Моделі Уілсона управління запасами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

КУРСОВА РОБОТА

МОДЕЛІ УІЛСОНА УПРАВЛІННЯ ЗАПАСАМИ

Вступ

В умовах переходу України до ринкових відносин проблема удосконалення структури і методів управління підприємством стає однією з найбільш важливих, так як від якості управління залежить виживання суб'єкта господарювання в конкурентній боротьбі. У силу цього теоретичне дослідження управління запасами та обгрунтований вибір математичної моделі і методу для його рішення є досить актуальним.

Дослідженням питань теорії та методології управління запасами займалися такі відомі вчені-економісти як: Дж. Букан, Е. Кенігсберг, П. Зермат, М.Ліндерс, Х.Фірон, Н.Д. Фасоляк, М.М. Дарбінян, Ю.І. Рижиков, Ю.Г. Гризанов, Б.А. Анікін, В.І. Сергійов. Л.О.Лігоненко, Н.М. Ушакова, М.Д. Виноградський, Н.О. Власова, Л.О. Омельянович, І.О. Бланк, О.А. Круглова та інші.

Мета даного дослідження вимагає виконання таких завдань, як правильне і своєчасне визначення оптимальної стратегії управління запасами, нормативного рівня запасів, що дозволяє вивільнити значні оборотні кошти, заморожені у вигляді запасів, що в остаточному підсумку підвищує ефективність використовуваних ресурсів.

Об`єктом дослідження являється система управління запасами.

Предметом досліження - моделі управління та оптимізації запасів на підприємстві.

Управління запасами становлять, в даний час, найпоширеніший і вивчений клас задач дослідження операцій. Вони володіють наступною особливістю - зі збільшенням запасів збільшуються витрати на їх зберігання, але зменшуються втрати через можливу їх недостачу [2, с. 25]. Отже, одна з задач управління запасами полягає у визначенні такого рівня запасів, який мінімізує наступний критерій: суму очікуваних витрат за зберігання запасів, а також втрат через їх дефіцит, тобто для забезпечення безперервного і ефективного функціонування практично будь-якої організації необхідно створення оптимального розміру запасів.

1. Основні поняття теорії управління запасами

1.1 Поняття та сутність теорії управління запасами

управління запас уілсон складський

В даний час в промислово розвинених країнах з ринковою економікою виявляється досить істотний розрив між теорією і практикою прийняття рішень управління запасами, і виник він, перш за все з двох причин. По-перше, в недавньому минулому керівництво фірм занадто багато уваги приділяло швидкому зростанню обсягу продажів на шкоду ефективності управління товарно-матеріальними запасами і виробництвом. По-друге, багато вчених, які займалися питаннями управління, занадто багато уваги приділяли розробці математично «чистих» моделей прийняття рішень, у яких була мала практична цінність.

У 60-і роки вище керівництво фірм отримало можливість використовувати досягнення науково-технічного прогресу. Управління діяльністю фірм стали здійснювати обчислювальні машини. У зв'язку з цим зросли вимоги до отримання інформації щодо витрат на поточну виробничу діяльність, у тому числі на створення і зберігання товарно-матеріальних запасів. Управління запасами і планування виробництва стали грати більш помітну роль у господарській діяльності фірм.

У 70-80-і роки сталися ще більш важливі зміни у сфері виробництва, темпи економічного зростання сповільнилися, і це привело до істотних змін на ринку. Покупець почав вимагати максимально різноманітної продукції (або максимальної свободи вибору). Кількість видів виробів, необхідного для насичення ринку, стає все більшим, відповідно життєві цикли товарів - коротшими. Все це призвело до розширення номенклатури товарів і в багатьох випадках до підвищення витрат виробництва. Тому серед інших питань, які постали перед керівництвом фірм, не останнє місце займає підвищення ефективності розподілу внутрішніх ресурсів, тобто вдосконалення управління товарно-матеріальними запасами.

Понад 20 років тому західні економісти намагалися встановити, до якої міри можна зберігати незмінним співвідношення рівнів запасів і збуту, використовуючи рівняння «фіксованого акселератора» [6, с. 125]:

J = k * D,

де J - рівень запасів, од.,

D - попит;

k - коефіцієнт нерівномірності попиту.

Проте з часом, вони прийшли до висновку, що така проста залежність не відповідає реальному управлінню запасами.

Використовуючи більший обсяг різноманітних даних за досить тривалий період, і застосовуючи модифікований варіант зазначеного акселератора («Гнучкий акселератор»), зарубіжні дослідники припустили, що фірми здійснюють лише часткову корекцію своїх запасів, наближаючи їх до шуканого рівня протягом кожного з періодів виробництва. За дванадцятимісячний період різницю між бажаним і дійсним рівнем запасів вдавалося скоротити лише на 50%. Така зміна пояснюється в основному вдосконаленням системи управління запасами на основі використання комп'ютерної техніки.

Ряд вчених США прийшли до висновку, що якщо б вдалося поставити під контроль 75% коливань рівня інвестицій в товарно-матеріальні запаси, економіка цієї країни не зазнала б жодної з повоєнних рецесій, під час яких ціни, обсяг виробництва і прибутку падали, а безробіття зростало.

Запаси завжди вважались фактором, що забезпечує безпеку системи матеріально-технічного постачання, її гнучке функціонування, і були свого роду «страховкою».

У той же час велика кількість фірм вважає, що управління запасами є сферою відповідальності нижчого рівня керівництва - завданням суто технічного порядку. Разом з тим американські фахівці, що проводили аналіз політики з управління запасами торгових фірм (роздрібних та оптових), що діють в 17 різних галузях економіки, прийшли до висновку, що якби типова неуспішна фірма робила те ж саме, що й успішна, то їй би вдалося добитися прискорення оборотності товарних запасів у два рази, тобто при одному і тому ж товарообороті вона змогла б скоротити запаси на 50%.

До передумов, які змушують оптимізувати запаси сировини слід віднести наступні:

1) зростання збитків за рахунок зберігання наднормативних запасів;

2) зв'язування обігових коштів;

3) втрата як матеріальних ресурсів, так і моральне та фізичне старіння ресурсів.

В якості цільової функції в задачах управління запасами виступають сумарні витрати на:

1) придбання продукції з урахуванням максимальних знижок на розмір партії;

2) витрати на зберігання і складські операції від матеріального і морального старіння при зберіганні;

3) втрати від дефіциту та штрафних санкцій.

Цільова функція, яка представляє суму даних компонентів, повинна бути мінімальна. Тому управління запасами здійснюється на початку шляхом вибору стратегії в просторі стратегій управління, а потім шляхом вибору параметрів у просторі параметрів управління.

За однією із класифікацій запаси поділяються на:

поточні (забезпечують ритм виробництва на певному інтервалі часу);

страхові (на випадок зриву ритму поставок).

З параметрів управління запасами прийнято виділяти:

керовані параметри

обсяг і номенклатура необхідної сировини (ресурсів);

момент (час) видачі замовлення на поповнення ресурсу;

некеровані параметри

витрати на організацію постачання;

обмеження на запаси постачальника;

вибір системи постачання (централізована, децентралізована).

Якісно систему постачання можна представити графічно (рис. 1.1).

Витрати на

функціонування

системи постачання

Рис. 1.1. Система постачання ресурсів

На рис. 1.1 прийнято такі позначення:

Р - витрати на функціонування системи постачання;

1 - витрати на розміщення замовлень;

2 - витрати на зберігання даних ресурсів;

3 - сумарні витрати на функціонування системи постачання;

k - попит;

h - пропозиція;

q - розмір партії;

q * - оптимальний розмір (обсяг) замовлення сировини.

До елементів системи управління запасами відносять: 1) системи постачання; 2) попит на предмети постачання; 3) можливість поповнення запасів; 4) функції витрат; 5) обмеження; 6) вибрану стратегію управління запасами.

Розглянемо докладніше кожний з цих елементів. Системи постачання бувають:

децентралізовані однокаскадні;

централізовані багатокаскадні.

Попит на предмети постачання буває стаціонарний або нестаціонарний; детермінований або випадковий.

Розрізняють такі способи поповнення запасів: миттєва поставка, затримка поставок на фіксований інтервал часу, затримка поставок на випадковий інтервал часу.

Залежно від умов завдання управління запасами діляться на наступні три групи:

1. Моменти поставок або оформлення замовлень на поповнення запасів фіксовані. Потрібно визначити обсяги виробленої або закупленої партії запасів.

2. Обсяги виробленої або закупленої партії запасів фіксовані. Потрібно визначити моменти оформлення замовлень.

3. Моменти оформлення замовлень та обсяги вироблених або закуплених партій не фіксовані. Потрібно визначити ці величини, виходячи з сформульованого вище критерію (звести до мінімуму суму очікуваних витрат за зберігання запасів, а також втрат через їх дефіцит).

Існує три види товарно-матеріальних запасів:

1. сировинні матеріали (в тому числі комплектуючі вироби і паливо);

2. товари, що знаходяться на стадії виготовлення;

3. готова продукція.

В залежності від їх цільового призначення запаси поділяються на такі категорії:

а) технологічні (перехідні) запаси, які рухаються з однієї частини логістичної системи в іншу;

б) поточні (циклічні) запаси, що створюються протягом середньостатистичного виробничого періоду, або запаси обсягом в одну партію товарів;

в) резервні (страхові або «буферні»), які іноді називають «запасами для компенсації випадкових коливань попиту» (до цієї категорії запасів відносяться також спекулятивні запаси, що створюються на випадок очікуваних змін попиту або пропозиції на ту чи іншу продукцію, наприклад, у зв'язку з трудовими конфліктами, підняттям цін або відкладеним попитом).

Одним з найсильніших стимулів до створення запасів є вартість їх негативного рівня (дефіциту). За наявності дефіциту запасів існує три види можливих витрат, перерахованих нижче в порядку збільшення їх негативного впливу:

1) витрати в зв'язку з невиконанням замовлення (затримкою з відправкою замовленого товару) - додаткові витрати на просування і відправку товарів того замовлення, яке не можна виконати за рахунок наявних товарно-матеріальних запасів;

2) витрати у зв'язку з втратою збуту - у випадках, коли постійний замовник звертається за даною покупкою в якусь іншу фірму (такі витрати вимірюються в показниках виручки, втраченої через нездійснення торгової угоди);

3) витрати у зв'язку з втратою замовника - у випадках, коли відсутність запасів обертається не тільки втратою тієї чи іншої торгової угоди, а й тим, що замовник починає постійно шукати інші джерела постачання (такі витрати вимірюються в показниках загальної виручки, яку можна було б отримати від реалізації всіх потенційних угод замовника з фірмою).

Перші два види витрат належать, очевидно, до числа так званих «Тимчасових витрат фірми в результаті прийняття альтернативного курсу». Третій же вид витрат важко вирахувати, оскільки гіпотетичні замовники різні і відповідні витрати теж. Однак для фірми дуже важливо, щоб оцінка даного виду витрат була якомога ближче до суми витрат, які могли б мати місце в дійсності. Слід мати на увазі, що вартість дефіциту запасів більше, ніж просто ціна втрачених торговельних угод або нереалізованих замовлень. До неї входять і втрати часу на виготовлення продукції, і втрати робочого часу, і, можливо, втрати часу з-за дорогих перерв у виробництві при переходах між складними технологічними процесами.

1.2 Оптимізація рівня запасів

Особливістю більшості підприємницьких систем є те, що товари замовляються у більшій кількості, по відношенню до необхідного обсягу на даний момент. Цьому є ряд причин, як-то затримка з отриманням замовлених товарів у повному обсязі, що змушує замовників (особливо посередників) зберігати якийсь час ті чи інші товари на складі; знижки, що надаються замовникам при продажу їм товарів великими партіями.

При цьому існують певні обмеження на розмір запасів. Обмежувачем виступають витрати на їх зберігання. Тому виникає необхідність досягнення балансу між перевагами і недоліками, з одного боку, замовлень, а з іншого - зберігання товарів. Цей баланс досягається вибором оптимального обсягу партій замовлених товарів, або визначенням економічного (оптимального) розміру замовлення - «economic order quantity» (EOQ), що обчислюється за формулою:

EOQ = 2AD / V * R,

де A - витрати на виробництво;

D - середній рівень попиту;

V - питомі витрати на виробництво;

R - витрати на зберігання.

Для отримання більшого прибутку необхідно звести змінні витрати до мінімуму. Розглянемо проблему мінімізації змінних витрат за допомогою управління запасами.

Нехай на протязі місяця ви продаєте q одиниць продукції, котру ви закупаєтє n разів по Q одиниць в партії. При цьому витрати на зберігання однієї одиниці на місяць становлять с_k, а вартість замовлення партії дорівнює f.

Тоді сумарні витрати підтримки запасів визначаються за формулою (1.1):

(1.1)

У формулі (1.1) стоїть вартість зберігання штук на протязі місяця, так як по ходу продажу, кількість товару, що зберігається буде поступово зменьшуватись до 0, після чого буде закупатися нова партія.

При визначенні оптимального розміру замовлень справедлива наступна теорема.

Теорема 1.1 про оптимальний розмір партії, що купується.

Нехай в одиницю часу, наприклад, місяць, купляється q одиниць продукції, яку купляють n разів по Q одиниць в партії. При цьому витрати на зберігання однієї одиниці на місяць становлять с_k, а вартість заказа партії дорівнює f.

Тоді оптимальна кількість замовлень п^(*) визначається за формулою (1.2):

. (1.2)

Оптимальний розмір замовлення партії Q ^(*) визначається формулою (1.3):

. (1.3)

Оптимальні змінні витрати підтримки запасів визначаються формулою (1.4):

. (1.4)

Доведення теореми 1.1.

Для доведення теореми знайдемо похідну по Q та прирівняємо її до 0:

або

.

Формула (1.3) дає оптимальний розмір партії замовлення Q ^(*), при цьому кількість закупок п^(*) буде визначатися за формулою:

або

,

а оптимальні змінні витрати підтримки запасів визначаються за формулою:

.

Теорема доведена.

Виробничі запаси на підприємствах створюються в плановому порядку, і їх нормована кількість визначається розрахунковим шляхом строго в межах потреби для забезпечення ритмічного функціонування підприємства.

Норма запасу - це мінімальна кількість матеріальних ресурсів, яка повинна знаходитися на підприємствах або в організаціях для нормального процесу постачання.

Нормативна величина виробничих запасів залежить від:

- обсягу потреби підприємства в різних видах сировини і матеріалів;

- періодичності та кількості одночасного запуску або безперервності витрати матеріалів у споживача;

- періодичності виготовлення і відвантаження відповідної продукції підприємствам-постачальникам;

- розмірів транзитних норм постачання;

- місце розташування підприємства споживача по відношенню до постачальників;

- виду транспорту, що використовується;

сезонності постачання та споживання матеріалів.

Метою нормування виробничих запасів є визначення такого їх рівня, який забезпечував би рівномірність і ритмічність випуску продукції. Порушення ритмічності виробництва тісно пов'язане з реалізацією продукції, отже це впливає на отримання прибутку.

За своєю суттю норматив виражає середню потребу у виробничих запасах. Розрахунок нормативу виробничих запасів здійснюється в розрізі окремих їх видів за призначенням (поточний, підготовчий, страхової та сезонний) з широким залученням для цього фактичних даних підприємства з організації матеріально-технічного постачання за ряд років.

Розглянемо декілька видів запасів:

1. Поточний запас призначається для забезпечення безперебійного живлення виробництва в перервах (інтервалах) між надходженнями матеріалів від постачальника. Його розміри визначаються частотою або інтервалами поставки. Величина поточного запасу дорівнює плановому інтервалу поставки, а норма його приймається рівною половині інтервалу між поставками. Середній поточний запас вдвічі менше максимального, так як він повинен бути забезпечений в середині інтервалу між двома поставками і визначається за формулою (1.5):

Sпот = p * t, (1.5)

де р - середньодобове споживання матеріальних ресурсів;

t - інтервал поставки;

Середньодобове споживання матеріальних ресурсів визначається наступним чином:

p = р рік/360 = р квартал/90 = р місяць/30 - потреба в матеріальних ресурсах.

Середній плановий інтервал між двома поставками визначається діленням величини планової партії поставки на середньодобове споживання конкретного матеріалу в плановому році.

Є декілька методів визначення інтервалу поставки, серед яких слід виділяти слідуючі:

Метод визначення інтервалу поставки, якщо він залежить від мінімальної норми відпуску матеріалів:

t = B / P,

де B - мінімальна норма відпустки матеріалу;

P - середньодобова витрата матеріалу.

Метод визначення інтервалу постачання за допомогою вантажопідйомності транспортних засобів, що здійснюють перевезення:

t = G / P,

де G - вантажопідйомність цих коштів.

Розрахунковий метод середньозваженого інтервалу поставки:

tвзв = ((tф * B) / B,

де tф - фактичний інтервал за минулий період;

B - розмір партії.

Для розрахунку середньозваженої партії поставки підсумовуються надходження матеріальних ресурсів у всіх її формах.

2. Страховий запас створюється для забезпечення виробництва при відхиленні фактичних умов поставок і споживання матеріальних ресурсів від запланованих. Тому в діючих методичних документах величина страхового запасу в натуральному вираженні приймається рівною 25% максимального відхилення рівня запасу перед поставками від його середнього значення, а у відносному визначається діленням норми запасу в натуральному виразі на середньодобове споживання в році, що аналізується.

Величину страхового запасу обчислюють за формулою:

Зстр = (Р * (t'ф-tср) * В / В ',

управління запас уілсон складський

де t'ф - фактичні інтервали, які перевищують середній інтервал поставки;

tср - середній інтервал між поставками;

В - розмір партії;

В ' - величина партії, яка відповідає інтервалу поставки t'ф.

3. Підготовчий запас пов'язаний з попередньою підготовкою матеріалів до виробничого споживання.

4. Сезонний запас утворюється в умовах сезонного виробництва і споживання матеріалів чи при сезонному функціонування транспорту по доставці вантажів. Обидва ці види запасів розраховуються за принципом прямого рахунку і за тією ж методикою. За наявності сезонного запасу потреба в страховому запасі виключається. Сезонний запас визначається за наступною формулою:

З = Р * t,

де Р - середньодобова витрата матеріальних ресурсів у підготовчий або сезонний період;

t - інтервал, тривалість в перерві між надходженням і витратою матеріальних ресурсів.

Величина запасів перебуває в певній залежності від величини потреби, хоча і прямої пропорції в їх зростанні не повинно бути. Вивчення цієї залежності за окремими видами матеріальних ресурсів може сприяти значному вдосконаленню діючих методів нормування виробничих запасів в усіх їх різновидах. Для цього існують моделі залежності величини запасів від кількості поставок в певний період часу, і норми запасів у натуральних вимірах залежно від потреби в матеріалах.

1.3 Стратегія управління запасами

Можливі наступні стратегії управління запасами:

Стратегія постійного рівня.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.2. Графічна інтерпретація стратегії постійного рівня

У даному разі через кожен інтервал часу Т запас поповнюється до верхнього рівня. Графічно стратегію постійного рівня показана на рис. 1.2:

q₁ q₂ q₃ const

q* _опт = H - y_пот

y_1,2 - поточні рівні

Рис. 1.2. Графічна інтерпретація стратегії постійного рівня

2. Стратегія фіксованого обсягу поставок. Графічно стратегію фіксованого обсягу поставок представлено на рис. 1.3:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 1.3. Графічна інтерпретація стратегії фіксованого обсягу поставок

Q* = const

q₁ = q₂ = q₃ = const

3. Стратегія з контролем за поточним рівнем.

a) якщо y h, то: - y h q* = const

- y h q* = 0 (не замовляємо сировину);

b) якщо y h, то: - y h q* = H - y_пот

- y h q* = 0.

Для забезпечення безперервного і ефективного функціонування практично будь-якої організації необхідно створення запасів. У будь-якій задачі управління запасами потрібно визначати оптимальну кількість продукції, що замовляється та строки розміщення замовлення. Тому в 1 розділі курсової роботи ми розкрили такі поняття:

Запаси - це гарантія можливості виконання будь-якого замовлення.

Оптимальний розмір запасів - це такий розмір запасів, при якому витрати на їх зберігання та втрати від дефіциту запасів мінімальні.

Норма запасу - це мінімальна кількість матеріальних ресурсів, яка повинна знаходитися на підприємствах або в організаціях для нормального процесу постачання.

Стратегія управління запасами - це сукупність дій для досягнення оптимального обсягу запасів на підприємстві.

Отже, правильне і своєчасне визначення оптимальної стратегії управління запасами та нормативного рівня запасів дозволяє вивільнити значні оборотні кошти, заморожені у вигляді запасів, що в остаточному підсумку підвищує ефективність використовуваних ресурсів.

2. Моделі управління запасами

2.1 Основні типи моделей управління запасами

Для вирішення проблем, пов'язаних із запасами призначені моделі управління запасами. Математичні моделі управління запасами (УЗ) дозволяють знайти оптимальний рівень запасів деякого товару, який дозволяє мінімізувати сумарні витрати на закупку, оформлення й доставку замовлення, зберігання товару, а також збитки від його дефіциту. Моделі повинні відповідати на два основні питання: скільки замовляти продукції та коли замовляти [7, с. 57].

Відповідь на перше запитання виражається через розмір замовлення, що визначає оптимальну кількість ресурсів, яку необхідно постачати кожного разу, коли відбувається розміщення замовлення. Залежно від ситуації, розмір замовлення може змінюватися в часі.

Відповідь на друге питання залежить від типу системи управління запасами. Якщо система передбачає періодичний контроль стану запасу через рівні проміжки часу (наприклад, щотижня або щомісяця), момент надходження нового замовлення зазвичай збігається з початком кожного інтервалу часу. Якщо ж у системі передбачений безперервний контроль стану запасів, точка замовлення зазвичай визначається рівнем запасів, при якому необхідно розміщувати нове замовлення.

Існує безліч різноманітних моделей, кожна з яких підходить до певного випадку. Всі моделі управління запасами можна розділити на групи:
- детерміновані моделі управління запасами,

- моделі оперативного управління запасами при випадковому попиті,

- моделі управління запасами в системі з періодичними перевірками при випадковому попиті,

- моделі управління запасами протягом одного періоду,

- динамічні моделі управління запасами.

2.2 Моделі Уілсона управління запасами

Модель Уілсона є найпростішою моделлю УЗ й описує ситуацію закупівлі продукції в зовнішнього постачальника, що характеризується наступними припущеннями:

- інтенсивність споживання є відомою й постійною величиною;

- замовлення доставляється зі складу, на якому зберігається раніше привезений товар;

- час доставки замовлення є величиною відомою й постійною;

- кожне замовлення поставляється у вигляді однієї партії;

- витрати на здійснення замовлення не залежать від розміру замовлення;

- витрати на зберігання запасу пропорційні його розміру;

- відсутність запасу (дефіцит) є неприпустимим.

До вхідних параметрів моделі Уілсона відносять наступні:

1) v - інтенсивність (швидкість) споживання запасу, [од. тов. / од. часу t];

2) s - витрати на зберігання запасу, [грн. /од. тов.* од. часу t];

3) K - витрати на здійснення замовлення, що включають оформлення й доставку замовлення, [грн.];

4) t_д - час доставки замовлення, [од. часу t].

До вихідних параметрів моделі Уілсона відносять:

1) Q - розмір замовлення, [од. тов.];

2) L - загальні витрати на керування запасами в одиницю часу, [грн./од. часу t];

3) t - період доставки, тобто час між подачами замовлення або між доставками, [од. часу t];

4) h₀ - точка замовлення, тобто розмір запасу на складі, при якому треба подавати замовлення на доставку чергової партії, [од. тов.].

Цикли зміни рівня запасу в моделі Уілсона графічно представлені на рис. 2.1. Максимальна кількість продукції, що перебуває в запасі, збігається з розміром замовлення Q.

Рівень запасів

Q Розмір партії замовлення

h₀ Точка замовлення

0 Час

Подача t_д Отримання ф

замовлення замовлення

Рис. 2.1. Графік циклів зміни запасів у моделі Уілсона

Оптимальний розмір замовлення запасів у моделі Уілсона визначається за формулою (2.1):

, (2.1)

де Q_w - оптимальний розмір замовлення в моделі Уілсона,

v - інтенсивність (швидкість) споживання запасу;

s - витрати на зберігання запасу;

K - витрати на здійснення замовлення, що включають оформлення й доставку замовлення.

Для знаходження загальних витрат використовують таку формулу:

,

де L - загальні витрати на керування запасами в одиницю часу;

Q - розмір замовлення.

Період доставки визначають за наступною формулою:

,

де ф - період доставки.

Точку замовлення визначають за формулою:

.

Запропонована модель управління запасами підприємства дає можливість визначати точку замовлення продукції, що є актуальним при великій кількості асортименту продукції.

2.2.1 Модель Уілсона без обмежень

В якості найпростішої моделі управління запасами розглянемо модель оптимізації поточних товарних запасів, що дозволяють підвищити ефективність роботи торгового підприємства. Така модель будується в такій ситуації: деяке торговельне підприємство протягом фіксованого періоду часу збирається завести і реалізувати товар конкретного (заздалегідь відомого) обсягу і при цьому необхідно змоделювати роботу підприємства так, щоб сумарні витрати були мінімальні. При побудові цієї моделі використовуються наступні вихідні припущення:

1. плануються запаси тільки одного товару або однієї товарної групи;

2. рівень запасів знижується рівномірно в результаті рівномірно виробленої продажу;

3. попит в планованому періоді заздалегідь повністю визначений;

4. надходження товарів здійснюється строго у відповідності до плану, відхилення не допускаються, штраф при незадоволенні попиту нескінченно великий;

5. витрати на управління запасами складаються тільки з витрат із завезення і зберігання запасів.

Сумарні витрати будемо вважати залежними від величини однієї поставки q. Таким чином, задача оптимального регулювання запасів зводиться до знаходження оптимального розміру q₀ однієї постановки. Знайшовши оптимальне значення керованої змінної q, можна обчислити і інші параметри моделі, а саме кількість поставок n₀, оптимальний інтервал часу tso між двома послідовними поставками, мінімальні (теоретичні) сумарні витрати Q₀.

Введемо наступні позначення для заздалегідь відомих параметрів моделі:

T - повний період часу, для якого будується модель;

R - весь обсяг (повний попит) замовлення за час T;

C1 - вартість зберігання однієї одиниці товару в одиниці часу;

Cs - витрати із завезення однієї партії товару.

Позначимо через Q невідому поки сумарну вартість створення запасів тобто цільову функцію. Завдання моделювання полягає в побудові цільової функції Q=Q(q). Сумарні витрати, складатимуться з витрат із завезення і зберігання товару.

Витрати на зберігання товару Q1 визначаються за наступною формулою:

Q1 = С1 * Т q/2,

де С1 - вартість зберігання однієї одиниці товару;

Т - повний період часу, для якого будується модель;

q/2 - рівень запасів.

Враховуючи при цьому, що рівень запасів знижується рівномірно в результаті рівномірного продажу, тобто якщо в початковий момент створення запасу він дорівнює q, то в кінці періоду часу ts він дорівнює 0 і тоді «середній» запас рівний:

.

Повні витрати із завезення товару Q2 визначають за такою формулою:

,

де С _s - вартість завезення однієї партії товару,

- кількість поставок.

Вартість завезення однієї партії товару на кількість поставок n, які очевидно рівні .

Тоді сумарні витрати управління поточними запасами можна знайти за формулою (2.2):

. (2.2)

Із загального вигляду формули (2.2), бачимо, що цільова функція Q є нелінійною функцією величини q, що змінюється в межах від 0 до R:

0 < q R.

Формалізоване завдання строго математично записується у вигляді:

Рішення завдання здійснюється за відомою схемою. Спочатку обчислюємо похідну від функції (2.2):

Прирівнявши її до нуля отримуємо:

Щоб переконатися, що в точці q = q₀ функція Q(q) дійсно досягає свого мінімуму, обчислимо другу похідну:

Отже, оптимальний розмір однієї поставки визначається за формулою (2.3):

. (2.3)

Використовуючи формулу (2.3) можемо визначити оптимальний середній поточний запас, який обчислюється за наступною формулою:

,

а оптимальне число поставок визначається за формулою (2.4):

, (2.4)

при цьому оптимальний інтервал між двома послідовними поставками t_so визначається за формулою (2.5):

. (2.5)

Оптимальні (теоретичні) витрати Q₀ обчислюються за за формулою (2.6):

. (2.6)

2.2.2 Модель Уілсона з обмеженнями на складські приміщення

Нехай торговельне підприємство протягом періоду часу Т має завести і реалізувати n видів товару. Введемо наступні позначення:

R_i - повний попит i - го товару за час Т;

C_1i - вартість зберігання однієї одиниці i-го товару планованому періоді часу;

C_Si - витрати із завезення однієї партії i - го товару;

V_i - обсяг складського приміщення займаний однією одиницею i-го товару.

V - вся ємність складського приміщення.

Всі ці значення вважаються заздалегідь відомими. Невідомий поки розмір однієї поставки i-го товару, який позначимо через q_i, а через qio будемо надалі позначати оптимальний розмір однієї поставки i-го товару.
Тоді відповідно до задачі Лагранжа:

f(x)>max

g1 (x)=0; g2 (x)=0; …; gn(x)=0

повні витрати із завезення та зберігання i-го товару будуть рівні:

,

а сумарні витрати з усіх видів товару розраховують за формулою (2.7):

. (2.7)

Далі Vi * q_i - обсяг складських приміщень, який займає i-ий вид товару, V_i*q_i - обсяг складських приміщень, який займає всі види товару і повинні виконуватися очевидні співвідношення (2.8) та (2.9):

(2.8)

qi R_i, q_i 0 (2.9).

Отже, приходимо до задачі Лагранжа, яка полягає у знаходженні мінімуму нелінійної функції:

при лінійних обмеженнях (2.8) та (2.9). Функція Лагранжа розглянутої задачі (2.13) - (2.15) має вигляд:

. (2.10)

Функція Лагранжа (2.10) збігається з цільовою функцією (2.7) у випадку якщо в (2.10)

<0 (2.11)

або

>0, ,

Слідуючи алгоритму рішення задачі Лагранжа, знайдемо частинні похідні функції (2.10) за всіма qi і прирівняємо їх до нуля:

, (2.12)

Кожне з рівнянь системи (2.12) визначає відповідне значення,

,

де в правій частині всі значення параметрів відомі за винятком множника .

Для визначення значення підставимо вирази q_i в умову (2.11). Отримуємо:

, (2.13)

У співвідношенні (2.13) всі величини заздалегідь відомі, крім , тобто воно є ірраціональним рівнянням з одним невідомим. Його завжди можна розв`язати щодо множника . Знайшовши значення = 0, можна визначити оптимальні величини поставок кожного з товарів за формулою (2.14):

. (2.14)

2.3 Детерміновані моделі управління запасами

Узагальнену модель управління запасами, яка враховувала б усі різновиди умов, що спостерігаються в реальних системах, побудувати важко. Але якщо вдалося побудувати достатньо універсальну модель, на ній неможливо отримати аналітичні розв'язки. Наведені нижче моделі відповідають деяким спрощеним системам управління запасами. Малоймовірно, що ці моделі зможуть точно відповідати реальним умовам, однак вони наведені з метою пояснення різних підходів до розв'язання деяких конкретних задач управління запасами [8, с. 143].

Більшість із моделей однопродуктивні, і тільки в одній з них враховується вплив деяких «конкуруючих» видів продукції. Основна відмінність між моделями визначається припущенням про характер попиту (статичний або динамічний). Важливим фактором із точки зору формулювання й розв'язання задачі є також вид функції витрат. Для розв'язування можуть використовуватися різні методи, які включають класичну схему оптимізації, лінійне й динамічне програмування.

2.3.1 Однопродуктивна статична модель

Модель управління запасами простого типу характеризується сталим у часі попитом, миттєвим збільшенням запасу і відсутністю дефіциту.

На рис. 2.2 показано зміну рівня запасу з часом. Припускається, що інтенсивність попиту (в одиницю часу) дорівнює .

Рис. 2.2. Зміна рівня запасу з часом в однопродуктовій статичній моделі

Найвищого рівня запас досягає в момент постачання замовлення розміром у (припускається, що запізнення постачання є заданою константою). Рівень запасу досягає нуля протягом у/одиниць часу після отримання замовлення розміром у.

Чим менший розмір замовлення у, тим частіше потрібно розміщувати нові замовлення. Однак при цьому середній рівень запасу буде зменшуватися. З іншого боку, зі збільшенням розміру замовлень рівень запасу збільшується, але замовлення розміщуються рідше (рис. 2.3). Так як витрати залежать від частоти розміщення замовлення й об'єму запасу, що зберігається, то величина у обирається згідно з умовою забезпечення оптимального балансу між двома видами витрат.

Це лежить в основі побудови відповідної моделі управління запасами.

Нехай К - витрати на оформлення замовлення, що мають місце щоразу при його розміщенні в припущенні, що витрати на зберігання одиниці замовлення в одиницю часу рівні h.

Отже, сумарні витрати в одиницю часу С(у) як функцію від у можна представити у вигляді (2.15):

С (у) = . (2.15)

Рис. 2.3. Зміна рівня запасу з часом в залежності від частоти розміщення замовлень

Тривалість циклу руху замовлення складає:

і середній рівень запасу становить у / 2.

Оптимальне значення у отримується в результаті мінімізації С(у) по у. Таким чином, у припущенні, що у* неперервна змінна, одержуємо:

,

звідки оптимальне значення розміру замовлення визначається виразом:

.

Оскільки друга похідна в точці у* строго додатна, досягається мінімум. Отриманий вираз для розміру замовлення, зазвичай, називають формулою економічного розміру замовлення Уілсона.

Оптимальна стратегія моделі передбачає замовлення у* через кожні t₀^*=у^*/ одиниць часу. Оптимальні витрати С(у^*), отримані шляхом безпосередньої підстановки, складають (рис. 2.4).

L L

Рис. 2.4. Функціонування системи з запізненням

Для більшості реальних ситуацій існує (позитивний) термін виконання замовлення (тимчасове запізнення) L від моменту розміщення замовлення до його дійсної поставки. Стратегія розміщення замовлень у наведеній моделі повинна визначати точку відновлення замовлення. Рис. 2.4. ілюструє випадок, коли точка відновлення замовлення повинна випереджати на L одиниць часу очікуване надходження. У практичних цілях цю інформацію можна просто перетворювати, визначивши точку відновлення замовлення через рівень запасу, який відповідає моменту відновлення замовлення. На практиці це реалізується шляхом неперервного контролю рівня запасу до моменту досягнення чергової точки відновлення замовлення. Можливо, з цієї причини модель економічного розміру замовлення деколи називають моделлю неперервного контролю стану замовлення. Потрібно відзначити, що з точки зору аналізу в умовах стабілізації системи термін виконання замовлення L можна завжди прийняти меншим за тривалість циклу t^*₀.

Прийняті в розглянутій вище моделі припущення можуть не відповідати деяким реальним умовам внаслідок вірогіднішого характеру попиту. На практиці отримав розповсюдження наближений метод, який зберігає простоту моделі економічного розміру замовлення і в той же час у якійсь мірі враховує вірогідніший характер попиту. Ідея методу надзвичайно проста. Вона передбачає створення деякого (постійного) буферного запасу на всьому горизонті планування. Розмір резерву визначається таким чином, щоб вірогідність зменшення запасу протягом періоду виконання замовлення L не перевищувала наперед заданої величини. Припустимо, що f(r) - щільність розподілу вірогідності попиту протягом цього терміну. Надалі припустимо, що вірогідність зменшення запасу протягом періоду L не повинна перевищувати а. Тоді розмір резервного запасу В визначиться з умови P (r>B+LЯ)<a, де LЯ є споживання протягом часу L.

Немає причин припускати, що загальний результат використання процедур визначення В й економічного розміру замовлення обов'язково оптимальний або близький до оптимального. Відхилення від оптимуму пояснюється тим, що на початку деяка суттєва інформація не враховується, а потім використовується зовсім неявно на останньому етапі обчислень. По суті, витрати на зберігання резерву В можна розглядати просто як деяку «ціну» за те, що вся наявна інформація у процесі аналізу одночасно не використовується.

Різновиди моделей економічного розміру замовлення (партії) припускають можливість дефіциту і рівномірного (а не миттєвого) збільшення запасу. Останній випадок є типовим для виробничих систем, в яких інтенсивність збільшення є функцією інтенсивності виробництва. В цих ситуаціях у моделях управління запасами, як і раніше, співставляються витрати на зберігання запасів і оформлення замовлень. В функцію сумарних витрат включаються також втрати від дефіциту, якщо він має місце. В загальному випадку втрати від дефіциту припускаються пропорційними середній величині дефіциту.

2.3.2 Однопродуктова статична модель з «розривами» цін

В попередніх моделях не враховуються окремі витрати на придбання товарів, так як вони сталі і не впливають на рівень запасу. Однак в багатьох випадках ціна одиниці продукції залежить від розмірів закупленої партії. У таких випадках ціни змінюються стрибкоподібно або надаються гуртові знижки. При цьому в моделі управління запасами необхідно враховувати витрати на придбання.

Розглянемо модель управління запасами з миттєвим збільшенням запасу за відсутності дефіциту. Припустимо, що ціна одиниці продукції дорівнює с₁, при у<q і рівна с₂, при у>q, де с₁>с₂ і q - розмір замовлення, при перевищенні якого надається знижка. Тоді сумарні витрати за цикл, незважаючи на затримки в оформленні замовлення і зберігання запасу, повинні включати затримки придбання.

Сумарні витрати в одиницю часу при у<q становлять:

,

а при у>q ці витрати становлять:

.

Графіки цих двох функцій наведені на рис. 2.5. Нехтуючи впливом зниження цін, позначимо через у_т розмір замовлення, при якому досягається мінімум величин С₁ і С₂.

Тоді у_т =.

C₁

C₂

y_m q₁

Рис. 2.5. Графіки сумарних витрат в одиницю часу

З вигляду функцій витрат С₁ і С₂ робимо висновок, що оптимальний розмір замовлення у* залежить від того, де саме стосовно трьох показаних на рисунку зон І, II і III знаходиться точка розриву ціни q. Ці зони знаходяться наступним чином:

Зона І: 0 q < у_т; Зона II: у_т q < q_1; Зона ІІІ: q q₁.

Наведене графічне розв'язання рівняння для розглянутого випадку, яке залежить від того, де знаходиться q відносно зон І, ІІ і ІІІ (рис. 2.6). В результаті оптимальний розмір замовлення у визначається наступним чином:

Алгоритм визначення у^* має наступні основні кроки:

Крок 1. Визначити у_{т =,} якщо q < у_т, то q знаходиться в зоні І, тоді у*= у_т. В іншому випадку перейти до кроку 2.

Крок 2. Визначити q₁ з рівняння C₁(y_т)=C(q₁) і встановити, де саме відносно зон II і Ш знаходиться значення q.

а) Якщо у_т qq₁ (зона II), то у* = q.

б) Якщо q q₁ (зона III), то у* = у_т.



С₁

С₂

q y_m q₁

Рис. 2.6. Модель з розривами цін

У будь-якій задачі управління запасами вирішується питання вибору розмірів і термінів розміщення замовлень на продукцію. На жаль, спільне рішення цих завданнь неможливо одержати на основі однієї моделі. Тому розроблені найрізноманітніші моделі, що описують різні окремі випадки. Одним з вирішальних факторів при розробці моделі управління запасами є характер попиту. У найбільш простих моделях передбачається, що попит є статичним детермінованим.

Ми проаналізували такі моделі управління запасами: модель Уілсона без обмежень та з обмеженнями на складські приміщення, однопродуктову статичну модель, однопродуктова статичну модель з «розривами» цін. У більшості розглянутих моделей управління запасами здійснюється оптимізація функції витрат, що включає витрати на оформлення замовлень, закупівлю і зберігання продукції, а також втрати від дефіциту. Втрати від дефіциту зазвичай найбільш складно оцінити, тому вони можуть бути обумовлені такими нематеріальними факторами, як, наприклад, погіршення репутації. З іншого боку, хоч оцінку витрат на оформлення замовлення отримати неважко, включення в модель цієї статті витрат істотно ускладнює математичний опис завдання.

Відомі моделі управління запасами рідко точно описують реальну систему. Тому рішення, що отримується на основі моделей цього класу, слід розглядати скоріше як принципові висновки, а не конкретні рекомендації.

3. Розрахунок оптимального розміру запасів на підприємстві

3.1 Визначення оптимального розміру запасів з використанням моделі Уілсона без обмежень

Розглянемо модельний приклад 1.

Нехай торговельне підприємство протягом року планує завести і реалізувати цукор загальним обсягом 10 тисяч тонн. Вартість завезення однієї партії товару становить 1000 грн, а зберігання однієї тонни цукру обходиться в 5 грн. Визначити оптимальний розмір однієї поставки, щоб сумарні витрати із завезення і зберігання товару були мінімальні, а також кількість поставок, інтервал часу між двома послідовними поставками і мінімальні (теоретичні) сумарні витрати.

За умовою задачі: R = 10000, C_s = 1000, C₁ = 5, T = 12 міс.

За формулами (2.3), (2.4), (2.5) і (2.6) маємо:

,

,

,

.

Отже, оптимальний розмір однієї поставки дорівнює 577 тонн, кількість поставок n₀ дорівнює 17, час t_so між поставками складає 21 день, а мінімальні сумарні витрати складуть 34641 грн.

Зауважимо, що умови розглянутої задачі багато в чому є ідеалізованими. На практиці не завжди є можливим дотримуватися отриманих теоретичних параметрів моделі управління запасами. Наприклад, у розглянутої задачі ми отримали, що оптимальний розмір однієї поставки дорівнює 577 тонн, але може так статися, що завод-виробник відпускає цукор тільки вагонами по 60 тонн. Значить, торгове підприємство змушене відхилятися від оптимального розміру однієї поставки. Тому важливо визначити такі межі відхилення, які не призводять до суттєвого зростання сумарних витрат.

Цільова функція Q(q) управління запасами є сумою двох функцій - лінійної і гіперболічної. Зобразимо її графік схематично на рис. 3.1:

Рис. 3.1. Цільова функція Q(q) управління запасами

В області мінімуму вона змінюється повільно, але з віддаленням від точки q₀, особливо в бік малих q, величина Q швидко зростає. Визначимо доступні зміни розміру однієї поставки по доступному рівню зростання витрат. Нехай торговельне підприємство «згідне» на зростання мінімальних витрат у не більше, ніж раз ( > 1), тобто підприємство допускає витрати

Q = Qo. (3.1)

Відхилення розміру однієї поставки q від оптимального задамо за допомогою додаткового параметра у вигляді:

q = qo.

Тоді сумарні витрати при такому розмірі однієї поставки будуть дорівнювати:

, (3.2)

з (3.1) і (3.2) випливає:

. (3.3)

Вирішуючи (3.3) щодо отримуємо:

. (3.4)

Нехай у прикладі підприємство допускає збільшення сумарних витрат на 20% у порівнянні з оптимальними, тобто =1,2. Тоді за формулами (3.4) отримуємо: 1 = 1,2 - 1,44 - 1 = 0,54; 2 = 1,2 + 1,44 - 1 = 1,86. Та інтервал допустимих величин : 0,54 1,86. Тоді

1qo = 0,54 * 577 312; 2qo = 1,86 * 577 1073

і обсяг однієї поставки q може змінюватися в інтервалі (1qo; 2q0) = (312; 1073). (При цьому сумарні витрати не перевищать оптимальні більш ніж в 1, 2 рази).

Зауважимо тут, що отриманий допустимий інтервал значень q не симетричний щодо q₀, оскільки в бік зменшення значень q можна відхилитися від q₀ на 577-312=265 одиниць, а в бік збільшення значень q можна відхилятися від q₀ на 1073-577=496 одиниць.

Така асиметричність допустимих значень q щодо q₀ легко пояснюється з графіка функції Q: при відхиленні вліво від q₀ графік функції зростає «швидше», ніж при відхиленні на таку ж величину вправо від q₀. Розглянута вище модель звичайно ж досить проста і може застосовуватися тільки на підприємствах, що реалізують один тип товару, що зустрічається вкрай рідко. Зазвичай у будь-якого торгового підприємства є запаси найрізноманітніших товарів. Якщо при цьому товар не є взаємозамінними, то визначення оптимальних розмірів запасів проводиться окремо по кожному товару, як це було показано вище. Взаємозамінні товари доцільно об'єднати в групи і для них проводити оптимізацію товарних запасів як для окремих товарів. На практиці, однак, не завжди можна скористатися такими рекомендаціями, оскільки можуть виникнути інші обмежувальні умови, зокрема обмеженість розмірів складських приміщень. Такі обмежувальні умови призводять до того, що оптимальна за величиною партія товару не може бути розміщена на складі. Розглянута в підпункті 3.2 модель враховує такі обмеження.

3.2 Визначення оптимального розміру замовлень на основі моделі Уілсона з обмеженнями на складські приміщення

Нехай торговельне підприємство має намір завести і реалізувати товар трьох видів (n = 3) обсягами відповідно 24 тис. од, 20 тис. од. і 16 тис. од. Весь обсяг складських приміщень становить 18 000 куб. м. Вартість зберігання однієї одиниці першого виду товару 6 грн., другої - 8 грн., третьої - 10 грн. Витрати із завезення однієї партії першого виду товару 1200 грн., а другої - 1600 грн., третьої - 2000 грн. При цьому одна одиниця першого виду товару займає 3 куб. м., другої - 4 куб. м., третьої - 5 куб. м. Знайти оптимальні розміри поставок кожного з видів товару. За умовою маємо: