуется нарисовать блок-схему работы функции. Например, на рисунке 9 представлена блок-схема, реализующая функцию ЕСЛИ(А11="Есть"; А10-А9; ЕСЛИ(А8>0; АЮ/А8; "Нет") [42, c. 226].

Рис. 9. Блок-схема, реализующая функцию ЕСЛИ

Использование в вычислениях логических функций.

Урок проводится в компьютерном классе. В первой части урока предложите учащимся выполнить вычисления с использованием логических функций, рассмотренных на прошлом уроке [36, c. 84].

Можно предложить учащимся индивидуальные карточки с аналогичными примерами. Задание: сначала спрогнозировать результат, записать его на листке (или в тетради), а затем ввести формулы в электронную таблицу и проверить правильность своих предположений.

Можно использовать форму взаимной проверки. Сначала ученики записывают результат на листках, потом меняются карточками с заданиями и листками с ответами и проверяют правильность результатов с использованием среды табличного процессора.

Задание 8. Оценка за четверть

На основании выписки из журнала успеваемости по одному предмету (рисунок 12) необходимо вычислить средний балл и составить столбец четвертных оценок, округлив средний балл в большую (если десятичная часть больше 0,5) или в меньшую (если десятичная часть меньше 0,5) сторону:

-в ячейку I3 записать формулу -СРЕДНЕЕ(СЗ:НЗ);

-в ячейку J3 записать формулу =ЕСЛИ(13-ЦЕЛОЕ(13)<0,5; ЦЕЛОЕ(13); ЕЛОЕ(13)+1).

Рис. 10. Журнал учета успеваемости

Задание 9. Квартплата

Задано количество человек, проживающих в квартире, полезная площадь, наименование коммунальных услуг, их цена (рисунок 11). Эти данные используются для расчета квартплаты. Расчет стоимости каждой услуги осуществляется в зависимости от кода (столбец С):

-если Код="пл", то надо умножить цену услуги на полезную площадь квартиры;

-если Код="чел", то надо умножить цену услуги на количество проживающих в квартире человек.

Рис. 11. Расчет квартплаты

В ячейку D5 надр записать формулу: -ЕСЛИ(С5="пл"; В5*$С$3; ЕСЛИ(С5-"чел"; В5*$С$2; 85)).

Во всех остальных случаях надо умножить цену услуги на единицу (то есть стоимость и цена в этом случае совпадают).

Для выполнения задания должен быть подготовлен файл с исходными данными.

Выполнение расчетов в среде электронных таблиц.

На этом уроке учащиеся выполняют самостоятельную комплексную работу по использованию встроенных функций, всех видов ссылок, логических функций по заданию практикума [36, c. 165].

Можно также предложить выполнить и другие задачи из предложенных выше, которые не были выполнены на предыдущих занятиях.

Форматирование табличного документа

Основные возможности форматирования данных в среде табличного процессора

Перед выполнением практического задания необходимо рассказать о возможностях форматирования электронной таблицы. Однако во время обсуждения надо конкретизировать эти сведения применительно к среде, с которой учащиеся работают на практике (Works или Excel).

Прежде всего, необходимо отметить, что все команды для форматирования документа расположены в меню Формат, как и в среде текстового процессора. Основная из этих команд - Формат > Числа для Works и Формат > Ячейки для Excel. Окна этих команд в обеих программах очень похожи. Они содержат вкладки, каждая из которых посвящена одному из видов действий по форматированию. Назначение вкладок в основном понятно. Обратите внимание, что на вкладке Вид (в Excel) представлены возможности заливки ячеек цветом и узором, хотя это не очевидно из ее названия. Предложите учащимся выполнить команду Формат > Ячейки и рассмотрите вместе содержимое вкладок окна. Учащиеся, возможно, уже использовали команду Формат > Ячейки при выполнении предыдущих заданий, поэтому в некоторой степени она им знакома.

Рис. 12. Окно команды Формат > Ячейки среды Works



Рис. 13. Окно команды Формат > Числа среды Excel

Прежде всего, необходимо подчеркнуть разницу между форматом и типом данных. Формат отражает смысловое значение данных, а тип - внешнее представление, способ записи. Рекомендуется вспомнить известные форматы и типы данных и дополнить таблицу форматами Общий, Денежный, Экспоненциальный.

Для освоения форматов и типов данных можно предложить выполнить следующее задание [37, c. 121].

1) ввести несколько чисел;

2) установить у чисел различные типы: фиксированный, экспоненциальный;

3) ввести несколько дат;

4) установить у каждой даты свой тип;

5) ввести несколько показаний времени;

6) изменить тип показаний;

7) исследовать, в каких случаях среда не распознает тип данных и как в этом случае она их интерпретирует.

Обсуждение вкладки Выравнивание также полезно начать с известных видов выравнивания и остановиться на новых видах.

При использовании выравнивания полезно придерживаться следующих рекомендаций:

-для ячеек текстового формата применять текстовые виды выравнивания: влево, вправо, по центру, по ширине;

-для ячеек других форматов применять выравнивание по значению (оно устанавливается автоматически);

-для выравнивания заголовков по ширине нескольких столбцов применять выравнивание по центру выделения.

Другие вкладки также рекомендуется обсудить в сравнении с аналогичными возможностями в текстовом процессоре.

Примечание. Среда Excel, предназначенная для профессиональной работы, предоставляет и другие возможности форматирования табличного документа, которые в школьном курсе не обсуждаются.

Выполнение задания на форматирование табличного документа

Перед началом выполнения работы обсудите, что требуется выполнить в задании. Поскольку некоторые команды, выполняемые в задании, описаны применительно к среде Works, обсудите, как выполнить аналогичные команды в среде Excel. Некоторые команды имеют разные названия, а действия различаются по способу выполнения [20, c. 189].

После выполнения задания предложите провести форматирование других задач, выполненных на предыдущих занятиях.

Объектный подход к диаграмме как форме представления данных табличного документа.

Урок проводится в теоретическом классе.

Повторение изученного материала

В качестве повторения можно провести небольшую письменную самостоятельную работу по заданиям, рассмотренным на предыдущих занятиях.

Примеры вопросов для повторения:

1) в ячейках А1:А1500 записаны заданные числа. Опишите технологию ввода формул в ячейки В2:В1500, в которых значения вычисляются по формулам ;

2) образец формулы в ячейке D4 имеет вид: =С4+$А$1*В4. При помощи автозаполнения формулу распространили на ячейки D5:D100. Какая формула будет записана в ячейке D15?

3) вопросы на определение результата условия или выполнения логической функции;

4) какие данные из приведенных в таблице 14 будут распознаны средой табличного процессора как число, дата, время, процент, а какие - нет, и почему?

Таблица 14 Примеры форматов данных

Формат	Распознает	Не распознает	Причина
Число	015 +1001,99	-0, 15	В числе есть пробел
Число		-157,1	В числе есть пробел
Время	00:01	00:01:81	Не может быть 81 секунда
Дата	31.05.2000	31.06.2000	Не бывает 31 июня
Дата	02.09.8359	02.09.8359.	После года поставлена точка
Дата	1.09.8
Процент	20%
Текст	Сентябрь 20032

5)если в ячейку ввели число 2, а затем преобразовали формат ячейки в процентный, что в ней будет написано?

Ответ: 200%.

6)как выглядят в экспоненциальной форме числа 0,00000734; 50000? Ответ: 7,34Е-06; 5.00Е+04.

Ввод понятия "диаграмма"

При объяснении материала полезно вспомнить о компьютерной графике и способах ее создания: растровая и векторная графика, программируемая графика. Одним из видов графики являются диаграммы [19, c. 263].

Рекомендуется привести примеры диаграмм различных видов, например раздать карточки с диаграммами из газет, журналов. Можно вспомнить, что очень часто диаграммы показывают и по телевизору, например в игре "Кто хочет стать миллионером?".

Если есть возможность, можно воспроизвести в увеличенном виде (с использованием мультимедийного проектора) примеры наиболее часто используемых диаграмм: гистограмма (столбцовая диаграмма), круговая диаграмма, график (один или несколько). Если такой возможности нет, рекомендуется раздать карточки с одинаковыми диаграммами для обсуждения их вида. Далее учитель обсуждает с учениками примеры диаграмм (рисунок 14).

Рис. 14. Диаграмма "Увлечения подростков": а - линейчатая (гистограмма), б - круговая

Вопросы для диалога:

1) какая информация представлена на диаграмме?

2) как вы это определили?

3) как можно представить эту информацию в табличном виде?

4) чем больше всего увлекаются подростки?

5) чем меньше всего увлекаются?

6) какие объекты можно выделить на диаграмме?

7) что указано на горизонтальной оси гистограммы?

8) что указано на вертикальной оси гистограммы?

Обобщая результаты обсуждения, учитель называет основные объекты диаграммы и обсуждает с учениками параметры этих объектов

Создание и настройка диаграмм.

Урок проводится в компьютерном классе. Учащиеся выполняют задание из практикума [19, c. 264].

Следует отметить, что технология построения и форматирования диаграмм для электронных таблиц Works и Excel существенно отличается. В практикуме описана технология применительно к среде Works. Если вы работаете в среде Excel, то следует выполнять задание таким образом: учитель объясняет, что и как надо сделать, ученики выполняют.

Тем, кто успешно справился с работой, можно предложить дополнительные задания.

Дополнительные задания

1) построить диаграмму (гистограмму или круговую диаграмму) распределения стоимости коммунальных услуг;

2) построить диаграмму (график) пути, пройденного автомобилем в зависимости от времени;

3) построить диаграмму (гистограмму или круговую) израсходованной электроэнергии по квартирам.

Построение графиков функций

Выполнение этой работы необходимо согласовать с программой по математике. Если учащиеся не изучали параболическую функцию, используемую в задаче, можно построить график линейной функций.

График функции - это кривая линия на координатной плоскости, показывающая зависимость координаты у от координаты х. На практике, как правило, график функции строят по точкам. Для этого сначала строят таблицу значений и . Значения выбирают на некотором промежутке [,] и изменяют их не произвольно, а увеличивая на одно и то же значение, называемое шагом. Значение у вычисляется в зависимости от вида функции, например ,. Чем больше взято для расчета промежуточных значений х, тем точнее будет полученный график. На рисунке 15 представлены графики одной и той же функции, но в первом случае (рисунке 15, а) шаг изменения большой, во втором (рисунке 15, б) - намного меньше.

Электронные таблицы освобождают человека от утомительных расчетов значений по одной и той же формуле для большого числа значений .

Для построения графика функции необходимо сначала построить таблицу из двух столбцов: аргументы и значения функции . Значения увеличиваются начиная с (начальное значение) на одну и ту же величину. Обозначим ее .

Таким образом, каждое следующее значение получается из предыдущего по формуле.

Эту формулу следует читать так: "Следующее значение равно предыдущему значению плюс шаг ". Такая формула позволяет организовать автоматический расчет значений по однотипным формулам. Значения также вычисляются по однотипным формулам [17, c. 65].

Рис. 15. Графики функции с большим (а) и маленьким (б) шагом изменения аргумента

Задание 11. Построение одиночного графика функции

Вычислить значения функции = на промежутке [-3; 3] с шагом изменения = 0,5 (рисунок 18) при = 1. Построить график функции (рисунок 19).



Ячейка	Формула	Пояснение
А7	=B3	Начальное значение х нач
А8	=А7+$В$4	Следующее значение х
В7	=$В$2*А7*А7	Значение функции

Технология работы:

1) ввести исходные данные;

2) ввести формулы;

3) заполнить вниз аналогичными формулами ячейки столбцов и ;

4) построить график функции и отформатировать его.

Рис. 16. Расчетная таблица значений функции = при

Рис. 17. График функции =

Задание 10. Построение серии графиков функции

Построить серию графиков функции = для значений а, равных -2; -1; -0,5; 0,5; 1; 2, на промежутке [-3; 3] с шагом изменения d = 0,5 (рисунок 20). Сделать вывод, как меняется вид графика в зависимости от значения коэффициента [18, c. 165].

Для выполнения этого задания можно использовать таблицу, построенную в предыдущем задании (рисунок 16), но при этом немного изменить вид расчетной таблицы. В строке 6 следует добавить заголовки расчетных столбцов, а также изменить вид формулы:

Адрес	Формула	Пояснение
В7	=В$6*$A7*$A7	Значение функции

Примечание. Обсудите с учащимися вид формулы для расчета значений и тип адресов, которые используются в формуле.

Заполнить аналогичной формулой ячейки C7:G7.

Заполнить аналогичными формулами ячейки столбцов A:G начиная со строки 8.

Рис. 18. Расчетная таблица значений функции = при нескольких а

Технология построения серии графиков функций (Excel)

1) выделить диапазон ячеек, содержащий столбцы B:G, начиная со строки 6 (вместе с заголовками). Не рекомендуется включать в выделение столбец А;

2) выполнить команду Вставка > Диаграмма;

3) выбрать вид диаграммы График. Перейти на следующий шаг (кнопка Далее);

4) на вкладке Ряд установить подписи оси , выделив ячейки столбца А, начиная со строки 7. Перейти на следующий шаг (кнопка Далее);

5) в окне Этикетки ввести заголовок диаграммы и включить флажок Обозначения;

6) в окне Параметры диаграммы ввести заголовок диаграммы;

7) перейти на следующий шаг (кнопка Далее);

8) примерный вид серии графиков представлен на рисунке 19;

Рис. 19. График функции при различных а

Контрольное занятие по теме "Технология работы в среде табличного процесса" приведено в приложении Б.

3. Использование прикладной среды MS Excel для решения задач из курса "Математика"

В данном разделе нами рассмотрены темы: построение графиков; решение систем линейных уравнений; обработка экономической информации; вычисление производных и ее геометрический смысл; а также экономические задачи, решаемые с помощью производных; вычисление определенных интегралов и его геометрического смысла; числовые последовательности.

Декартова система координат. Для описания точек геометрических объектов с помощью чисел и написания уравнений задают систему координат. Существуют различные системы координат: декартова, полярная, криволинейная и другие. Будем рассматривать наиболее употребительную - декартову систему координат на плоскости [9, c. 13].

Декартова система координат, может быть прямоугольной и косоугольной. В дальнейшем будем рассматривать декартову прямоугольную систему. На плоскости это две взаимно перпендикулярные числовые оси (рисунок 20).

Рис. 20. Декартова система координат на плоскости.

Декартовыми координатами точки на плоскости называется упорядоченная пара чисел, являющихся проекциями точки на оси координат.

Запись: , где - первая координата, абсцисса, - вторая координата, ордината.

Декартова прямоугольная система координат в пространстве - это три взаимно перпендикулярные числовые оси (рисунок 21).

Рис. 21. Декартова система координат в пространстве

Декартовыми координатами точки в пространстве называется упорядоченная тройка чисел, являющихся проекциями точки на оси координат.

Запись: , где - абсцисса, - ордината, - аппликата.

Операции с матрицами.

Как и над числами, над матрицами можно проводить ряд операций, причем в случае с матрицами некоторые из операций являются специфическими.

Транспонирование

Транспонированной называется матрица , в которой столбцы исходной матрицы заменяются строками с соответствующими номерами.

В сокращенной записи, если = (), то = ().

Для обозначения транспонированной матрицы иногда используют символ "'" (A').

Транспонированием называется операция перехода от исходной матрицы к транспонированной .

Из определения транспонированной матрицы следует, что если исходная матрица Л имеет размер , то транспонированная матрица имеет размер.

Для осуществления транспонирования в Excel используется функция ТРАНСП, которая позволяет поменять ориентацию массива на рабочем листе с вертикальной на горизонтальную и наоборот.

Функция имеет вид ТРАНСП(массив). Здесь массив - это транспонируемый массив или диапазон ячеек на рабочем листе. Транспонирование массива заключается в том, что первая строка массива становится первым столбцом нового массива, вторая строка массива становится вторым столбцом нового массива и т. д. Рассмотрим это на примере.

Задача 1. Предположим, что в диапазон ячеек А1:Е2 введена матрица размера 25:

.

Необходимо получить транспонированную матрицу.

Решение:

выделите (указателем мыши при нажатой левой кнопке) блок ячеек под транспонированную матрицу (52). Например, А4:В8;

нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Ссылки и массивы, а в рабочем поле Функция - имя функции ТРАНСП (рисунок 23). После этого щелкните на кнопке ОК;

Рис. 23. Пример выбора вида функции в диалоговом окне Мастер функций

4)появившееся диалоговое окно ТРАНСП мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:Е2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). После чего нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER (рисунок 24);

Рис. 24. Пример заполнения диалогового окна ТРАНСП

5)если транспонированная матрица не появилась в диапазоне А4:В8, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне А4:В8 появится транспонированная матрица:

Вычисление определителя матрицы

Важной характеристикой квадратных матриц является их определитель. Определитель матрицы - это число, вычисляемое на основе значений элементов массива. Определитель матрицы обозначается как или [9, c. 53].

Определителем матрицы первого порядка = (), или определителем первого порядка, называется элемент а₁₁.

Определителем матрицы второго порядка = (a₁₁), или определителем второго порядка, называется число, которое вычисляется по формуле:

Произведения и называются членами определителя второго порядка.

С ростом порядка матрицы п резко увеличивается число членов определителя (n!). Например, при = 4 имеем 24 слагаемых. Существуют специальные правила, облегчающие вычисление определителей вручную, учитываются свойства определителей и т. п. При применении компьютера в использовании этих приемов нет необходимости.

В MS Excel для вычисления определителя квадратной матрицы используется функция МОПРЕД.

Функция имеет вид МОПРЕД (массив).

Здесь массив - это числовой массив, в котором хранится матрица с равным количеством строк и столбцов. При этом массив может быть задан как интервал ячеек, например, А1:СЗ; или как массив констант, например, {1;2;3:4;5;6:7;8;9}. Для массива А1:СЗ, состоящего из трех строк и трех столбцов (матрица размером 3 3), определитель вычисляется следующим образом:

(А1:СЗ) = А1 (В2 СЗ - ВЗ С2) + А2 (ВЗ С1 - В1 СЗ) +

+ АЗ (В1 С2-В2 С1).

Рассмотрим пример нахождения определителя матрицы.

Задача 2. Предположим, что в диапазон ячеек А1:СЗ введена матрица:

.

Необходимо вычислить определитель этой матрицы.

Решение:

1) табличный курсор поставьте в ячейку, в которой требуется получить значение определителя, например, в А4;

2) нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

3) в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция - имя функции МОПРЕД. После этого щелкните на кнопке ОК;

4) появившееся диалоговое окно МОПРЕД мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). Нажмите кнопку ОК (рисунок 25).

Рис. 25. Пример заполнения диалогового окна МОПРЕД В ячейке А4 появится значение определителя матрицы - б.

Решение систем линейных уравнений

Многие прикладные задачи в технике, экономике и других областях сводятся к решению системы линейных уравнений, поэтому особенно важно уметь их решать.

Система n линейных уравнений с n неизвестными

Пусть дана линейная система n уравнений с n неизвестными, где , - произвольные числа, называемые, соответственно, коэффициентами при переменных и свободными членами уравнений.

(1)

Такая запись (1) называется системой линейных уравнений в нормальной форме. Решением системы (1) называется такая совокупность чисел , при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Система уравнений совместна, если она имеет хотя бы одно решение и несовместна, если она не имеет решений.

Если совместная система уравнений имеет единственное решение, она называется определенной; напротив, система уравнений называется неопределенной, если она имеет более одного решения.

Две системы уравнений являются равносильными или эквивалентными, если они имеют одно и то же множество решений. Система, равносильная данной может быть получена с помощью элементарных преобразований системы (1).

Систему можно также записать в виде матричного уравнения:

=,(2)

где А - матрица коэффициентов при переменных, или матрица системы:

X - матрица-столбец (вектор) неизвестных:

В - матрица-столбец (вектор) свободных членов:

В развернутом виде систему (2) можно представить следующим образом:

Существует ряд методов решения системы (1), ориентированных на вычисления вручную: методы Крамера, Гаусса и т. д. Предполагая использование компьютера для проведения вычислений, наиболее целесообразно рассмотреть решение системы (1) в общем виде (метод обратной матрицы). Будем считать, что квадратная матрица системы является невырожденной, то есть ее определитель |A| = 0. В этом случае существует обратная матрица [44, c. 128].

Умножая слева обе части матричного равенства (2) на обратную матрицу , получим:

= , = ;

= ,

отсюда решением системы методом обратной матрицы будет матрица-столбец

= . (3)

Таким образом, для решения системы (2) (нахождения вектора ) необходимо найти обратную матрицу коэффициентов и умножить ее справа на вектор свободных членов. Выполнение этих операций в пакете Excel рассмотрено ранее (пример 2).

Задача 3. Пусть необходимо решить систему

Решение:

1)введите матрицу (в данном случае размера 2 2) в диапазон А1:В2

.

Вектор = (7 40) введите в диапазон С1:С2;

2)найдите обратную матрицу . Для этого:

-выделите блок ячеек под обратную матрицу. Например, выделите блок АЗ:В4(указателем мыши при нажатой левой кнопке);

-нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

-в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция - имя функции МОБР. После этого щелкните на кнопке ОК;

-появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:В2 в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

-если обратная матрица не появилась в диапазоне АЗ:В4, то следует щелкнуть указателем мыши в Строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне АЗ:В4 появится обратная матрица:

3)умножением обратной матрицы на вектор найдите вектор . Для этого:

-выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор ). Ее размерность будет т р, в данном примере 21. Например, выделите блок ячеек СЗ:С4 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

-нажать на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

-в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция имя функции - МУМНОЖ. Щелкните на кнопке ОК;

-появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон обратной матрицы - АЗ:В4 в рабочее поле Массив! (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы - С1:С2 - в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

-если вектор не появился в диапазоне СЗ:С4, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне СЗ:С4 появится вектор . Причем будет находиться в ячейке СЗ, а = -4 - в ячейке С4.

Можно осуществить проверку найденного решения. Для этого найденный вектор необходимо подставить в исходное матричное уравнение .

Проверка производится следующим образом:

1) выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор ). Ее размерность будет , в данном примере . Например, выделите блок ячеек D1:D2 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

2) нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

3) в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите Математические, а в рабочем поле Функция - имя функции МУМНОЖ. Щелкните на кнопке ОК;

4) появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон исходной матрицы - А1:В2 в рабочее поле Массив1(указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы - СЗ.С4 - в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

5) если вектор не появился в диапазоне D1:D2, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне Dl:D2 появится вектор, и, если система решена правильно, появившийся вектор будет равен исходному = (7 40).

Задача 4. Ресторан специализируется на выпуске трех видов фирменных блюд: В1, В2, ВЗ, при этом используются ингредиенты трех типов SI, S2, S3. Нормы расхода каждого из них на одно блюдо и объем расхода ингредиентов на 1 день заданы таблицей:

Таблица 15 Расход ингредиентов

Ингредиент	Нормы расхода ингредиентов на одно блюдо (у. е.) В1 В2 В3	Расход ингредиентов на 1 день (у. е.)
S1 S2 S3	5 3 4 2 1 1 3 2 2	2700 800 1600

Нужно найти ежедневный объем выпуска фирменных блюд каждого вида. Решение. Пусть ежедневно ресторан выпускаете, блюд вида В1, х₂ блюд вида В2 и - блюд вида ВЗ. Тогда в соответствии с расходом ингредиентов каждого типа имеем систему:

Решаем систему аналогично решению примера 3.

1)введите матрицу (в данном случае размера 3 3) в диапазон А1:СЗ

.

Вектор = (2700 900 1600) введите в диапазон D1:D3;

2)найдите обратную матрицу . Для этого:

-выделите блок ячеек под обратную матрицу. Например, выделите блок А4:С6 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

-нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

-в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите пункт Математические, а в рабочем поле Функция - имя функции МОБР. Щелкните на кнопке ОК;

-появившееся диалоговое окно МОБР мышью отодвиньте в сторону от исходной матрицы и введите диапазон исходной матрицы А1:СЗ в рабочее поле Массив (указателем мыши при нажатой левой кнопке). Нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

-если обратная матрица не появилась в диапазоне А4:С6, то следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне А4:С6 появится обратная матрица;

3)умножением обратной матрицы на вектор найдите вектор . Для этого:

-выделите блок ячеек под результирующую матрицу (под вектор ). Ее размерность будет m р, в данном примере 3 1. Например, выделите блок ячеек D4:D6 (указателем мыши при нажатой левой кнопке);

-нажмите на панели инструментов Стандартная кнопку Вставка функции;

-в появившемся диалоговом окне Мастер функций в рабочем поле Категория выберите пункт Математические, а в рабочем поле Функция - имя функции МУМНОЖ. Щелкните на кнопке ОК;

-появившееся диалоговое окно МУМНОЖ мышью отодвиньте в сторону от исходных матриц и введите диапазон обратной матрицы - А4: С6 в рабочее поле Массив1 (указателем мыши при нажатой левой кнопке), а диапазон матрицы В - D1:D3 введите в рабочее поле Массив2. После этого нажмите сочетание клавиш CTRL+SHIFT+ENTER;

-если вектор не появился в диапазоне D4:D6, следует щелкнуть указателем мыши в строке формул и повторить нажатие CTRL+SHIFT+ENTER.

В результате в диапазоне D4:D6 появится вектор (рисунок 26).



Рис. 26. Результаты вычислений из примера 4.

Причем = 200 будет находиться в ячейке D4, = 300 - в ячейке D5, а = 200 - в ячейке D6.

К математическому анализу относят совокупность разделов математики, посвященных исследованию функций методами дифференциального и интегрального исчислений. Обычно в курс математического анализа включают также разделы: ряды и функции комплексного переменного.

Производная

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю (если этот предел существует):

Геометрический смысл производной заключается в том, что производная есть угловой коэффициент (тангенс угла наклона а) касательной, проведенной к кривой в точке , то есть (рисунок 6).

Обычно производная характеризует скорость изменения различных функций. Например, скорость движения - это производная от пути по времени . Экономическим приложением производной, например, может быть нахождение производительности труда в момент по функции количества произведенной продукции .

С ее помощью находятся такие показатели, как предельные затраты, предельная выручка, предельный спрос, предельная производительность и др. Внешним признаком наличия связи с производной в экономических приложениях является присутствие термина "предельный".

Предельные затраты - это производная от затрат по выпуску продукции.

Предельная производительность - это производная от выпуска продукции по затратам данного ресурса.

Рис. 27. Геометрический смысл производной

Предельный спрос - это производная от спроса по цене.

Поскольку производная сама является функцией, то она также может иметь производную. Продолжая дальше, можно сказать, что производной n-го порядка называется производная от производной -го порядка. Обозначаются производные высших порядков как - второго порядка (или вторая производная), т третьего порядка (или третья производная). Для обозначения производных более высокого порядка используются арабские цифры в скобках или римские цифры .

Продифференцировать функцию (найти ее производную) можно, используя таблицу производных простейших функций и правила дифференцирования:

Таблица 16 Производные простейших функций

	0	1

Правила дифференцирования:

-производная суммы функций:

-производная суммы функций равна сумме производных

Постоянный коэффициент можно выносить за знак производной:

-производная произведения:

;

-производная дроби (частного, отношения):

-производная сложной функции:

Однако в ряде случаев простейшими правилами дифференцирования воспользоваться достаточно сложно. Например, когда функция задана таблично или получена в результате наблюдений. В этих случаях прибегают к численным методам дифференцирования.

Численное дифференцирование очень чувствительно к ошибкам, вызванным неточностью исходных данных, отбрасываемых членов ряда и т. д., и поэтому должно применяться с осторожностью.

Существуют различные формулы численного дифференцирования. Из них простейшими являются явные трехточечные формулы, в частности:

(4)

Здесь и - три последовательные точки, - достаточно малый шаг дискретизации. Погрешность вычисления производной по формуле (4) может быть оценена из выражения:

где < < . Когда экспериментальные данные зашумлены более сильно (имеют большие погрешности) используют методы дифференцирования по большему числу точек. Примером может являться так называемая формула численного дифференцирования после сглаживания:

Рассмотрим примеры численного нахождения производной.

Задача 5. Функция затрат, определенная экспериментально, имеет вид:

Объем	Затраты
1 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8 1,9 2 2,1 2,2 2,3	2,693147 2,941937 3,188457 3,432909 3,675469 3,916291 4,155511 4,393252 4,629619 4,864711 5,098612 5,331402 5,563151 5,793922

Найти предельные издержки производства при объеме выпуска .

Решение. Для решения задачи необходимо найти производную затрат по объему производства в точке. Для этого:

1)вводим в рабочий лист Excel в диапазон А1:ВЗ значения точек с объемом выпуска 1,9-2,1:

А	В
1,9 2 2,1	4,864711 5,098612 5,331402

2)в ячейку В4 вводим формулу дифференцирования (4): =(ВЗ - В1)/0,2. После нажатия клавиши Enter получаем значение производной в точке : = 2 (2333455). Отметим, что истинное значение производной в данном случае равно .

Задача 6. Найти производную функции на промежутке [0; 6,2] при шаге дискретизации = 0,2. Построить график функции и ее производной.

Решение:

1) для решения задачи, прежде всего, необходимо ввести данные в рабочую таблицу. Вводим в ячейку А1 слово аргумент. Затем в ячейку А2 - первое значение аргумента - 0 (левую границу диапазона). Далее в ячейку A3 введем второе значение: левая граница плюс шаг дискретизации - 0,2. Теперь необходимо скопировать формулу в ячейки А4:АЗЗ (выделяем блок ячеек А2:АЗ и за правый нижний угол протягиваем до ячейки АЗЗ, там появляется значение 6,2). Значения аргумента введены;

2) далее требуется вводить значения функции (в примере синуса). В ячейку В1 заносим слово синус и устанавливаем табличный курсор в ячейку В2. Здесь должно оказаться значение синуса, соответствующее значению аргумента в ячейке А2. Для получения значения синуса воспользуемся специальной функцией: нажимаем на панели инструментов кнопку Вставка функции . В появившемся диалоговом окне Мастер функций-шаг 1 из 2 слева в поле Категория указаны виды функций. Выбираем Математические. Справа в поле Функция выбираем SIN. Нажимаем кнопку ОК. Появляется диалоговое окно SIN. Наведя указатель мыши на серое поле окна, при нажатой левой кнопке сдвигаем поле вправо, чтобы открыть столбец данных (А). Указываем значение аргумента синуса щелчком мыши на ячейке А2. Нажимаем кнопку ОК. В ячейке В2 появляется 0. Теперь необходимо скопировать функцию из ячейки В2 в ячейки ВЗ:ВЗЗ. Для этого устанавливаем табличный курсор в ячейку В2, и за правый нижний угол протягиванием копируем в ячейки ВЗ:ВЗЗ. Значения синуса получены;

3) теперь по введенным в рабочую таблицу данным необходимо найти значения производной. Для этого в ячейку Q вводим слово производная. В ячейку СЗ вводим формулу дифференцирования (4.1): =(В4 - В2)/(2*0,2). Протягиванием (за правый нижний угол) копируем ее из ячейки СЗ в ячейки С4:С32 (в ячейках С2 и СЗЗ значения производной не определены, так как не заданы значения синуса в ячейках В1 и В34). Получены значения производной;

4) далее по полученным данным строим диаграмму. Щелчком указателя мыши на кнопке на панели инструментов вызываем Мастер диаграмм. В появившемся диалоговом окне выбираем тип диаграммы - График, вид - левый верхний. После нажатия кнопки Далее указываем диапазон данных - В1:СЗЗ (с помощью мыши). Проверяем положение переключателя Ряды в: столбцах. Выбираем вкладку Ряд и с помощью мыши вводим диапазон подписей оси X: А2:АЗЗ. Нажав кнопку Далее, вводим названия осей и : Аргумент и Значения, соответственно. Нажимаем кнопку Готово. Появляется диаграмма, изображенная на рисунке 28.

Рис. 28. Диаграмма синуса и его производной из примера 4

Как нетрудно заметить, график производной на рис. 3.8 совпадает с графиком косинуса, который и является точным значением производной от функции синуса.

Примеры для самостоятельной работы.

1)зависимость спроса на товар от цены выражается формулой:

Построить график функции этой зависимости в диапазоне [1; 3] с шагом = 0,1. С какой скоростью изменяется спрос при цене = 2?

2)зависимость полных издержек производства от объема производства х выражается формулой:

Изобразите графически изменение издержек с изменением объема производства в диапазоне [1; 5] с шагом = 0,2. Постройте график скорости изменения издержек в диапазоне [1,2; 4,8] с шагом = 0,2.