Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству

Теорема (о рациональных точках на окружности). (1) Все рациональные точки M(x; y) единичной окружности имеют координаты

,

при некоторых m, n Z , НОД(m, n) = 1.

(2) Все рациональные пифагоровы тройки, т.е. рациональные решения уравнения x² + y² = z² задаются формулами , где m, n Z и НОД(m, n) = 1, z Q .

2. Целые решения уравнения Пифагора. Рассмотрим диофантово уравнение x² + y² = z² от трёх неизвестных x, y, z. Оно, конечно, имеет решения: например, (0; 0; 0), (0; 1; 1), (3; 4; 5) и множество других. Решения, в которых одно из чисел равно нулю, называются тривиальными. Ясно, что все тривиальные решения имеют вид: (0; y; ±y), (x; 0; ±x), где x, y Z . Поэтому достаточно искать только нетривиальные решения.

Назовём решение (x; y; z) примитивным, если любые два числа в нём взаимно просты, т.е. если НОД(x, y) = НОД(x, z) = НОД(y, z) = 1. Ясно, что если есть некоторое решение (x; y; z) и D = НОД(x, y, z), то x = Dx₁ , y = Dy₁ , z = Dz₁ при некоторых целых x₁ , y₁ , z₁ , причём ввиду x² + y² = z² получаем, сокращая на D², x₁² + y₁² = z₁², т.е. тройка (x₁ ; y₁ ; z₁) тоже является решением. Кроме того, это решение примитивно: если НОД(x, y) = d > 1, то x₁ = dx₂ , y₁=dy₂ , d²(x₂²+y₂²)= z₁² и число z₁ делится на любой простой делитель p числа d, вопреки взаимной простоте чисел x₁ , y₁ , z₁ . Аналогично рассматриваются и другие случае НОД(x, z) > 1, НОД(y, z) > 1.

Итак, доказано, что любое решение уравнения Пифагора получается из примитивного умножением всех его компонент на некоторое натуральное число D. Поэтому достаточно искать лишь примитивные пифагоровы тройки. Поскольку каждая такая тройка состоит из рациональных чисел, то можно применить описание рациональных пифагоровых троек.

Прежде всего, заметим, что из x² + y² = z² следует, что одно из чисел x, y чётно, а другое нечётно. Действительно ввиду примитивности тройки x, y не могут быть чётными одновременно. Если x, y оба нечётны, то x² + y² чётно, т.е. z чётно и x² + y² делится на 4, что ведёт к противоречию: если x=2u+1, y = 2v + 1 (u, v Z), то x² + y² = 4(u² + u + v² + v) + 2 и не делится на 4.

Поменяв, если нужно, x, y местами (уравнение Пифагора симметрично по x, y), будем считать, что x чётно, а y нечётно. Согласно предыдущей теореме, каждая примитивная тройка (x; y; z) имеет вид при целых z, m, n, НОД(m, n) = 1. Значит, x(m² + n²) = z2mn, причём числа x и z взаимно простые. По основному свойству взаимно простых чисел получаем m² + n² = zt (t Z) и xt =2mn, y = , т.е. m² - n² = yt . Отсюда 2m² = (z + y)t, 2n² = (z - y)t, т.е. t - общий делитель чисел 2m² и 2n². Поэтому t делит НОД(2m², 2n²)=2НОД(m²,n²)=2.

Если t = ±2, то m² + n² = ±2z 2, т.е. взаимно простые числа m, n оба нечётны, и кроме того, ±2x = 2mn, т.е. x= ±mn - нечётно, вопреки выбору x.

Значит, t = ±1, x = ±2mn, y = ±(m² - n²), z = ±(m² + n²), где целые числа m, n взаимно простые разной чётности (иначе y чётно), а комбинации знаков могут быть любыми. Учитывая возможность поменять местами x, y, получаем ещё возможность x = ±(m² - n²), y = ±2mn, z = ±(m² + n²). Любая целочисленная тройка получается одновременным умножением компонент описанных выше примитивных троек на произвольное целое число.

Легко проверить непосредственно, что найденные тройки действительно являются пифагоровыми: так, для x = ±(m² - n²), y = ±2mn, z = ±(m² + n²) получаем

x² + y² = (m² - n²)² + (2mn)² = m⁴ - 2m²n² + n⁴ + 4m²n² =

= m⁴ + +2m²n² + n⁴ = (m² + n²)² = z² .

доказательство теорема ферма уравнение

Таким образом, доказана

Теорема (о пифагоровых тройках). Любая пифагорова тройка имеет один из следующих видов:

,

где D, m, n - целые числа, m и n взаимно простые разной чётности.

Именно сочинение Диофанта “Арифметика”, изданное в 1621 году в переводе Клода Гаспара де Баше де Мазирьяка (1581-1630), в котором исследовались рациональные и целые решения уравнения Пифагора, дало повод Пьеру Ферма записать на полях этого перевода одно из самых достопримечательных замечаний в истории математики:

“Невозможно разложить куб на два куба, или биквадрат на два биквадрата, или вообще степень, большую двух, на две степени с тем же самым показателем; я нашел этому поистине чудесное доказательство, однако поля слишком малы, чтобы оно здесь уместилось”. Таким образом, большая или Великая теорема Ферма утверждает, что уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ, ни при каком натуральном n, большем двух, неразрешимо в натуральных числах.

К сожалению, сам Ферма не оставил своего чудесного доказательства, в его записках было обнаружено обоснование лишь частного случая этой теоремы для n = 4. Долгие годы все усилия по доказательству Великой теоремы Ферма были тщетны, продвижения начали появляться лишь, начиная с XVIII в.: Л. Эйлер доказал теорему Ферма для n = 3 (1770 г), А. Лежандр - при n = 5 (1825 г), и Г. Ламе - для n = 7 (1839 г).

В 1908 году Пауль Вольфскель завещал премию в 100 тысяч германских марок тому, кто первым представит доказательство. В результате инфляции после первой мировой войны величина премии в настоящее время ничтожна. К тому же как указывает Г. Эдвардс в своей книге о теореме Ферма [5], премия была назначена лишь за доказательство предположения - нахождение контрпримера не принесло бы ни пфеннига его открывателю !

После объявления о премии Великой теоремой Ферма занялись не только профессионалы, но и широкая публика. Так как в условие награждения входило требование, чтобы доказательство было опубликовано, а научные издательства не желали принимать ложных доказательств, то авторы печатали свои доказательства на собственный счет. Так во многих странах, в том числе и в России, появилось много печатных неправильных доказательств Великой теоремы Ферма.

Общим свойством этих “доказательств” является то, что они ошибочны уже для наименьшего показателя в теореме Ферма, а именно, для показателя n = 3. Авторы этих работ, преимущественно не математики, оперировали только элементарными средствами. Между тем, известное правильное доказательство, как будет ясно из дальнейшего, уже для показателя n = 3 является неэлементарным.

Замечательные продвижения принадлежат Э. Куммеру (1810-1893), который своими исследованиями по проблеме Ферма оказал решающее влияние на развитие алгебраической теории чисел. В XX столетии его методы были усовершенствованы и дополнены (1929 г. и позже) прежде всего благодаря усилиям У. Вандивера, Г. Ламе и Э. Лемера. К 80-м годам XX в. с использованием ЭВМ неразрешимость уравнения хⁿ + yⁿ = zⁿ в натуральных числах была установлена для всех n 2¹²⁵⁰⁰⁰ (З. Вагштафф, 1976 г.). Если принять во внимание, что число 2¹²⁵⁰⁰⁰ записывается 37628-ю цифрами, то поиски контрпримера к Великой теореме Ферма представлялись совершенно безнадежным занятием.

23 июня 1993 г. математик из Принстона Эндрю Вайлс в докладе на конференции по теории чисел в Кембридже (Великобритания) анонсировал решение проблемы Ю. Таниямы (о модулярности эллиптических кривых с рациональными коэффициентами). Ранее уже было доказано (в 1985 г. Г. Фрей выдвинул гипотезу, которую в 1986 г. доказал К. Рибет), что из доказательства проблемы Таниямы следует утверждение Великой теоремы Ферма. Однако, в начале декабря 1993 г., когда рукопись Э. Вайлса уже готова была отправиться в печать, в его доказательстве были обнаружены пробелы. Автор извинился и попросил два месяца для исправления. Только через год с небольшим появилось полное доказательство гипотезы Таниямы, но уже двух авторов - Э. Вайлса и его ученика Р. Тейлора [6, 7]. Новых пробелов в этих работах специалистами пока не найдено.

Сама по себе Великая теорема Ферма не имеет большого значения для математики. Однако она сыграла важную роль для развития теории алгебраических чисел, теории идеалов, алгебраической геометрии и математики в целом: попытки её доказательства приводили к открытию новых методов, обогативших многие смежные области математики.

Закончим этот параграф следующими элементарными замечаниями о Великой теореме Ферма.

Лемма (об уравнении xⁿ + yⁿ = zⁿ). (1) Если диофантово уравнение xⁿ + yⁿ = zⁿ имеет нетривиальные целочисленные решения, то оно имеет решение в попарно взаимно простых целых числах.

(2) Великую теорему Ферма достаточно доказать для простых нечётных показателей n = p и для n = 4.

Доказательство. (1) Если xⁿ + yⁿ = zⁿ для x, y, z Z и НОД(x, y, z) = D, то , т.е. , причём целые числа взаимно просты: НОД() = 1. Поэтому сразу можно считать, что НОД(x, y, z) = 1.

Если какие-то два из чисел x , y , z не взаимно просты, то в их канонических разложениях участвует одно и то же простое число p. Пусть, например, оно участвует в x и z, т.е. x p, y p. Тогда yⁿ = zⁿ - xⁿ p, а значит, y p, вопреки НОД(x, y, z) = 1.

(2) Пусть Великая теорема Ферма доказана для n = 4 и для любого нечётного простого числа n = p. Рассмотрим случай произвольного показателя n.

Если в каноническое разложение n входит нечётное простое число p, т.е. n = pm, то существование нетривиального решения (x; y; z) диофантова уравнения xⁿ + yⁿ = zⁿ равносильно тому, что (x^m)^p + (y^m)^p = (z^m)^p, т.е. существованию нетривиального решения для теоремы Ферма с показателем p - противоречие.

Если же n не делится ни на одно простое нечётное число, то 1 < n = 2^k 4, и аналогичные рассуждения показывают, что n = 4m и (x^m)⁴ + (y^m)⁴ = (z^m)⁴, вопреки теореме Ферма для показателя 4.

Лемма доказана.

§ 3. Метод бесконечного спуска и доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 4

Метод бесконечного спуска. Вот цитата из письма П. Ферма к Каркави от августа 1659 года: “Поскольку обычные методы, которые изложены в книгах, недостаточны для доказательства столь трудных предложений, я нашел совершенно особый путь для того, чтобы достичь этого. Я назвал этот способ доказательства бесконечным (infinie) или неопределенным (indefinie) спуском; в начале я пользовался им только для доказательства отрицательных предложений:

- что не существует числа, меньшего на единицу кратного трёх, которое составлялось бы из квадрата и утроенного квадрата;

- что не существует прямоугольного треугольника в числах, площадь которого была бы квадратным числом.

Доказательство проводится путём приведения к абсурду таким способом: если бы существовал какой-нибудь прямоугольный треугольник в целых числах, который имел бы площадь, равную квадрату, то существовал бы другой треугольник, меньший этого, который обладал бы тем же свойством.

Если бы существовал второй, меньший первого, который имел бы то же свойство, то существовал бы в силу подобного рассуждения третий, меньший второго, который имел бы то же свойство, и, наконец, четвертый, пятый, спускаясь до бесконечности.

Но если задано число, то не существует бесконечности, по спуску меньших его (все время подразумеваются целые число). Откуда заключают, что не существует никакого прямоугольного треугольника с квадратной площадью”.

Этот метод бесконечного или неопределенного спуска действительно сделался одним из наиболее мощных средств диофантова анализа.

После П. Ферма его с успехом применяли Л. Эйлер и Л. Лагранж, а в наши дни - Л. Дж. Морделл, А. Вейль и другие. При этом метод был распространен на проблемы решения уравнения в рациональных числах. Осуществить метод спуска в общем случае теоремы Ферма мешает неединственность разложения целых чисел алгебраических колец в произведение простых сомножителей из того же кольца.

Проиллюстрируем суть метода бесконечного спуска простыми примерами.

Примеры: 1. Докажем, что - иррациональное число.

Предположим противное, т.е. что , где p, q N. Тогда имеем q = p, 2q² = p², откуда видно, что p чётно: p = 2p₁ (p₁ Z). Поэтому q² = 2p₁², и теперь q чётно: q = 2q₁ (q₁ Z). Кроме того, . Таким образом, начав с пары таких натуральных чисел (p; q), что , получили новую пару натуральных чисел (p₁ ; q₁) , где p₁ < p, q₁ < q, с тем же свойством. Точно так же по этой паре построим ещё одну пару (p₂ ; q₂), где p₂ < p₁ , q₂ < q₁ , и этот процесс построения пар можно продолжать бесконечно. Однако убывающая цепочка натуральных чисел p > p₁ > p₂ > … бесконечной быть не может. Полученное противоречие доказывает, что предположение о рациональности числа было неверно.

2. Докажем, что диофантово уравнение x² + y² = 3z² имеет только тривиальное решение x = y = z = 0.

Предположим, вопреки доказываемому, что (x; y; z) - нетривиальное решение. Тогда x и y делятся на 3. Действительно, рассматривая уравнение по модулю 3, получим сравнение x² + y² 0 (mod 3), которое выполнено только при x 0 y (mod 3), в чём легко убедиться, перебрав возможные значения x, y {0, 1, 2}:

Теперь x = 3x₁ , y = 3y₁ и 3(x₁² + y₁²) = z² , значит, z = 3z₁ . Поэтому x₁² + y₁² = 3z₁². Таким образом, начав с нетривиального решения (x; y; z), получили новое нетривиальное решение (x₁ ; y₁ ; z₁ ), причём |x₁| < |x| , |y₁| < |y| , |z₁| < |z| . По этому решению можно построить новое нетривиальное решение (x₂ ; y₂ ; z₂ ), где |x₂| < |x₁| , |y₂| < |y₁| , |z₂| < |z₁| , и этот процесс можно продолжать бесконечно. Однако убывающая цепочка натуральных чисел |x| > |x₁| > > |x₂| > … не может быть бесконечной. Полученное противоречие показывает, что предположение о существовании нетривиального решения рассматриваемого уравнения x² + y² = 3z² было неверным.

Проблема Ферма для показателя n = 4. Дадим короткое доказательство, использующее классификацию пифагоровых троек.

Теорема (о диофантовом уравнении x⁴ + y⁴ = z²). Диофантово уравнение x⁴ + y⁴ = z² не имеет решений в натуральных числах. В частности, не имеет решений в натуральных числах и уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴.

Доказательство. Пусть (x; y; z) - натуральное решение, т.е. x, y, z N. Если D = НОД(x, y) > 1, то для любого простого числа p, входящего в каноническое разложение D , число p⁴ входит в разложение z², а значит, p² входит в разложение z. Поэтому равенство x⁴ + y⁴ = z² можно последовательно сокращать на p⁴ , не нарушая вида этого равенства. Таким образом, через несколько шагов придём к аналогичному соотношению со взаимно простыми числами x, y.

Если НОД(x, y) = 1, то НОД(x, z) = 1 = НОД(y, z). Действительно, если, например, x и z делятся на некоторое простое число, то на это число делится и y⁴, а значит, y вопреки условию НОД(x, y) = 1. Таким образом, можно считать, что (x; y; z) - примитивное решение уравнения, т.е. все числа x, y, z попарно взаимно просты.

Если (x; y; z) -примитивное решение диофантова уравнения x⁴ + y⁴ = z² в натуральных числах, то (x²; y²; z) - примитивная пифагорова тройка. Следовательно, она имеет один из следующих видов:

,

где u, v - взаимно простые целые числа разной чётности (§ 1).

Рассмотрим только первую возможность, когда y нечётно, т.к. во втором случае всё аналогично. Тогда y² + v² = u², т.е. (y; v; u) - тоже пифагорова тройка, причём примитивная, т.к. u, v взаимно простые числа. Значит, можно считать, что y = s² - t², v = 2st, u = s² + t² для некоторых взаимно простых натуральных чисел s, t. Поэтому из x² = 4st(s² + t²) следует x = 2x₁ , где x₁² = st(s² + t²), причём числа st и s² + t² взаимно просты: если простое число p - их общий делитель, то p | s или p | t и p | (s² + t²), откуда по свойствам делимости p - общий делитель взаимно простых чисел s, t, что невозможно. Следовательно, по следствию из основной теоремы арифметики получаем s² + t² = b², st = a² , и далее s = m² , t = n² и m⁴ + n⁴ = b².

Таким образом, по примитивному решению (x; y; z) построено новое примитивное решение (m; n; b), причём b < x₁² < z, т.е. реализован метод бесконечного спуска. Значит, диофантово уравнение x⁴ + y⁴ = z² не имеет нетривиальных решений, а значит, их не имеет и уравнение x⁴ + y⁴ = z⁴.

Теорема доказана.

§ 4. Сводка результатов: от Эйлера до Куммера

Уже доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 3 не элементарно. Впервые полученное Эйлером, оно в течение многих лет оставалось идейным источником для дальнейших обобщений и модификаций.

1. Доказательство Великой теоремы Ферма для показателя n = 3. Пусть нашлись такие x, y, z Z, что z³ = x³ + y³ = (x + y)(x² - xy + y²) . Рассмотрим последовательно два случая.

I. x , y, z не делятся на 3. Воспользуемся известным фактом: a³ a (mod 3), в котором легко убедиться непосредственно, рассмотрев все возможности a 0, a 1, a -1 (mod 3) и проверив, что a³ 0, a³ 1, a³ -1 (mod 3) соответственно. Поэтому z z³ = x³ + y³ x + y (mod 3), т.е. z = x + y + 3u для некоторого целого числа u. Отсюда получаем x³ + y³ = z³ = (x + y + 3u)³ = (x + y)³ + 9(x + y)²u + 27(x + y)u² + 27u³ = x³ + 3x²y + 3xy² + y³ + 9k = x³ + y³ + 3xy(x + y) + 9k.

Значит, 3xy(x + y) + 9k = 0, т.е. xy(x + y) = -3k и xyz xy(x + y) 0 (mod 3), вопреки тому, что x, y, z не делятся на 3.

II. xyz 3. Без ограничения общности можно считать, что z 3 : если, например, x 3, то y³ + (-z)³ = (-x)³, т.е. x, y, z можно менять местами. Кроме того, ввиду попарной взаимной простоты чисел x, y, z можно считать, что x, y не делятся на 3.

б) Пусть , K, 0. Говорят, что делит или кратно , если = для некоторого K . Аналогично целым числам вводятся понятия общего делителя и общего кратного нескольких элементов.

Элемент K \ {0} называется обратимым, если обратный элемент ^-1 , который существует в С, лежит в K . Например, (²) = = 1, т.е. - обратимый элемент в K с обратным ² = -1 + (-1) K.

Элементы , , … , K называются взаимно простыми, если любой их общий делитель обратим. Они называются попарно взаимно простыми, если любые два из них взаимно простые.

Элемент р K называется простым, если в любом разложении р = ( , K) один из множителей , обратим, т.е. разложение тривиально. Не всякое простое целое число будет простым в K : 3 = (i)(-i) = = (1 + 2)(-1 - 2), причём элементы -1 - 2, 1 + 2 не обратимы: например, (1 + 2)-¹ = K, т.к. из равенства = m + n = = m + n получим невозможное 2i = 6m - 3n + i3n.