Развитие математических способностей учащихся в процессе внеклассной работы по математике в начальной школе

Министерство образования Российской Федерации

Ярославский государственный педагогический университет

имени К.Д. Ушинского

Педагогический факультет

Выпускная квалификационная работа

на тему:

Развитие математических способностей учащихся в процессе внеклассной работы по математике в начальной школе

Исполнитель: студентка

652 группы Е.А. Бурмистрова

Научные руководители:

И.В. Налимова, доцент,

кандидат пед. наук

В.А. Мазилов, профессор,

доктор псих. наук

Ярославль

2003

Введение

Одна из основных задач современной школы состоит в том, чтобы помочь учащимся в полной мере проявить свои способности, развить инициативу, самостоятельность, творческий потенциал.

Изучение математических способностей школьников и условий их формирования и развития весьма важно для практики школьного обучения, так как математика один из наиболее важных предметов школьного курса. Математические способности наиболее детально были изучены В. А. Крутецким еще в середине прошлого века. В своих исследованиях он указал, что компоненты математических способностей в младшем школьном возрасте представлены лишь в своем зачаточном состоянии.

Поэтому вопрос их развития наиболее остро встает именно в этот период. В настоящее время, время повсеместного внедрения различных систем развивающего обучения, развитие математических способностей обеспечивается самим процессом школьного курса математики. Но не следует пренебрегать и внеучебными средствами, содействующими укреплению и расширению математической активности. Одним из них является проведение внеклассной работы по математике.

Внеклассная работа по математике составляет неразрывную часть учебно-воспитательного процесса обучения математике, сложного процесса воздействия на сознание и поведение школьников, углубление и расширение их знаний и навыков таких факторов, как содержание самого учебного предмета математики, всей деятельности учителя в сочетании с разносторонней деятельностью учащихся. Желательно начать проводить такую работу как можно раньше, поэтому особое внимание необходимо уделять внеклассной работе в младших классах.

Учащиеся начальных классов наиболее нуждаются в том, чтобы их первоначальное и последующее знакомство с математическими истинами носило не сухой характер, а порождало бы интерес и любовь к предмету, развивало бы в учащихся способность к правильному мышлению, острый ум и смекалку и тем самым вносило бы оживление в преподавания предмета.

Однако, на сегодняшний день проблема развития математических способностей младших школьников в процессе внеклассной работы одна из наименее разработанных методических проблем. Этим, в первую очередь, и определилась ее актуальность, необходимость исследования.

Поэтому, задачи нашего исследования заключаются в следующем:

Изучить психолого-педагогическую литературу с целью выяснения содержания понятия способностей вообще, математических способностей в частности.

Изучить учебно-методическую литературу, касающуюся внеклассной работы по математике в начальной школе, с целью выявления ее основных форм.

Изучить состояние проблемы на практике.

Разработать рекомендации к проведению внеклассных занятий по математике, а также методику работы над выпуском стенной математической газеты.

Проверить эффективность предложенных рекомендаций на практике.

Задачи исследования определили его цель: разработать методику развития математических способностей в процессе различных форм внеклассной работы по математике в начальной школе.

Для решения поставленных выше задач потребовалось применение различных методов исследования:

анализ психолого-педагогической и учебно-методической литературы, материалов периодической печати, посвященных проблеме исследования в ее историческом развитии и в ее современном состоянии;

разработка учебного материала на базе теоретических положений и их последующая экспериментальная проверка;

социально-психологические исследования: анкетирование, интервьюирование, опрос.

Решение поставленных задач осуществлялось с 2001 по 2003 год. Базой исследования послужили школы № 81, № 20, № 42 города Ярославля, педагогический факультет ЯГПУ имени К.Д. Ушинского. Собственно экспериментальное обучение проводилось на базе школ № 81 и № 20.

В целом в исследование было вовлечено 20 учителей начальных классов, 28 студентов-выпускников педагогического факультета, 78 учащихся 2-ого класса, обучающихся по системе “Школа 2100”.

Результаты исследования нашли свое отражение в выпускной квалификационной работе, состоящей из введения, 3-ех глав, заключения и приложений.

Во введении обосновывается актуальность проблемы, отражается цель и задачи, указываются методы работы.

В первой главе раскрывается понятие способностей, указываются компоненты математических способностей, степень их проявления в младшем школьном возрасте, а также рассматриваются природные предпосылки и условия формирования математических способностей. Главу заканчивает формулировка основных выводов и рекомендаций.

Вторая глава содержит описание основных форм проведения внеклассной работы по математике в начальной школе, а также указание на отличительные особенности и большую значимость подобной работы. Сделаны основные выводы по главе, даны рекомендации.

Третья глава является результатом проводимой нами опытно-экспериментальной работы, в ней отражены результаты анкетирования учителей начальных классов, студентов-выпускников педагогического факультета и младших школьников, касающиеся проблемы развития математических способностей и применения для достижения этой цели внеклассной работы по математике. В этой главе представлено описание формирующего эксперимента и проверки его эффективности, также сделаны основные выводы и даны практические рекомендации.

В заключении сформулированы основные выводы по всей работе, даны практические рекомендации по использованию теоретического и практического материала выпускной квалификационной работы и разработанных нами методик.

В приложении представлены конспекты проводимых занятий, наглядный материал, работы учеников, бланки опросников.

Глава 1. Математические способности и их развитие в младшем школьном возрасте

1.1 Понятие о способностях и их природе

Большое значение в психологии придается проблеме способностей вообще и проблеме способностей школьников в частности. Целый ряд исследований психологов направлен на выявление структуры способностей школьников к различным видам деятельности. Здесь можно упомянуть таких, как Л.С. Выготский (17), С.Л. Рубинштейн (75, 76), Б.Г. Ананьев (4), П.Я. Гальперин (18), В.Д. Шадриков (102, 103), Н.С. Лейтес (54, 55, 56, 57) и других, а также авторов фундаментальных исследований музыкальных способностей Б.М. Теплова (90, 91, 92), способностей к изобразительной деятельности В.И. Киреенко (35) и математических способностей В.А. Крутецкого (45, 46, 47, 48, 49). Однако среди психологов нет единого подхода к проблеме способностей. В науке, в частности, в психологической, продолжается дискуссия о самой сущности способностей, их структуре, происхождении и развитии. Не вдаваясь в детали традиционных и новых подходов к проблеме способностей, укажем на некоторые основные спорные пункты различных точек зрения отечественных психологов на способности.

Различие в понимании сущности способностей обнаруживается прежде всего в том, рассматриваются ли они как социально приобретенные свойства (Б.М. Теплов [90, 91]) или же признаются и природные способности (С.Л. Рубинштейн [75, 76]; В.Д. Шадриков [102, 103] и другие). Одни авторы под способностями понимают комплекс индивидуально-психологических особенностей человека, отвечающих требованиям данной деятельности и являющихся условием успешного ее выполнения, которые не сводятся к подготовленности, к имеющимся знаниям, умениям и навыкам (Б.М. Теплов [92]; В.А. Крутецкий [45, 46, 47, 48, 49], Н.С. Лейтес [54, 55, 56, 57]). Здесь следует обратить внимание на несколько фактов. Во-первых, способности это индивидуальные особенности, то есть то, что отличает одного человека от другого. Во-вторых, это не просто особенности, а психологические особенности. И, наконец, способности это не всякие индивидуально-психологические особенности, а лишь те, которые соответствуют требованиям определенной деятельности.

При другом подходе, наиболее ярко выраженном у К.К. Платонова, способностью считается любое качество “динамической функциональной структуры личности” (11, с.19), если оно обеспечивает успешное освоение и выполнение деятельности.

Однако, как отмечал В.Д. Шадриков, “при таком подходе к способностям онтологический аспект проблемы переносится на задатки, под которыми понимаются анатомо-физиологические особенности человека, составляющие основу развития способностей. Решение психофизиологической проблемы заводилось в тупик в контексте способностей как таковых, поскольку способности психологическая категория не рассматривались как свойство мозга. Не более продуктивен и признак успешности, ибо успешность деятельности определяется и целью, и мотивацией, и многими другими факторами”.(102, с.176) Согласно его теории способностей, продуктивно определить способности как особенности можно только по отношению их к единичному и всеобщему. Всеобщим (общим) для каждой способности В.Д. Шадриков называет свойство, на основе которого реализуется конкретная психическая функция. Каждое свойство представляет собой сущностную характеристику функциональной системы. Именно для того чтобы реализовать это свойство, формировалась конкретная функциональная система в процессе эволюционного развития человека, например свойство адекватно отражать объективный мир (восприятие) или свойство запечатлевать внешние воздействия (память) и так далее. Свойство проявляется в процессе деятельности. Таким образом, теперь можно определить способности с позиции всеобщего как свойство функциональной системы, реализующее отдельные психические функции.

Различают два вида свойств: те, которые не обладают интенсивностью и поэтому не могут ее менять, и те, которые обладают интенсивностью, то есть могут быть больше или меньше. Гуманитарные науки имеют дело главным образом со свойствами первого вида, естественные со свойствами второго вида. Психические функции характеризуются свойствами, которые обладают интенсивностью, мерой выраженности. Это позволяет определить способности с позиции единичного (отдельного, индивидуального). Единичное будет представлено мерой выраженности свойства; мера следствие диалектического единства качественного и количественного проявлений свойства.

Таким образом, согласно представленной выше теории, способности можно определить как свойства функциональных систем, реализующих отдельные психические функции, которые имеют индивидуальную меру выраженности, проявляющуюся в успешности и качественном своеобразии освоения и реализации деятельности. При оценке индивидуальной меры выраженности способностей целесообразно использовать те же параметры, что и при характеристики любой деятельности: производительность, качество и надежность (в плане рассматриваемой психической функции).

Из различного понимания сущности способностей вытекает различный подход к раскрытию их структуры, которая у разных авторов предстает в виде набора разных качеств, классифицируемых по разным основаниям и находящихся в разном соотношении.

Нет однозначного ответа и на вопрос о генезисе и развитии способностей, их связи с деятельностью. Наряду с утверждением, что способности в своей родовой форме существуют у человека до деятельности как предпосылка ее реализации (С.Л. Рубинштейн [75, 76]; В.Д. Шадриков [102, 103] и другие), высказывалась и другая, противоречивая точка зрения: способности не существуют до деятельности (Б.М. Теплов [90, 92]). Последнее положение заводит в тупик, так как непонятно, каким образом начинает совершаться деятельность без способностей к ней. В действительности способности на определенном уровне их развития существуют до деятельности, а с началом ее проявляются и затем развиваются в деятельности, если она предъявляет все более высокие требования к человеку.

Для успешного овладения любой деятельностью необходимо определенное сочетание отдельных частных способностей, образующих единство, качественно своеобразное целое. В этом синтезе отдельные способности (компоненты) обычно объединяются вокруг определенного стержневого личностного образования, своего рода центральной способности. Таким образом, способности сложное, интегральное, психическое образование, своеобразный синтез свойств, или компонентов.

Общий закон образования способностей состоит в том, что они формируются в процессе овладения и выполнения тех видов деятельности, для которых они необходимы. Способности не есть нечто раз и навсегда предопределенное (как считали большинство зарубежных психологов первой половины 20 века), они формируются и развиваются в процессе обучения, в процессе упражнения, овладения соответствующей деятельностью. В обычной жизни способности выступают для нас прежде всего как характеристики конкретного человека. Обращаясь к конкретной личности, особенно в образовательном процессе, мы видим, что способности развиваются, имеют индивидуально своеобразное выражение. Способности есть проявление личности. Они всегда выражаются в уровне мастерства, в искусстве, искусности человека. Мы оцениваем, как правило, уже реализацию способностей, а не сами способности как таковые. И эта реализация способностей может существенно искажаться в зависимости от того, свободен ли человек в самореализации, так же как свободен ли он в творчестве. Эта реализация детерминирована внешним миром. Но способности раскрываются прежде всего тогда, когда есть свобода деятельности, свобода в выборе самой деятельности, свобода в формах ее реализации, в возможности творчества. Природная сила человека, природные способности проявляются в большей мере в детском возрасте, когда они во многом еще свободны от “воздействия сознания, до сознания, до добра и истины, до оценки и выбора”. (103,,с.5) Поэтому нужно формировать, развивать, воспитывать, совершенствовать способности детей по возможности в творчестве, и нельзя заранее точно предвидеть, как далеко может пойти это развитие.

Однако, в отличие от сторонников личностно-деятельностного подхода, рассматривающих способность как совокупность особенностей человека, влияющих на эффективность определенной деятельности, некоторые психологи рассматривают способности как характеристику функции (объема или быстроты восприятия, концентрации или переключения внимания, силы или быстроты движения и так далее), а различия людей по тем или иным способностям считают результатом не столько развития способностей, сколько генетически обусловленными особенностями (врожденными задатками) (32). При функционально-генетическом подходе человек является носителем способностей уже при рождении; при личностно-деятельностном подходе способности к той или иной деятельности появляются только тогда, когда человек начнет осуществлять эту деятельность, они формируются по ходу деятельности. Сторонники первого подхода утверждают, что никакого “формирования” способностей не происходит: их не надо формировать, так как они уже заданы от рождения, надо создавать условия для их проявления и развития.

Тем не менее, несмотря на принципиальные расхождения сторонников личностно-деятельностного и функционально-генетического подхода к способностям, между ними имеется и сходство понимание того, что различия между людьми по способностям связаны с врожденными особенностями-задатками. Их мы более подробно рассмотрим в четвертом параграфе нашей работы. А пока более подробно остановимся на проблеме соотнесения способностей со знаниями, умениями и навыками.

Следует подчеркнуть тесную и неразрывную связь способностей со знаниями, умениями, навыками. С одной стороны, способности зависят от знаний, умений и навыков в процессе приобретения их развиваются способности. С другой стороны, знания, умения и навыки зависят от способностей: способности позволяют быстрее, легче, прочнее и глубже овладеть соответствующими знаниями, умениями, навыками. То есть способности это такие индивидуальные особенности, которые не сводятся к наличным навыкам, умениям и знаниям, но которые могут объяснить легкость и быстроту приобретения этих знаний и навыков.

Но отождествление способностей и знаний, умений и навыков было бы грубой ошибкой. Недостаточное знание или неумение нельзя принимать за отсутствие способностей. “Способность не сводится к тем знаниям, умениям, навыкам, которые уже выработаны у данного человека,” говорит Б. М. Теплов уже в самом определении способностей (92, с.130). Однако это не раскрывает соотношения навыков и способностей. Решение этой проблемы предложил В.Д. Шадриков. Он считает, что суть онтологических различий способностей и навыков заключается в следующем: способность описывается функциональной системой, одним из ее обязательных элементов является природный компонент, в качестве которого выступают функциональные механизмы способностей, а навыки описываются изоморфной системой, одним из ее главных компонентов являются способности, выполняющие в этой системе те функции, которые в системе способностей реализуют функциональные механизмы. Таким образом, функциональная система навыков как бы произрастает из системы способностей. Это система вторичного уровня интеграции (если принять систему способностей за первичную) (102, 103).

Говоря о способностях вообще, следует указать, что способности бывают разного уровня учебные и творческие. Учебные способности связаны с усвоением уже известных способов выполнения деятельности, приобретением знаний, умений и навыков. Творческие способности связаны с созданием нового, оригинального продукта, с нахождением новых способов выполнения деятельности. С этой точки зрения различают, например, способности к усвоению, изучению математики и творческие математические способности. Но, как писал Ж. Адамар, “между работой ученика, решающего задачу …, и творческой работой разница лишь в уровне, так как обе работы аналогичного характера” (2, с. 27).

Но прежде чем перейти к вопросу о математических способностях и их структуре, важно указать, что в психологии различают общие умственные способности и специальные способности. Общие умственные способности это способности, которые необходимы для выполнения ни какой-то одной, а многих видов деятельности. К общим умственным способностям относят, например, такие качества ума, как умственная активность, критичность, систематичность, сосредоточенное внимание. Человек от природы наделен общими способностями. Любая деятельность осваивается на фундаменте общих способностей, которые развиваются в этой деятельности. Как отмечает В.Д. Шадриков, “специальные способности есть общие способности, приобретшие черты оперативности под влиянием требований деятельности” (102, с.239). Специальные способности это способности, которые необходимы для успешного овладения какой-нибудь одной определенной деятельностью. Эти способности также представляют собой единство отдельных частных способностей. Например, в составе математических способностей большую роль играет математическая память; способность к логическому мышлению в области количественных и пространственных отношений; быстрое и широкое обобщение математического материала; легкое и свободное переключение от одной умственной операции к другой; стремление к ясности, экономичности, рациональности рассуждений и так далее. Все частные способности объединяются стержневой способностью математической направленностью ума (под которой понимают тенденцию вычленять при восприятии пространственные и количественные отношения, функциональные зависимости), связанной с потребностью в математической деятельности.

1.2 Математические способности и их структура

Так в чем же заключаются математические способности? Или они есть ни что иное, как качественная специализация общих психических процессов и свойств личности, то есть общие интеллектуальные способности, развитые применительно к математической деятельности? Является ли математическая способность унитарным или интегральным свойством? В последнем случае можно говорить о структуре математических способностей, о компонентах этого сложного образования. Ответы на эти вопросы искали психологи и педагоги еще начала века, но до сих пор нет единого взгляда на проблему математических способностей. Попробуем разобраться в этих вопросах, проанализировав работы некоторых ведущих специалистов, работавших над этой проблемой.

Пытаясь разобраться в психологии математического мышления, Д. Мордухай-Болтовской выделяет в нем два процесса: постановку проблемы и ее решение, и указывает свойства ума, необходимые для успешного осуществления этих процессов. Для успешной постановки проблемы главным необходимым условием он считает творческое воображение: “При самом выборе проблемы иногда необходимо делать гипотезу, необходима не точная цепь силлогизмов, а воображение” (65, с.495). Второй составляющей называет память на схемы рассуждений и бессознательные мыслительные процессы.”Мышление математика … глубоко внедряется в бессознательную сферу, то всплывая на ее поверхность, то погружаясь в глубину” (65, с.496). Так же Д. Мордухай-Болтовской выделяет остроумие, как одно из характерных свойств математической способности “способность обнимать умом зараз два совершенно разнородных предмета” (65, с.496) (то есть остроумие это способность объединять в одном суждении понятия из двух малосвязанных областей) и, наконец, быстроту математического мышления. При этом он особо отмечает, что при анализе математической способности следует резко отличать склонность к известному роду занятий от способностей (65, 66).

А. Пуанкаре пришел к выводу, что важнейшее место в математических способностях занимает умение логически выстроить цепь операций, которые приведут к решению задачи. Кроме того, для математика недостаточно иметь хорошую память и внимание. По мнению Пуанкаре, людей, способных к математике, отличает умение уловить порядок, в котором должны быть расположены элементы, необходимые для математического доказательства. Наличие интуиции такого рода есть основной элемент математического творчества (74).

Л.А. Венгер относит к математическим способностям такие особенности умственной деятельности, как обобщение математических объектов, отношений и действий, то есть способность видеть общее в разных конкретных выражениях и задачах; способность мыслить “свернутыми”, крупными единицами и “экономно”, без лишней детализации; способность переключения с прямого на обратный ход мысли (13).

Б.А. Кордемский не говорит о математических способностях, а выделяет элементы математического мышления. К ним он относит инициативность (желание самому постигнуть проблему, стремление к самостоятельному поиску способов и средств решения задачи), гибкость и критичность ума (придумывание и применение нешаблонных, оригинальных, остроумных приемов решения задач и методов рассуждений с постоянной проверкой их правильности, строгости и практической ценности) (42, 43). Кроме этого, он выделяет и такой элемент, как волевые усилия, под которыми понимает “упорство и настойчивость, которые проявляются в преодолении трудностей, возникающих в процессе овладения математическими методами при решении задач”(42, с.34).

Для того чтобы понять, какие еще качества требуются для достижения успехов в математике, исследователями анализировалась математическая деятельность: процесс решения задач, способы доказательств, логических рассуждений, особенности математической памяти. Этот анализ привел к созданию различных вариантов структур математических способностей, сложных по своему компонентному составу. При этом мнения большинства исследователей сходились в одном: что нет, и не может быть единственной ярко выраженной математической способности это совокупная характеристика, в которой отражаются особенности разных психических процессов: восприятия, мышления, памяти, воображения.

Среди наиболее важных компонентов математических способностей выделяются специфическая способность к обобщению математического материала, способность к пространственным представлениям, способность к отвлеченному мышлению. Некоторые исследователи выделяют также в качестве самостоятельного компонента математическую память на схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и способы подхода к ним. Одним из них является В.А. Крутецкий. Он так определяет математические способности: ”Под способностями к изучению математики мы понимаем индивидуально-психологические особенности(прежде всего особенности умственной деятельности), отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие на прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики” 948, с.41). В своей работе мы, главным образом, будем опираться на исследования именно этого психолога, так как его исследования этой проблемы и на сегодняшний день являются самыми глобальными, а выводы наиболее экспериментально обоснованными. Итак, В.А. Крутецкий различает девять способностей (компонентов математических способностей):

Способность к формализации математического материала, к отделению формы от содержания, абстрагированию от конкретных количественных отношений и пространственных форм и оперированию формальными структурами, структурами отношений и связей;

Способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного, видеть общее во внешне различном;

Способность к оперированию числовой и знаковой символикой;

Способность к “последовательному, правильно расчлененному логическому рассуждению”, связанному с потребностью в доказательствах, обосновании, выводах;

Способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;

Способность к обратимости мыслительного процесса (к переходу с прямого на обратный ход мысли);

Гибкость мышления, способность к переключению от одной умственной операции к другой, свобода от сковывающего влияния шаблонов и трафаретов;

Математическая память. Можно предположить, что ее характерные особенности также вытекают из особенностей математической науки, что это память на обобщения, формализованные структуры, логические схемы;

Способность к пространственным представлениям, которая прямым образом связана с наличием такой отрасли математики, как геометрия.

Большинство психологов и педагогов, говоря о математических способностях, опираются именно на эту структуру математических способностей В.А. Крутецкого. Однако в процессе различных исследований математической деятельности учеников, проявляющих способности к этому школьному предмету, некоторыми психологами были выделены и другие компоненты математических способностей. В частности, нас заинтересовали результаты исследовательской работы З.П. Горельченко (20). Он отметил у способных к математике учеников следующие особенности. Во-первых, он уточнил и расширил компонент структуры математических способностей, называемый в современной психологической литературе “обобщение математических понятий” и высказал мысль о единстве двух противоположных тенденций мышления учащегося к обобщению и “сужению” математических понятий. В указанном компоненте возможно видеть отражение единства индуктивного и дедуктивного методов познания учащимися нового в математике. Во-вторых, диалектические зачатки в мышлении учащихся при усвоении новых математических знаний. Это проявляется в том, что почти в любом отдельном математическом факте наиболее способные учащиеся стремятся усмотреть, понять факт, ему противоположный, или, по крайне мере, рассмотреть предельный случай исследуемого явления. В-третьих, он отметил особое повышенное внимание к возникающим новым математическим закономерностям, противоположным ранее установленным. Мышление увлеченных математикой школьников отличается особой восприимчивостью к математическим контрастам, не связанными с предыдущими рассматриваемыми явлениями, не вытекающими из них, а иногда и вступающими в противоречие с ними. Указанная особенность математического поведения наиболее способных учащихся тесно связана с возникновением у них элементов диалектического мышления и вместе с ними служит большим стимулом, побуждающим учащихся к новым математическим раздумьям, усиливает и укрепляет их великий интерес к математике. Он так же отметил и особое увлечение способных учеников сложными математическими проблемами. З.П. Горельченко отмечает, что “подлинное увлечение серьезными математическими задачами характерно только для учеников, влюбленных в математику и проявляющих повышенные способности к успешным занятиям ею. Этим учащимся свойственно стремление попробовать свои силы прежде всего на содержательных задачах, которые решали многие математики и решение которых до сих пор не найдено“ (20, с.11). Таким образом, естественное влечение отдельных учащихся к наиболее трудным математическим задачам свидетельствует о склонности их к серьезной математической работе, о наличии у них способностей к успешным занятиям математикой. Отмечается и такая характерная особенность способных к математике учащихся, как переувлечение математической работой с невозможностью быстро выключиться из процесса математических размышлений. Как правило, для переключения на новую, не математическую работу увлеченным математикой учащимся требуется времени гораздо больше, чем ученикам, не отличающимся особой склонностью к такого рода занятиям. Одним из характерных признаков повышенных математических способностей учащихся и переходу их к зрелому математическому мышлению может считаться и относительно раннее понимание надобности аксиом как исходных истин при доказательствах. Доступное изучение аксиом и аксиоматического метода в значительной мере способствует ускорению развития дедуктивного мышления учащихся. Замечено также, что эстетическое чувство в математической работе у разных учащихся проявляется по-разному. По-разному различные ученики отвечают и на попытку воспитать и развить у них эстетическое чувство, соответствующее их математическому мышлению. Наиболее способных к математике учащихся отличает особый эстетический склад математического мышления. Он позволяет им сравнительно легко понимать некоторые теоретические тонкости в математике, улавливать безупречную логику и красоту математических рассуждений, фиксировать малейшую шероховатость, неточность в логическом строе математических концепций. Самостоятельное устойчивое стремление к оригинальному, нешаблонному, изящному решению математической задачи, к гармоническому единству формальных и семантических компонентов решения задачи, блестящие догадки, иногда опережающие логические алгоритмы, порою трудно переложимые на язык символов, свидетельствуют о наличии в мышлении чувства хорошо развитого математического предвидения, являющегося одной из сторон эстетического мышления в математике. Повышенные эстетические эмоции при математическом размышлении присущи в первую очередь учащимся с высоко развитыми математическими способностями и совместно с эстетическим складом математического мышления могут служить существенным признаком наличия математических способностей у школьников. Следует отметить и сравнительно большую скорость продвижения способных учащихся в овладении математическими знаниями и повышенную быстроту решения математических задач. Как правило, у наиболее способных к математической работе учащихся скорость восприятия и усвоения новых знаний повышенная. Считая это качество с большой вероятностью одним из необходимых, хотя и далеко не достаточным условием наличия математических способностей, следует рассматривать это условие, как компонент их структуры, причем такой, по которому наиболее легка первоначальная ориентация в обнаружении наиболее способных к математике учеников. И, наконец, выделяется такой компонент структуры математических способностей, как характерные особенности памяти учащихся способных к математике. Наиболее способные к математике в процессе математической работы ориентируют свое мышление прежде всего на хорошее понимание познаваемого и только затем на запоминание его. При этом они стремятся как можно глубже осознать, понять не только отдельные математические факты, но и основные идеи, связывающие их друг с другом и остальным усвоенным ранее математическим материалом, четко определить логическое место новых познаваемых фактов в общей системе определенных математических знаний.

Помимо указанных компонентов математических способностей, которые можно и должно развивать, необходимо учитывать еще и то, что успешность осуществления математической деятельности является производным определенного сочетания качеств:

Активного положительного отношения к математике, интереса к ней, стремления заниматься ею, переходящими на высоком уровне развития в страстную увлеченность.

Ряда характерологических черт; прежде всего трудолюбия, организованности, самостоятельности, целеустремленности, настойчивости, а также устойчивых интеллектуальных качеств, чувства удовлетворения от напряженной умственной работы, радость творчества, открытия и так далее.

Наличия во времени осуществления деятельности благоприятных для ее выполнения психических состояний, например, состояние заинтересованности, сосредоточенности, хорошего “психического” самочувствия и так далее.

Определенного фонда знаний, умений и навыков в соответствующей области.

Определенных индивидуально-психологических особенностей в сенсорной и умственной сферах, отвечающих требованиям данной деятельности.

Таким образом, под способностями к изучению математики мы будем понимать индивидуально-психологические особенности, отвечающие требованиям учебной математической деятельности и обуславливающие при прочих равных условиях успешность творческого овладения математикой как учебным предметом, в частности относительно быстрое, легкое и глубокое овладение знаниями, умениями и навыками в области математики.

1.3 Выраженность компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте

Способности человека не бывают даны от рождения в готовом виде. Не подлежит сомнению, что все способности, в том числе и математические, развиваются в процессе взаимодействия ребенка с окружающим миром, под влиянием обучения и воспитания в самом широком значении этих слов. Не менее несомненно и то, что даже в относительно одинаковых условиях жизни и деятельности психические свойства детей неодинаковы и развиваются в разной степени. Известно, что способности детей развиваются по многим направлениям. Ребенок овладевает бытовыми навыками, речью, в дальнейшем знаниями основ наук, трудовыми умениями, то есть всем необходимым для жизни в обществе. При этом школьники, осваивая самые различные учебные предметы, обнаруживают не только те или иные специальные данные, но и широту своих возможностей.

Математические способности детей, как и другие стороны их личности, находятся в процессе становления и связаны с ходом возрастного развития. Возрастные особенности имеют самое непосредственное отношение к формированию способностей и индивидуальных различий по способностям. Очень важно именно в связи с вопросом о способностях не упускать из виду, что каждый детский возраст имеет свои особые, неповторимые достоинства. Именно в детские годы у каждого нормального ребенка наблюдается необыкновенная любознательность (так называемый возраст “почемучки”), свежесть и острота восприятия способность удивляться, яркость воображения (выступающая, в частности, в творческих играх), некоторые черты ясности, конкретности мышления и так далее. В этом плане младший школьный возраст, начальные годы собственно учения это период накопления, усвоения по преимуществу. Остановимся чуть подробнее на возрастных особенностях младших школьников и их развитии для развития способностей.

С точки зрения педагогов, младший школьный возраст это самый послушный возраст в жизни человека. Такие психологические особенности, как вера в истинность всего, чему учат, доверчивая исполнительность, являются важной предпосылкой начального обучения в школе, представляют собой как бы залог обучаемости и воспитуемости. С этими особенностями связан процесс быстрого приобщения детей к культуре, к ее исходным элементам. Известны также свежесть, яркость детского восприятия и чрезвычайная отзывчивость детей на окружающее. Ученики начальных классов всем существом откликаются на отдельные моменты высказываний учительницы; они очень живо реагируют на то, что является сколько-нибудь новым для них, на каждую шутку, на какой-нибудь пример из жизни. По самому незначительному, казалось бы, поводу у них возникает состояние полной заинтересованности и умственной активности. Ни один эпизод урока не оставляет их безразличными. Импульсивность детей, их склонность сразу реагировать придают занятиям стремительность и напряжение, обусловливают их насыщенность. Чтобы ученики не скучали, необходимы частые переходы от одних занятий к другим; чтобы внимание их было напряжено, не следует затягивать паузы.

Младшие школьники особо активно реагируют на непосредственные впечатления, доставляемые органами чувств. Наглядные пособия, применяемые на занятиях, всегда вызывают жадное любопытство. Готовность к приему все новых впечатлений сочетается у детей данного возраста с быстрым привыканием к новому. У них иногда можно наблюдать удивительно быстрые переходы от изумленного и любопытствующего восприятия к спокойно-деловому отношению. Наглядные пособия, вызывающие общий интерес, занимают учащихся в основном только один урок или одну перемену за это время ознакомление с ними уже закончено. По-видимому, такое быстрое привыкание (адаптация) и делает возможной чрезвычайную широту восприимчивости. Дети этого возраста необычайно легко осваиваются с непривычной обстановкой и новыми обстоятельствами.

Таким образом, острота, подвижность восприятия, наличие необходимых предпосылок словесного мышления, направленность умственной активности на то, чтобы повторить, внутренне принять, быстрота привыкания создают благоприятнейшие условия для обогащения и развития психики детей.

Детям этого возраста не свойственно задумываться о каких-либо сложностях и трудностях. Они особенно легко, беззаботно относятся ко всему, что не связано с их непосредственными делами. Приобщаясь к сфере познания, они продолжают играть. Усвоение многих понятий, заимствуемых у взрослых, в значительной степени внешнее, формальное, и пока не может быть иным. Показательно, что младшие школьники чаще всего не проявляют интереса к выяснению причин или смысла сообщаемых им правил. Как говорил Н.С. Лейтес, “они как бы чувствуют, что находятся у самого края бесконечной громады знания и не могут на все посягать” (55, с.37). Сама любознательность их в тех случаях, когда она касается объектов, выходящих за пределы их опыта, оказывается весьма относительной. Дети этого возраста любят задавать на уроках вопросы, но, как уже отмечалось, касающиеся главным образом того, что и как им полагается делать. В умственной пытливости учеников нет уверенности и настойчивости. Из сравнительно небольшого числа вопросов младших школьников, касающихся сущности явлений, далеко не все выражают действенную потребность в чем-то разобраться. Нередко вопросы, в особенности затрагивающие сложные понятия, произносятся для того, чтобы “себя показать”, или представляют собой случайный, на мгновение возникающий ход мысли. Чаще всего ”глубокомысленное вопрошание” лишь своеобразная умственная игра, к тому же не очень распространенная среди детей этого возраста. Дети овладевают внешней стороной, формой многого из того, сто остается им чуждым, не освоенным по существу. Доступное им наивно-формальное знание жизненно важных понятий оказывается включенным как бы в детский контекст, получает у них, прежде всего, игровое оформление. Очень существенно то, что наивно-игровой характер познания, органически свойственный детям рассматриваемого возраста, обнаруживает вместе с тем огромные формальные возможности детского интеллекта. При недостаточности жизненного опыта и лишь зачаточности теоретико-познавательных интересов особенно очевидно выступают умственная сила детей, их особая расположенность к усвоению.

В младшем школьном возрасте дети удивительно легко осваивают очень сложные умственные навыки и формы поведения. Дети этого возраста на короткое время могут быть замечательными собеседниками взрослого, активными и отзывчивыми. Их рассудительность, способность к умозаключениям бывает поразительна. Но их возрастная наивность проявляется в том, что они не расположены задумываться о сложностях, находящихся за пределами их мирка, и не осознают ограниченности своих высказываний. Им чужда рефлексия. В их отношении к окружающему еще многое идет от веселой, беззаботной, в меру затрудняющей игры, как будто разыгрываемой кем-то составленным правилам. Неверно было бы думать, что детская наивность может быть преодолена более рациональным и быстрым обучением, элементы игрового отношения к познанию все же остается определяющими.

Совмещение в умственных способностях младших школьников правильности, формальной отчетливости суждений и одновременно, в некоторых отношениях, крайней односторонности и нереальности суждений, то есть наличие того, что выше было обозначено как наивно-игровое отношение к окружающему, представляет собой как бы форму существования детского ума в бесконечно сложном мире взрослых. Это неизбежный, необходимый этап возрастного развития, который позволяет безболезненно и даже весело овладевать все новым опытом и приобщаться к жизни взрослых, не боясь, не замечая трудностей. Рассматриваемая возрастная особенность драгоценное качество детскости дает неограниченный простор для тренировки формальной стороны мышления, во многом обуславливает естественность, легкость усвоения всевозможных впечатлений.

Таким образом, младший школьный возраст период впитывания, накопления знаний, период усвоения по преимуществу. Успешному выполнению этой важной жизненной функции благоприятствуют характерные особенности детей этого возраста: доверчивое подчинение авторитету, повышенная восприимчивость, впечатлительность, наивно-игровое отношение ко многому из того, с чем они сталкиваются. У младших школьников каждая из отмеченных особенностей выступает главным образом своей положительной стороной, и в этом неповторимое своеобразие данного возраста. Некоторые из особенностей младших школьников в последующие годы сходят на нет, другие во многом изменяют свое значение.

Следует учитывать при этом разную степень выраженности у отдельных детей той или иной возрастной черты. Но, несомненно, что рассмотренные особенности существенно сказываются на познавательных возможностях детей и обусловливают дальнейший ход общего развития. Высокая восприимчивость к окружающим воздействиям, расположенность к усвоению очень важная сторона интеллекта, характеризующая умственные достоинства и в дальнейшем.

Возрастные особенности во многом представляют собой предпосылки способностей они существеннейшим образом влияют на развитие, и сохранение таких особенностей в дальнейшем может быть очень ценным для личности (40).

Перейдем теперь к рассмотрению собственно выраженности компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте. Это невозможно сделать без опоры на структуру математических способностей в школьном возрасте. Схему таковой мы можем найти у В.А. Крутецкого (47). Он выводит такую общую схему структуры математических способностей в школьном возрасте:

Получение математической информации

А) Способность к формализированному восприятию математического материала, схватыванию формальной структуры задачи.

Переработка математической информации

А) Способность к логическому мышлению в сфере количественных и пространственных отношений, числовой и знаковой символики. Способность мыслить математическими символами.

Б) Способность к быстрому и широкому обобщению математических объектов, отношений и действий.

В) Способность к свертыванию процесса математического рассуждения и системы соответствующих действий. Способность мыслить свернутыми структурами.

Г) Гибкость мыслительных процессов в математической деятельности.

Д) Стремление к ясности, простоте, экономности и рациональности решений.

Е) Способность к быстрой и свободной перестройке направленности мыслительного процесса, переключению с прямого на обратный ход мысли (обратимость мыслительного процесса при математическом рассуждении).

Хранение математической информации

А) Математическая память (обобщенная память на математические отношения, типовые характеристики, схемы рассуждений и доказательств, методы решения задач и принципы подхода к ним).

Общий синтетический компонент

А) Математическая направленность ума.

Выделенные компоненты тесно связаны, влияют друг на друга и образуют в своей совокупности единую систему, целостную структуру, математический склад ума.

Кроме перечисленных, есть и такие компоненты, наличие которых в структуре математических способностей, хотя и полезно, не обязательно. Учителю, прежде чем относить ученика к числу способных или неспособных к математике, необходимо это учитывать. Не являются обязательными в структуре математической одаренности следующие компоненты:

Быстрота мыслительных процессов как временная характеристика. Индивидуальный темп работы не имеет решающего значения. Ученик может размышлять неторопливо, медленно, но обстоятельно и глубоко.

Способности к быстрым и точным вычислениям (в частности в уме). На самом деле вычислительные способности далеко не всегда связаны с формированием подлинно математических (творческих) способностей.

Память на цифры, числа, формулы. Как указывал академик А.Н. Колмогоров, многие выдающиеся математики не обладали сколько-нибудь выдающейся памятью такого рода (40).

Способность к пространственным представлениям.

Способность наглядно представить абстрактные математические отношения и зависимости.

Разумеется, конкретное содержание структуры способностей в немалой степени зависит от методов обучения, так как она складывается в процессе обучения. Но указанные выше компоненты обязательно должны входить в эту структуру, независимо от системы обучения.

Анализируя схему структуры математической деятельности школьника вообще и возрастные особенности младшего школьника, можем выявить выраженность компонентов математических способностей в младшем школьном возрасте.

Безусловно, к началу школьного обучения мы вряд ли можем говорить о сколько-нибудь выраженных математических способностях, исключая случаи особой одаренности. И это понятно, что по отношению к ребенку правильнее говорить не о самих способностях (больших или выдающихся), а об их предпосылках: далеко не у всех детей, привлекавших к себе внимание теми или иными признаками математической одаренности, сформируется подлинный талант, разовьются выдающиеся математические способности. Однако заметное развитие отдельных компонентов математических способностей в процессе школьного обучения и под влиянием его наблюдается от 2 к 4 классу.

Формализированное восприятие математического материала.

Наблюдается в “зародышевой ” форме во 2-3 классе. В это время у детей появляется стремление разобраться в условии задачи, сопоставить ее данные. Их начинают интересовать в задаче не просто отдельные величины, а отношения. Тенденция к “свернутости” восприятия усиливается от 2 к 4 классу. При этом мало способные к математике ученики видят в задаче лишь конкретный смысл, не отступают от данных.

Обобщение математического материала.

Его проявления можно наблюдать уже в 1 классе, но это лишь общая способность к обобщению. В младшем школьном возрасте наблюдается относительно более простой вид обобщения движение от частного к известному общему умение увидеть в частном уже известное общее, подвести частный случай под общее правило.

Свернутость мышления.

Свернутость, сокращенность рассуждений и системы соответствующих действий в процессе математической деятельности является специфичной для способных к математике учащихся в основном старшего школьного возраста. В младшем школьном возрасте этот компонент математических способностей проявляется лишь в самой элементарной форме.

Гибкость.

В зачаточной форме этот компонент был обнаружен лишь у способных к математике младших школьников. Детям в этом возрасте неприемлема сама мысль о том, что задача может иметь несколько решений. Лишь к 4 классу способные ученики демонстрируют гибкость, но лишь после наводящих вопросов.

Стремление к экономии умственных сил.

Тенденция к оценке ряда возможных способов решения и выбору из них наиболее ясного, простого и экономного, наиболее рационального решения в младшем школьном возрасте еще четко не выражена.

Математическая память.

Проявлений собственно математической памяти в ее развитых формах (когда помнились бы только обобщения и мыслительные схемы) в младшем школьном возрасте не наблюдается. В их памяти хранятся с одинаковой прочностью общее и частное, существенное и несущественное, нужное и ненужное. Но постепенно основным для них все-таки становятся отношения данных задачи.

Рассматривая возрастную динамику развития структуры математических способностей, В.А. Крутецкий так охарактеризовал этот возраст: ”Понятие “математических способностей ” в известной степени условно в применении к младшим школьникам, и при исследовании компонентов математических способностей в этом возрасте речь обычно может идти лишь об элементарных формах этих компонентов. Но отдельные компоненты математических способностей формируются уже и в начальных классах” (48, с.115). Однако это формирование не должно быть пущено на самотек. Математические способности в младшем школьном возрасте должны формироваться в результате целенаправленной деятельности учителя.

Хотелось бы отметить в этой главе и такие возрастные характеристики младших школьников, которые не имеют прямого отношения к математическим способностям, но которые непременно надо помнить учителю в работе по развитию математических способностей, чтобы это развитие было максимально возможным. В 67летнем возрасте дети уже готовы к восприятию и переработке значительного потока информации, они могут подчинять свои действия речевым словесным инструкциям. Однако, по объему и уровню внимания и способности к его распределению младший школьник не намного отличается от старшего дошкольника.

В 9-10 лет происходит резкое изменение; дети могут работать длительно, сосредоточенно, без отвлечения и ошибок. Но произвольное внимание непрочно, и если появляется что-то интересное, то внимание тут же переключается. Для детей 6-7 лет характерны высокая эмоциональность и большая значимость эмоциональной реакции. Невозможность длительно сохранять и удерживать внимание в процессе деятельности, которая лишена непосредственного интереса, высокая отвлекаемость влекут за собой трудности обучения. Дети 6-7 лет очень любят слушать речь взрослых, но порог слышимости и острота слуха достигнут своей наибольшей величины, лишь в подростковом возрасте, а сейчас тоны и звуки ребенок воспринимает хуже, чем слова. Память в 6-7 лет непроизвольная: ребенок хорошо запоминает происходящие с ним события, сведения, факты. При этом пересказать буквально ему гораздо проще, чем “своими словами”. Кроме того, хорошо запоминается то, что мотивированно, значимо. Эффективность непроизвольного запоминания резко возрастает и увеличивается от первого к четвертому классу. Характер мышления в 6-7 лет наглядно-образный, или чувственный, то есть при анализе событий, ситуаций, явлений, дети опираются на реальные события, а выводы делают, как правило, схватывая какой-то единичный внешний признак. Они еще не могут оценивать, хотя уже умеют сравнивать, не умеют классифицировать, но умеют выделять общее и различное, правда, по одному наиболее яркому признаку. В их рассуждениях есть своя логика, они даже пытаются делать выводы, но им мешает ограниченность знаний и опыта.