Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

*********

«Новый» случай 16

(Отличающийся «новым свойством » от случая 2: с = - С, b= В, n = -N, -K)

Случай 16. Случай 7.

с = В с = С

b= -С b= -В

n = -N n = -N

-K -K

Окончательные решения в случае 7:

(40), (38ґґґ),

(41ґ), (33ґ),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с - b= С+В = constґґ, с - b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 16 и 7 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(40), (38ґґґ),

(41ґ), (33ґ),

где - взаимно простые нечетные целые числа, являющиеся и окончательными решениями уравнения (15) в случае 7.

********

«Новый» случай 17

(Отличающийся « новым свойством » от случая 3: с = С, b= -В, n = N, -K)

Случай 17. Случай 6.

с = - В (16-B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

-K (19ґ), -K (19ґ).

Окончательные решения в случае 6:

(40ґ), (38),

(41ґ), (33ґ),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с - b= -С -В = constґґ, с - b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 17 и 6 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

 (40ґ), (38),

(41ґ), (33ґ),

где - взаимно простые целые нечетные числа.

*********

«Новый» случай 18

(Отличающийся «новым свойством » от случая 4: с = - С, b= В, n =- N, K)

Случай 18. Случай 5.

с = В (16+B), с = С (16),

b=- С (17-C), b= -В (17ґ),

n=- N (18ґ), n= -N (18ґ),

K (19), K (19).

Окончательные решения в случае 5:

(40), (38ґ),

(41), ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с - b= С +В = constґґ, с - b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 18 и 5 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(41), ,

где - взаимно простые нечетные целые (40), (38ґ), числа.

********

«Новый» случай 19

(Отличающийся «новым свойством » от случая 5: с = С, b=- В, n =- N, K)

Случай 19. Случай 4.

с = - В (16-B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= В (17),

n=- N (18ґ), n= -N (18ґ),

K (19), K (19)

Окончательные решения в случае 4:

(39ґґґ), (38ґґґ),

(37ґ), (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с - b= -С - В = constґґ, с - b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 19 и 4 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

 (39ґґґ), (38ґґґ),

(37ґ), (33),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

********

«Новый» случай 20

(Отличающийся «новым свойством » от случая 6: с = - С, b= В, n = N, -K)

Случай 20. Случай 3.

с = В (16+B), с = С (16),

b= -С (17-C), b= -В (17ґ),

n= N (18), n= N (18),

-K (19ґ), -K (19ґ).

Окончательные решения в случае 3:

(39ґґ), (38ґґ),

, (33ґ),

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с - b= С + В = constґґ, с - b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 20 и 3 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

(39ґґ), (38ґґ), где - взаимно простые нечетные

, (33ґ), целые числа.

********

«Новый» случай 21

(Отличающийся «новым свойством » от случая 7: с = С, b= -В, n = -N, -K)

Случай 21. Случай 2.

с = -В (16-B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= В (17),

n=- N (18ґ), n= -N (18ґ),

-K (19ґ), -K (19ґ).

Окончательные решения в случае 2:

,

,

где - взаимно простые нечетные целые числа

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с - b= - С - В = constґґ, с - b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 21 и 2 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

*********

«Новый» случай 22

(Отличающийся «новым свойством » от случая 8: с = -С, b= В, n = N, K)

Случай 22. Случай 1.

с = В (16+B), с = С (16),

b= -С (17-C), b=- В (17ґ),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19)

Окончательные решения в случае 1:

, ,

,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= - СВ = constґ, с - b= С + В = constґґ, с - b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 22 и 1 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е.

, ,

, ,

где - взаимно простые нечетные целые числа.

**********

Вывод

Таким образом, в «Новых» случаях 15,…, 22 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

*********

«Новый» случай 23

(Отличающийся «новым свойством » от случая 9: с = С, b= В, n = -N, K)

Случай 23. Случай 12.

с = В (16+B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= - В (17ґ),

n= - N (18ґ), n= - N (18ґ),

K (19), K (19)

Окончательный вывод в случае 12: c и b - четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = constґ, с - b= -С + В = constґґ, с - b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 23 и 12 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

«Новый» случай 24

(Отличающийся «новым свойством » от случая 10: с = -С, b= -В, n = N, -K)

Случай 24. Случай 11.

с = -В (16-B), с = С (16),

b=-С (17-C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

-K (19ґ), -K (19ґ).

Окончательный вывод в случае 11: c и b - четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = constґ, с - b= С - В = constґґ, с - b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 24 и 11 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

«Новый» случай 25

(Отличающийся « новым свойством » от случая 11: с = С, b= В, n = N, -K)

Случай 25. Случай 10.

с = В (16+B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= - В (17ґ),

n= N (18), n= N (18),

-K (19ґ), -K (19ґ).

Окончательный вывод в случае 10: c и b - четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = constґ, с - b= -С + В = constґґ, с - b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 25 и 10 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*********

«Новый» случай 26

(Отличающийся «новым свойством » от случая 12: с = - С, b=- В, n = -N,K)

Случай 26. Случай 9.

с = - В (16-B), с = С (16),

b= - С (17-C), b= В (17),

n= - N (18ґ), n= - N (18ґ),

K (19), K (19).

Окончательный вывод в случае 9: c и b - четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» (сb= СВ = constґ, с - b= С - В = constґґ, с - b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 26 и 9 имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

«Новый» случай 27

(Отличающийся «новым свойством » от случая 13: с = С, b= В, n = -N,-K)

Случай 27. Случай «-».

с = В (16+B), с = - С (16ґ),

b= С (17+C), b= - В (17ґ),

n= - N (18ґ), n= - N (18ґ),

-K (19ґ), -K (19ґ).

Окончательный вывод в случае «-»: c и b - четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением» и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b» ( сb= СВ = constґ, с - b= - С + В = constґґ, с - b= - 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 27 и «-» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

«Новый» случай 28

(Отличающийся «новым свойством » от случая 14: с = - С, b= -В, n = N,K)

Случай 28. Случай «+».

с = - В (16-B), с = С (16),

b= - С (17-C), b= В (17),

n= N (18), n= N (18),

K (19), K (19).

Окончательный вывод в случае «+»: c и b - четные, чего не должно быть.

Воспользуемся вышерассмотренным «Соображением » и его «Выводом».

Т.к. «Общие свойства для с и b (сb= СВ = constґ, с - b= С - В = constґґ, с - b= 2К = constґґґ ) выполняются, то Случаи 28 и «+» имеют одинаковый вид окончательных решений уравнения (15), т.е. c и b - четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод

1. Таким образом, «Новые» случаи 23,…, 28 новых возможных решений уравнения (15) не выявили.

2. Условия 1 и 2 ( продолжения ) Утверждения(1) нами рассмотрены.

*********

Итак, уравнение (15) , если c и b - взаимно простые целые нечетные числа, имеет решение (после анализа всех полученных решений) только в следующих целых числах:

а) ; ; ; ;

б) ; ; ; .

А это в свою очередь означает, что и рассматриваемое уравнение (, - натуральные числа, где при - натуральном) может иметь целые решения либо при , либо при .

************

Вывод: 2-я часть «Утверждения 1» доказана.

В результате исследования уравнения (1) мы имеем:

Вывод 1. Уравнение (1) (, - натуральные числа, при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Возможны случаи: либо , либо .

*******

В качестве подтверждения можно рассмотреть такой пример.

Пример

Нетрудно доказать вышерассмотренным методом, что уравнение (42), где - натуральное число, a - четное, b и c нечетные целые числа, не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b, c. (Хотя ход доказательства несколько отличается, т.к. == с + b - число четное при q = 2 и b и c нечетных целых числах).

При «Исключением» являются , или .

(При «Исключением» являются, например, или , при которых а = 2 и выполняется тождество (этот случай рассматривать не будем).

Действительно, решениями уравнения, например, a³ = c² - b² (43) являются (это хорошо известно в теории чисел) следующие выражения:

a = б² - д² - четное число при б и д - нечетных или четных.

c = б³ + 3бд² - четное число при б и д - нечетных или четных.

b = 3б²д + д³ - четное число при б и д - нечетных или четных.

(Такой же результат получается (a, c, b - четные числа) для любого уравнения

(42), где - натуральное.)

Однако вернемся к уравнению (43) a³ = c² - b².

«Исключением» являются следующие его решения:

1. b = ±1; c = ±3; a = 2 (при r = 1 и = ±3);

2. b = 3; c = ±1; a = -2 (при r = -1 и = 3),

при которых получаем соответственно тождества:

1. 2³ ? (±3)² - (±1)²

2. (-2)³ ? (±1)² - (±3)²

**********

Примечание.

1. Великая теорема Ферма для доказывается аналогичным способом, примененным при доказательстве «Утверждения 1», в результате чего возникает «противоречие» при оценке четности чисел a, b, c. Это мы покажем ниже при доказательстве «Утверждения 2».

2. Для степени p = 2 в уравнении такого «противоречия» при оценке четности чисел a, b, c не возникает.

3. Данное «Утверждение 1» автоматически доказывает справедливость Великой теоремы Ферма для показателя простом, т.к. она является частным случаем этого «Утверждения 1» при простом. Имея дело с уравнением (44) , где простое, a, b, c - целые отличные от нуля числа, становится возможным применение метода бесконечного спуска, о чем в свое время упоминалось самим Ферма.

«Исключение» (b = ±1 или c = ±1) в «Утверждении 1» на Великую теорему Ферма не распространяется, т.к. в теории чисел хорошо известно, что целые числа a, b, c, удовлетворяющие соотношению (44) (если такие существуют) должны удовлетворять неравенствам | a | > p, | b | > p, | c | > p (Постников М.М. Введение в теорию алгебраических чисел. - М. - Наука. - 1982. - С. 13).

Вывод: Великая теорема Ферма для степени простом доказана.

********

Утверждение 2,

частным случаем которого является Великая теорема Ферма, для показателя q = 4

Часть 1

Уравнение ( - четное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Часть 2

Случаи (либо b = ± 1, либо c = ± 1) ОТСУТСТВУЮТ.

**********

Часть первая (Утверждения 2)

Уравнение ( - четное, q = 4 = 2^m, где m = 2) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Доказательство

Итак, имеем уравнение (1), где - четное, числа a, b, c (если, конечно, они существуют) - попарно взаимно простые целые числа (это наше допущение - вопреки «Утверждению 2»), среди которых только одно четное число a.

Из уравнения (1) следует: => (2).

Пусть (3), где и в - целые числа, отличные от нуля и c² + b² = 2 в (4), где в - нечетное число при c и b- нечетных.

*********

Примечание

То, что в в уравнении (4) нечетное число, хорошо известный факт в теории чисел, который легко доказывается.

Представим нечетные числа b и c в виде:

b = 2n₁ + 1; c = 2n₂ + 1,

где n₁ и n₂ - произвольные целые числа. Тогда

b² + c² = (2n₁ + 1)² + (2n₂ + 1)² = 2 [2 (n₁²+n₂²+n₁+n₂) + 1],

где в квадратных скобках нечетное число, что и требовалось доказать.

*******

Тогда из уравнения (2) следует (с учетом (3) и (4):

= , где c² + b² ? 0, т.к. c ? 0, b ? 0, т.е.

(5),

где k - целое число, отличное от нуля, т.к. c и b взаимно простые целые числа (при - целое число k - четное число, т.к. пропорционально 4 (явно) при b и с - нечетных числа => 2^l-2k - четное число при).

Из соотношений (4) и (5) определяем b² и c²:

=> =>

Откуда в = b² + 2^l-2k (8) - нечетное число (из (4)) при b - нечетном и 2^l-2k - четном.

*********

Вывод:

1. Из соотношения (4) имеем:

(9) - нечетное число.

2. Из соотношения (5) имеем:

(10) пропорционально 2 (явно), т.е. - четное число.

Это дополнительная информация о свойствах предполагаемых взаимно простых числах , которая в дальнейшем нам очень пригодится.

*******

Теперь попробуем выразить сумму четвертых степеней чисел c и . Учитывая соотношения (6) и (7), получим:

 ,

т.е. (11),

где - целые числа, которые, в свою очередь, как мы знаем из предыдущего доказательства «Утверждения 1» (для ), могут быть выражены через другие целые числа следующим образом:

(12) - нечетное число при - нечетном;

(13) - нечетное число при - нечетном;

(14) - нечетное число при - нечетном;

(15) - четное число.

Примечание: во всех последующих исследованиях (Случаях) нас не будут интересовать t =0 и r=0 (при t =0 и - четные из (12) и (13), при r=0 = 0 (из (15)) => а = 0 (из (3)), что противоречит нашему допущению). .

*******

Для простоты опять обозначим правые части уравнений (12), …, (15) буквами С, В, N, К, т.е.

= С

= В

= N

= К,

и рассмотрим случай, когда в правых частях уравнений (12), …, (15) перед С, В, N, К, стоят «плюсы» и выполняется Условие1.

********

Условие1 (начало)

с² = С

b² = B

= N

Случай «+».

(12+) - нечетное число при - нечетном;

(13+) - нечетное число при - нечетном;

(14+) - нечетное число при - нечетном;

(15+) - четное число.

Казалось бы, все нормально: четность чисел в (12+),…, (15+) совпадают при - нечетном с нашими предыдущими рассуждениями.

Однако не все так просто.

Помимо всего прочего, у нас есть еще две дополнительные информации (9) и (10) (о четности, заключенной в «Выводе» (стр.36)), вытекающие из предположения о том, что, вопреки условию «Утверждения 2», допустим, существуют попарно взаимно простые целые числа .

Попробуем найти сумму , воспользовавшись их выражениями (12+) и (13+):

,

т.е. => () пропорционально 4, откуда следует, учитывая (9) в «Выводе» (стр.36),

!

Т.е., вопреки «Выводу», является не нечетным, а четным числом, что возможно (из (14)) при - четном.

Однако, если - четное, то (в (12+) и (13+)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию в Случае «+» с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 1 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах, где - четное натуральное число.

********

Мы рассмотрели случай, когда перед скобками в (12+), …, (15+) стояли «плюсы».

Случай, когда перед теми же скобками стоят «минусы» (Случай «-»), аналогичен вышерассмотренному. Вывод тот же. (Смотри Случай «-» на стр.8.)

********

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы). Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.

********

Т.к. уравнение (11) симметрично для с² и b², (для уравнения (11) они равнозначны), то с² и b² могут меняться своими выражениями (C и В). Это свойство назовем «новым свойством ». Поэтому аналогичны вышерассмотренному и случаи («Новые» случаи «+» и «-»), когда опять перед теми же В, С, N и К стоят одинаковые знаки.

Условие 2 (начало)

с² = В

b² = С

= N

«Новые» случаи «+» и «-».

(12ґ±) c² =± В

(13ґ±) b²=±С

(14±) =± N

(15±) =±К.

И в этом случае сумма пропорциональна 4, откуда следует, (учитывая (13) в «Выводе» (стр.36)), !

Т.е., вопреки «Выводу», и в этих «Новых» случаях «+» и «-» является не нечетным, а четным числом, что возможно(из (14±)) при -четном.

Однако, если - четное, то (в ((12ґ±) и ((13ґ±)) являются четными, т.е. в уравнениях (2) и (1) числа - четные, а потому не являются попарно взаимно простыми целыми числами.

Мы пришли к противоречию (в «Новых» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 2 (начало) не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Примечание

Осталось рассмотреть еще 14 случаев, рассматривающих «новые свойства », когда перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы).

Но об этом - во 2-ой части данного Утверждения 2.

********

Уравнение (11) симметрично и для и для (для уравнения (11) они равнозначны), которые тоже могут меняться своими выражениями (N и К). Это свойство назовем «похожим свойством и ». А это означает, что нам придется рассмотреть еще 16 «похожих» случаев (с 1-го по 14 и случаи «+» и «-», в которых и меняются своими выражениями (N и К)).

Условие 3.

с² = С

b² = B

= К

« Похожие» случаи «+» и «-».

(12±) c² = ± () = ± С

(13±) b² = ± () = ± В

(14ґ±) = = ±К

(15ґ±) = ± N

Согласно одному из Выводов (формула (10) пропорционально 2 (явно), при . Но это возможно, глядя на четное (15ґ±) = ±N= ±() только при t- четном, при которых в (12±) и (13±) c и b - четные, чего не должно быть.

Мы пришли к противоречию (в «Похожих» случаях «+» и «-») с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

*******

В остальных 14 «похожих» случаях, где опять же = ± N= ± ( ) и перед С, В, N, К стоят всевозможные знаки (плюсы и минусы), рассуждая аналогичным способом (и при этом не затрагивая «новые свойства » (пояснение (стр.10), подобное для при доказательстве Утверждения 1), мы придем к прежнему результату: c и b - четные, чего не должно быть.

Это значит, что мы опять придем к противоречию с нашим предположением о существовании у уравнения (1) попарно взаимно простых целых решений.

********

Вывод. Следовательно, это уравнение (1) в данном Условии 3 не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.

*******

Вывод

1. Таким образом, в вышеприведенных Условиях 1 (начало), 2 (начало) и 3 уравнение (1) (1), где - четное натуральное число, не имеет решений в целых попарно взаимно простых отличных от нуля числах.