Великая теорема Ферма: история и обзор подходов к доказательству

Два элемента , K называются ассоциированными, если = для некоторого обратимого элемента K. В этом случае пишут ~ .

в) Для элемента = p + q K определим норму

N() = (p + q)(p + ²q) = p² +( + ²)pq + q² = p² - pq + q² Z ,

которая на самом деле совпадает с квадратом модуля комплексного числа : p + ²q = p + q = . Таким образом, N() = = ||² 0, и справедливы следующие свойства квадрата модуля:

(N1) N() = 0 = 0;

(N2) N()N() = ||²||² = ||² = N();

(N3) N(1) = 1.

г) Лемма (об обратимых элементах). Следующие условия для элемента K эквивалентны:

(1) элемент K обратим;

(2) N() = 1;

(3) {1, -1, , -, ², -²}.

д) Теорема (о делении с остатком). В числовом кольце K выполняется алгоритм деления с остатком относительно нормы, т.е. для любых K, K \ {0} существуют такие , K , что = + и N() < N().

Пример: Разделим = 2 - 5 на = 3 + 2 с остатком.

Вначале вычислим частное обычных комплексных чисел

.

Теперь найдём ближайшие целые числа к дробям и : -1 и -3 соответственно и образуем число = -1 + (-3). Поэтому = + , где

= - = 2 - 5 - (3 + 2)(-1 + (-3)) = 2 - 5 + 3 + 11 + 6² = 5 + 6 - 6( + 1) = -1 + 0, причём N() = N(-1 + 0) = (-1)² - (-1)0 + 0² = 1 < 3² - 32 + 2² = 7 = N().

Таким образом, частное = -1 + (-3), и остаток = -1 + 0.

е) Лемма (основное свойство простых элементов). Если р - простой в K элемент и р | … , где , , … , K , то р делит один из сомножителей , , … , .

ж) Лемма (о простых числах). (1) Элемент р = x + y - простой в K тогда и только тогда, когда

- либо р ~ p для некоторого простого натурального числа p, неразложимого в K,

- либо N(р) = (x + y)(x + y) = p - простое натуральное число. Все остальные элементы с нормой p имеют вид р или для обратимого элемента K .

Пример: Найдём все простые элементы в K с нормой 13.

Если р = x + y - простой элемент в K и N(р) = 13 = x² - xy + y² = 13, то x² - xy + y² - 13 = 0 - уравнение для x, и D = y² - 4(y² - 13) = 52 - 3y² 0, т.е. 3y² 52, |y| 4 (x , y Z). При y = 1 находим x = -3, т.е. р = -3 + .

Значит, в K число 13 = (-3 + )(-3 + ) = (-3 + )(-4 - ) разложимо в произведение простых сомножителей: если, скажем, -4 - = -3 + = , то N(-4 - ) = 13 = N() = N()N(), значит, N() = 1 или же N() = 1 т.е. один из элементов , обратим.

Значит, остальные простые элементы с нормой 13 имеют вид р или для обратимых элементов {±1, ±, ±²}, т.е.

р = (-3 + ) = -3 - - 1 = -1 - 4, = (-4 - ) = 1 - 3,

²р = ²(-3 + ) = ( + 1)3 + 1 = 4 + 3 , ² = ²(-4 - ) = 3 + 4.

В итоге получаем все элементы с нормой 13:

±(3 - ), ±(4 + ), ±(1 + 4), ±(1 - 3), ±(4 + 3), ±(3 + 4).

з) Теорема (основная теорема арифметики кольца K). (1) Любой ненулевой элемент из K либо обратим, либо является произведением некоторого обратимого и нескольких простых элементов из K.

(2) Такое разложение единственно с точностью до перестановки сомножителей и ассоциированности: если р₁ … р_s = ₁ … _t , то s = t и после перестановки сомножителей справедливы равенства р_i = _ii (1 i s), = ₁ … _s для некоторых обратимых элементов ₁ , … , _s K .

Пример: Найдём каноническое разложение элемента = 126 - 68.

Ясно, что 126 - 68 = 2(63 - 34), причём 2 - простой элемент в K: если 2 = , то N()N() = 4, т.е. N() = 2 = N(), что невозможно, т.к. квадратное уравнение x² - yx + y² = 2 относительно x не имеет решений ввиду того, что его дискриминант D = 8 - 3y² не является квадратом целого числа при y Z.

Разложим = 63 - 34. Вначале разложим на множители число = = N(63 - 34) = 63² + 6334 + 34² = 7267 = 13²43. Таким образом, в разложение могут входить лишь простые элементы, участвующие в разложениях простых натуральных чисел 13 и 43.

Число 13 уже было разложено выше: 13 = (-3 + )(-4 - ). Если разделить на -4 - , то

,

т.е. деления нацело нет. Однако при делении на -3 + имеем:

= -22 +3.

Таким образом, = (-3 + )(-22 + 3). Остаётся разложить = -22 + 3 c нормой N(-22 + 3) = N() / 13 = 1343.

Снова поделим на простое число -3 + с нормой 13:

= 7 + .

Значит, = (-3 + )(7 + ), где N(7 + ) = 43 - простое натуральное число, так что 7 + - простой элемент в K.

Итак, = 126 - 68 = 2(-3 + )²(7 + ) - каноническое разложение в K.

и) Следствие (о разложении степени). Если в K некоторая степень разложена в произведение необратимых попарно взаимно простых сомножителей: zⁿ = u₁ … u_k , то каждый сомножитель u_i является (с точностью до обратимого множителя) той же степенью подходящего элемента из K: u_i = _it_iⁿ , (1 i k), z = t₁ … t_k , ⁿ = ₁ … _k .

Основываясь на этих результатах, закончим обоснование гениальной догадки Эйлера.

В полученном разложении (x - 3u + 3u)(x - 6u - 3u) = n³ сомножители x - 3(1 - )u и x - 3(2 + )u взаимно просты. Действительно, любой их общий простой в K делитель р делит и комбинации

(x - 3(1 - )u) - (x - 3(2 + )u) = 3(2 + - 1 + )u = 3(1 + 2)u,

(2 + )(x - 3(1 - )u) - (1 - )(x - 3(2 + )u) = (1 + 2)x.

Он не может делить u и x, т.к. иначе u² = N(u) N(р) и x² = N(x) N(р), вопреки взаимной простоте целых чисел u, x. Значит, р | (1 + 2) - простое в K с нормой 3, и можно считать, что

р = 1 + 2 = 1 - + 3 = 1 - + (1 - )(1 - ) =

= (1 - )(1 + (1 - )) = (1 - ),

т.е. р | (1 - ). Из р | (x - 3(1 - )u) получаем р | x , N(р) | N(x) или 3 | x² - противоречие с выбором x 3.

Итак, n³ = (x - 3(1 - )u)(x - 3(2 + )u) - разложение куба в произведение двух взаимно простых в K множителей. Значит,

x - 3(1 - )u = (k + m)³ = ^e(k + m)³ (e {0, 1, 2})

для некоторых целых k, m и обратимого {1, , ²} . Здесь учтено, что (-(k + m)³ = (-k - m)³). Более подробно, правая часть равна:

e = 0: k³+3k²m+3²km²+m³ = (k³-3km²+m³)+3km(k-m);

e = 1: ((k³-3km²+m³)+3km(k-m)) = -3km(k-m)+(k³-3k²m+m³);

e = 2: ²((k³-3km²+m³)+3km(k-m)) = -k³+3k²m-m³-(k³-3km²+m³).

Последние два случая невозможны, в чём легко убедиться, рассматривая полученное равенство по модулю 3: при e = 1 имеем x - 3u = -3km(k-m), т.е. x 3 - противоречие, а при e = 2 получаем 3u = -k³+3km²-m³, т.е. k³ + m³ делится на 3, так что из x - 3u = -k³+3k²m-m³ снова x 3 - противоречие.

Итак, x - 3(1 - )u = (k + m)³, и доказательство Эйлера полностью обосновано (по модулю сформулированных выше свойств кольца K).

Таким образом, для решения проблемы Ферма о натуральных числах Эйлером были привлечены числа другой природы: комплексные числа вида a + b, где a, b Z, = . Здесь - корень уравнения x³ = 1, и можно доказать, что каждое число = a + b удовлетворяет некоторому кубическому уравнению с целыми коэффициентами: ( - a)³ = (b)³ = b³, т.е. ³ - 3²a + 3a² - a³ - b³ = 0.

Любое комплексное число С , удовлетворяющее уравнению с целыми коэффициентами, называется алгебраическим. Таким образом, Эйлером был заложен фундамент теории алгебраических чисел, бурное развитие которой продолжается до сих пор.

3. Метод Куммера. По лемме об уравнении xⁿ + yⁿ = zⁿ , Великую теорему Ферма осталось доказать для любого нечётного простого числа p. Идея Эйлера позволила (усилиями А. Лежандра и Г. Ламе) доказать Великую теорему Ферма для n = 5, 7, 11 и 13, но общего доказательства на этом пути получить не удалось. Только Э. Куммер в середине XIX в. сумел обобщить эту идею и получить метод дающий доказательство для всех, так называемых, регулярных простых показателей (см. [1]) (в частности, для всех показателей, меньших 100).

Куммер исходил из аналогичного рассмотренному выше в доказательстве Эйлера разложения

x^p + y^p = (x + y)(x + y) … (x + ^p-1y),

где ^p = 1 , = . Таким образом, можно рассмотреть числовое кольцо

K_p = { C | a_k Z (0 k p - 1)}.

Если бы удалось доказать, что это кольцо с однозначным разложением в произведение простых элементов, то Великая теорема Ферма была бы доказана.

Проблема состоит в том, что однозначность разложений в произведение простых элементов в кольце K_p выполняется не всегда. Чтобы преодолеть эту преграду Куммер применил метод расширения множества K_p до полугруппы Д идеальных объектов, называемых ныне дивизорами, в которых разложение на множители однозначно. В доказательстве Эйлера, ввиду основной теоремы арифметики, справедливой в кольце K, достаточно было взять Д = K \ {0}, но в общем случае всё не так просто.

Такая конструкция расширения K_p Д была обоснована им для регулярных простых чисел p, одна из возможных характеризаций которых такова: нечётное простое число p регулярно тогда и только тогда, когда для любого чётного k = 2, 4, … , p - 3 число 1^k + 2^k + … + (p - 1)^k не делится на p².

Примеры: 1. p = 3 регулярно, т.к. нет чисел k.

2. p = 5 регулярно, т.к. для k = 2 имеем 1² + 2² + 3² + 4² = 30 5².

3. Среди простых чисел первой сотни не регулярны только 37, 59, 67. Для них Куммер доказал Великую теорему Ферма отдельно.

Хотя метод Куммера позволяет доказать Великую теорему Ферма для широкого класса показателей, но до сих пор не известно, является ли множество регулярных простых чисел бесконечным. С появлением ЭВМ проверка регулярности стала возможной для очень больших чисел n 2¹²⁵⁰⁰⁰, так что горизонт показателей, для которых Великая теорема Ферма доказана методом Куммера, существенно расширился, но не стал беспредельным.

ГЛАВА II. ВЕЛИКАЯ ТЕОРЕМА ФЕРМА И abc-ГИПОТЕЗА

§ 1. Гипотеза Таниямы и доказательство Вайлса Великой теоремы Ферма

Удивительно, но, как это часто бывает в математике, решение проблемы Ферма пришло совсем с другой стороны, нежели ожидалось. Как уже отмечалось, Э. Вайлс и Р. Тейлор доказали гипотезу Таниямы, относящуюся к теории эллиптических кривых, но из неё К. Рибет, основываясь на гениальной догадке Г. Фрея, вывел Великую теорему Ферма.

К сожалению, объём работы не позволяет подробно остановиться на исследованиях Вайлса-Тейлора. Поэтому лишь наметим путь, ведущий к доказательству Проблемы Ферма.

1. Эллиптические кривые. Эллиптической кривой называется кривая на плоскости, заданная уравнением

y² = x³ + ax² + bx + c, где a, b, c Q .

По аналогии с дискриминантом

общего кубического уравнения x³ + ax² + bx + c = 0 вводится дискриминант D эллиптической кривой y² = x³ + ax² + bx + c (a, b, c Q), равный по определению D = -16(4a³c - a²b² - 18abc + 27c² + 4b³). Отличие в числовом множителе от дискриминанта здесь не принципиально, но удобно тем, что при целых a и b дискриминант тоже будет целым числом.



На рис. 2, 3 приведены некоторые графики эллиптических кривых: неособые с ненулевым дискриминантом, и особые - с нулевым.

Эллиптическая кривая y² = x³ + ax² + bx + c (a, b, c Z) называется полустабильной, если сравнение x³ + ax² + bx + c 0 (mod p) не имеет трёхкратных корней для любого простого p | (4a³c - a²b² - 18abc + 27c² + 4b³).

Примеры: 1. Кривая y² = x³ не полустабильна: её дискриминант нулевой, т.к. a = b = c = 0, а правая часть имеет трёхкратный корень x = 0 по любому простому модулю.

2. Пусть A, B - взаимно простые целые числа, С = A + B. Тогда эллиптическая кривая y² = x(x - A)(x - C) полустабильна.

Действительно, уравнение кривой имеет вид y² = x³ - (A + C)x² + ACx, а её дискриминант вычисляется так:

D = -16(- (A + C)²(AC)² + 4(AC)³) = -16(AC)²(A - C)² = -16A²B²C².

Поэтому, если p | A²B²C², то p делит одно из чисел A, B, C, причём два из этих чисел не могут делиться на p ввиду взаимной простоты A и B: например, если A p, C p, то B = (C - A) p - противоречие. Таким образом, корни x 0, x A, x C (mod p) правой части уравнения кривой не могут все быть одинаковыми.

Определим для эллиптической кривой y² = x³ + ax² + bx + c понятие кондуктора, ограничившись только важным для дальнейшего случаем, т.к. общее его определение требует далеко выходящих за рамки данного изложения понятий. Грубо говоря, кондуктор собирает в одно произведение все простые числа, участвующие в каноническом разложении дискриминанта эллиптической кривой. При этом степень _p , с которой простое число p входит в кондуктор, равна 1, если a² 3b (mod p). Эта степень _p равна 2, если p > 3 и a² 3b (mod p). В случае, когда сравнение x³ + ax² + bx + c 0 (mod p) не имеет решений, степень _p совпадает с показателем, с которым p входит в каноническое разложение дискриминанта D. Остальные возможности p = 2, 3 для кривой с условием a² 3b (mod p) исследуются более сложно, но они не встретятся в дальнейшем, так что оставим их без комментариев.

Примеры: 1. Для кривой y² = x³ - x + 1 имеем

D = -16(4a³c-a²b²-18abc+27c²+4b³) = - 16(271² + 4(-1)³) = -2⁴23.

Таким образом, N = 223. Остаётся вычислить степени , .

Поскольку многочлен x³ - x + 1 не имеет корней по модулю 2, то = 4. По модулю 23 имеем a² 3b 0² 3(-1) (mod 23). Поэтому = 1.

Итак, кондуктор эллиптической кривой y² = x³ - x + 1 равен N = 2⁴23.

2. Пусть A, B - взаимно простые целые числа, С = A + B. Вычислим кондуктор эллиптической кривой y² = x(x - A)(x - C), дискриминант которой вычислен ранее: D = -16A²B²C² . Следовательно, в кондуктор N войдут двойка, а также нечётные простые числа, делящие A²B²C², т.е. делящие одно из чисел A, B, C: N = . Вычислим показатели, с которыми эти простые числа входят в кондуктор. При этом 2 | ABC, т.к. в равенстве A + B = C все три числа не могут быть нечётными.

Ясно, что x(x - A)(x - C) = x³ - (A + C)x² + ACx, т.е. a = A + C, b = AC и a² - 3b = A² - AC + C² . Это выражение не сравнимо с нулём по модулю p, если p | A или p | C : если A² - AC + C² 0 (mod p), то A 0 C (mod p), что противоречит взаимной простоте чисел A, B, C. Если же p | B, то A C (mod p) и A² - AC + C² A² 0 (mod p) - противоречие.

Таким образом, a² 3b (mod p), т.е. _p = 1 для всех p | ABC.

Итак, кондуктор эллиптической кривой y² = x(x - A)(x - C), где C = A + B, НОД(A, B) = 1, является произведением всех простых чисел из канонического произведения дискриминанта

D = 16A²B²C², т.е. N = .

2. Модулярные формы и модулярные эллиптические кривые. Пусть H - верхняя комплексная полуплоскость n N, k Z. Модулярной параболической формой веса k и уровня n называется заданная и дифференцируемая на H (аналитическая в H) функция f : H C со следующими свойствами:

,

где a, b, c, d - любые такие целые числа, что ad - bcn = 1, а r Q .

Нетрудно заметить, что для любого z H элемент при условии ad - bcn = 1 тоже принадлежит H, так что данное определение корректно. В самом деле,

,

где в знаменателе дроби стоит положительное число |ncz + d|² , а числитель имеет мнимую часть, равную adIm(z) - bncIm(z) = Im(z) > 0. Таким образом, рассматриваемая дробь принадлежит H.

Множество всех модулярных параболических форм веса k и уровня n обозначим через S_k(n).

Примеры: 1. Нулевая функция 0 : H C является, очевидно, модулярной параболической формой веса k и уровня n.

2. Если константа является модулярной параболической формой веса k и уровня n, то эта константа равна нулю.

Действительно, если f(z) = c, то из условия получаем, что

, т.е. c = 0.

3. Если k - нечётно, то S_k(n) = {0}.

В самом деле, ввиду (-1)(-1) - 00 = 1, то из получаем f(z) = -f(z), т.е. f(z) = 0.

В дальнейшем важную роль сыграют модулярные параболические формы веса 2 и уровня n. Оказывается, что множества S₂(n) состоят только из одной нулевой функции при n 10: S₂(n) = {0} (0 n 10).

Любая модулярная параболическая форма f S_k(n) удовлетворяет условию при любых целых a, b, c, d со свойством ad - bcn = 1. В частности, при a = 1, d = 1, с = 0 получаем f(z + b) = f(z) при любом b Z. Это показывает, что функция f однозначно определяется своим заданием в полуполосе , т.е. является периодической с периодом T = 1 (рис. 4). Например, f(-7+2i) = = f((0 + 2i) - 7) = f(0 + 2i). Можно доказать, что такую периодическую аналитическую функцию можно представить в виде , где для z = x + iy величина e^z = e^x(cos y + isin y) - обычная экспонента в комплексной плоскости. Как известно, экспонента периодична с периодом 2рi:

e^z+2рi = e^x+i(y+2р) = e^x(cos(y+2р) + isin(y + 2р)) = e^x(cos y + isin y) = e^z.

Поэтому функция q(z) = e^2рiz и её любые степени q(z)^k = e^2рikz, периодичны с периодом 1:

q(z + 1)^k = e^2рi(z+1)k = e ^{-2рyk+2рi(x+1)k} = e ^{-2рyk+2рixk+2рik} =

= e ^{-2рyk+2рixk} = e ^{(-2рy+2рix)k} = e^2рizk = q(z)^k.

По сути дела, такое разложение функции f по степеням q^k (k N) - это её разложение в ряд Фурье.

Модулярная параболическая форма f S₂(n) называется собственной (по аналогии с собственными числами линейных операторов: она является собственной функцией для некоторого семейства операторов - всех операторов Гекке), если все коэффициенты a_k в ряде

являются целыми числами, удовлетворяющими условиям:

- a₁ = 1;

- a_mk = a_ma_k , если НОД(m, k) = 1;

- для любого простого p | n;

- для любого простого p n.

Наконец, эллиптическая кривая y² = x³ + ax² + bx + c с кондуктором N называется модулярной, если существует такая собственная модулярная параболическая форма S₂(N), что a_p = p - n_p для всех простых чисел p, за исключением конечного их числа, где n_p - это число решений сравнения y² x³ + ax² + bx + c (mod p).

3. Гипотеза Таниямы. На первый взгляд, кажется невероятным существование хотя бы одной модулярной эллиптической кривой, ибо вышеприведённые условия модулярности и собственности формы слишком сложны, а числа n_p практически не вычислимы. Однако обширный эмпирический материал и развитая математическая сверхинтуиция позволили экстравагантному японскому математику Ютака Танияме (1927-1958) в 1955 г. сформулировать следующую смелую гипотезу: всякая эллиптическая кривая с рациональными коэффициентами модулярна.

В течение долгого времени эта гипотеза не привлекала внимания математиков из-за своей неправдоподобности. Но в 1970-е годы, благодаря работам Г. Шимуры и А. Вейля она стала популярной, но не на много более понятной, чем раньше. Особенно усилилась её популярность в математической среде после того как в 1985 г. немецкий математик Г. Фрей предположил, а американец К. Рибет доказал, что из гипотезы Таниямы следует Великая теорема Ферма.

Наконец, в 1993 г. математик и Принстона Э. Вайлс объявил о доказательстве той части гипотезы Таниямы, которой хватает для вывода Великой теоремы Ферма. В его рассуждениях были обнаружены пробелы, которые удалось залатать спустя почти два года вместе со своим учеником Р. Тейлором. С тех пор Великая теорема Ферма считается полностью доказанной. Полная версия гипотезы Таниямы была доказана позже усилиями целой группы специалистов, среди которых был и Р. Тейлор.

4. Вывод теоремы Ферма из гипотезы Таниямы. Пусть Великая теорема Ферма не верна, т.е. для какого-то простого числа s > 3 верно равенство a ^s + b ^s = c ^s, т.е. A + B = C, где A = a^s , B = b^s , C = c^s , НОД(A, B) = 1.

Рассмотрим эллиптическую кривую Фрея, в модулярности которой он усомнился первым, что и подтвердил доказательством К. Рибет:

y² = x(x - A)(x - C) = x³ - (A + C)x² + ACx.

Эта кривая уже встречалась ранее: она полустабильна, вычислен её дискриминант D = 16A²B²C² и кондуктор .

Теорема (Рибета). Пусть : y² = x³ + ax² + bx + c - модулярная эллиптическая кривая с дискриминантом , кондуктором и собственной модулярной параболической формой S₂(N) веса 2 и уровня N. Тогда для любого простого числа r и существует такая модулярная параболическая форма S₂(N_r) с целыми коэффициентами, что при любом натуральном k верно (b_k - a_k) r.