Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству

Замечание: На самом деле r(p) - это просто количество различных корней многочлена p(t) в поле комплексных чисел без учёта их кратностей. Действительно, все простые над С имеют степень 1, так что полиномы p₁(t), … , p_k(t) в каноническом разложении многочлена p(t) имеют степень 1 и определяют один корень многочлена. Поэтому для многочлена p(t) = верно r(p) = k - количество различных корней многочлена.

Доказательство. Это доказательство принадлежит ученику выпускного класса Н. Снайдеру, который нашёл его после беседы с С. Ленгом, сформулировавшим для него теорему Мейсона-Стотерса. Сейчас этот школьник уже окончил Гарвардский университет.

Лемма. Пусть f(t) - многочлен положительной степени, f(t) - его производная. Тогда d(f) = d(НОД(f , f ')) + r(f).

Доказательство. Во-первых, сделаем замечание о корнях полинома f(t). Пусть - корень f(t), т.е. такое комплексное число, что f() = 0. Разложим f(t) по степеням двучлена t - , записав f(t) = f_n(t - )ⁿ + … + f_m(t - )^m, где f_n 0 f_m , m 1 - кратность корня . Тогда можно вычислить производную f(t) = nf_n(t - )ⁿ-¹ + … + mf_m(t - )^m-¹, т.е. m - 1 является наибольшей степенью двучлена t - , делящей f(t).

Пусть теперь ₁ , … , _r - все различные корни многочлена f(t) кратностей m₁ , … , m_r соответственно. Тогда f(t) = . Сделанное в предыдущем абзаце замечание и однозначность разложения на множители дают разложение НОД(f , f ) = для некоторой ненулевой константы p_n . Значит,

d(f) = m₁ + … + m_r = (m₁ - 1) + … + (m_r - 1) + r = = d(НОД(f , f)) + r(f).

Лемма доказана.

Закончим доказательство теоремы Мейсона-Стотерса. Прежде всего, три многочлена D_a(t) = НОД(a , a), D_b(t) = НОД(b , b), D_c(t) = НОД(c , c') попарно взаимно просты. Действительно, любой делитель первых двух является общим делителем a(t) и b(t), а значит, тривиален. Точно так же общий делитель, например, первого и третьего из этих многочленов будет общим делителем a(t) и c(t), и делителем c(t) - a(t) = b(t), откуда снова следует тривиальность этого общего делителя.

Далее, из условия a(t) + b(t) = c(t) получаем аналогичное соотношение a(t) + b(t) = c(t) для производных. Значит,

a(t)b(t) - a(t)b(t) = a(t)(a(t) + b(t)) - a(t)(a(t) + b(t)) = a(t)c(t) - a(t)c(t).

При этом D_a = НОД(a , a) и D_b(t) = НОД(b , b) делят левую часть, а многочлен D_c(t) = НОД(c , c') делит правую часть, а значит, и левую. Поскольку все эти три многочлена попарно взаимно просты, то левая часть рассматриваемого равенства a(t)b(t) - a(t)b(t) делится и на произведение этих трёх многочленов D_a(t)D_b(t)D_c(t). Тогда

d(D_aD_bD_c) = d(D_a) + d(D_b) + d(D_c) d(a(t)b(t) - a(t)b(t))

max{d(a(t)b(t)), d(a(t)b(t))} d(a) + d(b) - 1.

Прибавляя d(c) к обеим частям и переставляя слагаемые, получим

d(c) + d(D_a ) + d(D_b ) + d(D_c ) d(a) + d(b) + d(c) - 1,

т.е. d(c) d(a) - d(D_a ) + d(b) - d(D_b ) + d(c) - d(D_c ) - 1.

Согласно лемме получаем d(c) r(a) + r(b) + r(c) - 1 = r(abc) - 1 ввиду взаимной простоты многочленов a(t), b(t), c(t).

Теорема доказана.

Рассмотрим некоторые следствия доказанной abc - Теоремы для многочленов, иллюстрирующие её скрытую силу.

Теорема (“Великая теорема Ферма” для многочленов). Уравнение x(t)ⁿ + y(t)ⁿ = z(t)ⁿ с неизвестными многочленами x(t), y(t) , z(t) C[t] , n 3 допускает только тривиальные решения: либо один из многочленов x(t), y(t), z(t) нулевой, либо все эти многочлены являются константами.

Доказательство. Пусть x(t), y(t), z(t) - тройка ненулевых многочленов со свойством x(t)ⁿ + y(t)ⁿ = z(t)ⁿ. Если хотя бы один из этих многочленов не является константой, то можно выбрать такую нетривиальную тройку с наименьшей суммой d(x) + d(y) + d(z).

Прежде всего, можно считать эти многочлены попарно взаимно простыми. Действительно, если, например, p(t) - неразложимый многочлен положительной степени, делящий какие-то два из рассматриваемых многочленов, то, очевидно, что он делит и n-ю степень третьего многочлена, а значит, делит и сам третий многочлен. Значит, x(t) = p(t)u(t), y(t) = p(t)v(t), z(t) = p(t)w(t), и сократив равенство x(t)ⁿ + y(t)ⁿ = z(t)ⁿ на p(t)ⁿ получим, что u(t)ⁿ + v(t)ⁿ = w(t)ⁿ, причём d(u) + d(v) + d(w) = d(x) - d(p) + d(y) - d(p) + d(z) - d(p) < d(x) + d(y) + d(z),

вопреки предположению о минимальности последней суммы степеней.

Итак, можно считать, что тройка x(t), y(t), z(t) нетривиальна и состоит из попарно взаимно простых многочленов. Тогда взаимно просты и многочлены a(t) = x(t)ⁿ, b(t) = y(t)ⁿ, причём a(t) + b(t) = c(t) = z(t)ⁿ. По abc - теореме

max(d(a) , d(b), d(c)) r(abc) - 1 = r(a) + r(b) + r(c) - 1,

nmax(d(x), d(y), d(z)) r(x) + r(y) + r(z) - 1 d(x) + d(y) + d(z) - 1.

В частности, отсюда следует, что nd(x) d(x) + d(y) + d(z) - 1, т.е.

(n - 1)d(x) d(y) + d(z) - 1.

Аналогично, (n - 1)d(y) d(x) + d(z) - 1, (n - 1)d(z) d(x) + d(y) - 1. Складывая три полученных неравенства, приходим к оценкам

(n - 1)(d(x) + d(y) + d(z)) 2(d(x) + d(y) + d(z)) - 3,

(n - 3)(d(x) + d(y) + d(z)) - 3,

что невозможно при n 3.

Теорема доказана.

Замечание. Как и для натуральных чисел, уравнение Ферма для многочленов при n = 2 имеет бесконечно много решений, например, такие:

x(t) = 2u(t)v(t), y(t) = u(t)² - v(t)², z(t) = u(t)² + v(t)²

при любых u(t), v(t) C[t].

§ 3. abc-гипотеза для натуральных чисел

Теоретико-числовая abc-проблема формулируется следующим образом: при любом > 0 существует такая константа K(е) > 0, что для всех взаимно простых натуральных чисел a, b, c со свойством a + b = c, верно неравенство c K(е)·(r(abc))¹⁺ , где для заданного натурального числа n с каноническим разложением n = символ r(n) обозначает выражение p₁ … p_k и называется радикалом числа n (при этом считаем, что r(1) = 1).

Именно в таком довольно неестественном виде эта гипотеза была сформулирована Массером и Остерле в 1986 г. Её значение состоит в том, что в случае её справедливости получаются изящные и короткие доказательства известных трудных теорем теории чисел, в том числе и доказательство Великой теоремы Ферма. Массер и Остерле не сразу сформулировали эту гипотезу. Они работали над много более общей задачей, которая ни в коей мере не элементарна, abc-гипотеза возникла из глубокого изучения алгебраической геометрии и теории модулярных функций.

Примеры: r(24) = r(2³3) = 23 = 6, r(10) = r(25) = 25 = 10, r(2016) = = r(2⁴101) = 2101 = 202.

Ясно, что для любого числа n N верны неравенства r(n) n, r(n^m) = = r(n) n = (n^m)^{1 / m} .

Любую тройку натуральных чисел (a; b; c) со свойствами a + b = c, НОД(a, b) = 1 будем называть abc-тройкой. Нетрудно понять, что условие НОД(a, b) = 1 взаимной простоты чисел a, b равносильно условию взаимной простоты любой пары чисел из abc-тройки. Например, НОД(a, c) = 1 : если D = НОД(a, c), то D | a, D | c и из равенства a + b = c получаем, что D | b , т.к. b = c - a, т.е. D - общий делитель a и b, а значит, D = 1. Таким образом, в определении abc-тройки можно ограничиться условием взаимной простоты НОД(a, b, c) = 1 всех трёх чисел a, b, c в совокупности.

Примеры: 1. 1 + 1 = 2. Здесь c = 2 < 1r(abc)¹⁺ = 12¹⁺, K() = 1.

2. 1 + 2 = 3, c = 3 < 1r(abc)¹⁺ = 16¹⁺, K() = 1.

3. 1 + 3 = 4. Здесь c = 4 < 1r(abc)¹⁺ = 16¹⁺, K() = 1.

4. 1 + 8 = 9, c = 9 < r(abc)¹⁺ = 6¹⁺, K() = .

5. 3 + 125 = 128. Здесь c = 128 < 4r(abc)¹⁺ = 430¹⁺, K() = 4.

6. 5 + 27 = 32, c = 32 < 1,1r(abc)¹⁺ = 1,130¹⁺, K() = 1,1.

7. 12 + 13 = 25, c = 25 < 1r(abc)¹⁺ = 1390¹⁺, K() = 1.

abc-Гипотеза для натуральных чисел выглядит сложнее, чем для многочленов. Первое, что приходит в голову, - упростить её формулировку: существует такая константа K > 0, что для любой abc-тройки верно неравенство c < Kr(abc). Однако, как показали два студента Йельского университета Стейл Войтек Ястрзебовский и Дэн Шпильман, такое предположение не верно:

Лемма. (1) Для любого k N .

(2) Для любого k N тройка является abc-тройкой, причём с = > r(abc) = 3r().

(3) Не существует такой константы K > 0, что для любого k N для abc-тройки из (1) верно c < Kr(abc).

Доказательство. (1) Индукция по k. База k = 1: 8 = 3² - 1 2³.

Предположим, что для k = 1, … , m и докажем, что это верно и при k = m + 1: . Действительно, , так что . Первая скобка чётна, т.е. делится на 2, а вторая скобка по предположению индукции делится на 2 ^m+2. Произведение же скобок делится на 2 ^m+3, что и требовалось.

(2) То, что - abc-тройка, не вызывает сомнений. Проверим неравенство из формулировки abc-гипотезы.

Во- первых, r(abc) = r(1) = r(). Во-вторых, в каноническом разложении , где s k + 2, простые числа в правой части не равны 3, т.к. иначе, 3 | , 3 | и 3 | 1, что невозможно. Наконец, r() = 32p₂ … p_k . Таким образом, с = > r(abc).

(3) От противного с учётом предыдущих вычислений:

,

т.е. K > , что невозможно при k .

Лемма доказана.

Утверждение (2) леммы показывает, что существует бесконечно много abc-троек со свойством c > r(abc). Такие тройки называются хитовыми. Расчёты на ЭВМ показывают, что хитовых троек относительно мало: так, для c < 50000 есть только 276 хитовых троек. Приведём все хитовые тройки для c < 1000 (их всего 31):

Смысл хитовости понятен: только хитовые тройки могут дать контрпример к abc-гипотезе, поэтому именно на них нужно сосредоточить особое внимание. Можно ввести меру хитовости abc-тройки : для abc-тройки (a; b; c) положим

Ясно, что это равенство эквивалентно следующим соотношениям:

 ln c = ln r(a, b, c)

c = e^{ln r(a, b, c)} = (e^{ln r(a, b, c)}) c = r(a, b, c)^{(a, b, c)}, (a, b, c) = log _{r(a, b, c)} c .

Оказывается, что все известные abc-тройки имеют ограниченную меру хитовости. Вот первые три тройки в хит-параде хитовых троек:

1. a = 2, b = 3¹⁰109, c = 23⁵, = 1,62991…

2. a = 11², b = 3²5⁶7³, c = 2²¹23, = 1,62599…

3. a = 191307, b = 729²31⁸, c = 2⁸3²²5⁴, = 1,62349…

Для примера приведём меры хитовости для всех хитовых троек со значениями c < 1000:

В связи с этим естественно возникают следующие вопросы:

О верхней грани меры хитовости: существует ли такое число g, что для всех abc-троек выполнено неравенство (a, b, c) g ?

О конечности числа abc-троек с высокой мерой хитовости: верно ли, что для любого h > 1 существует лишь конечное число abc-троек со свойством (a, b, c) h, и бесконечно много abc-троек, для которых выполнено 1 < (a, b, c) < h ?