Проблемные задания как средство формирования вычислительных навыков у младших школьников на уроках математики

Технология проблемного обучения теоретически обоснована такими видимыми учеными, как Оконь В., Лернер И.Я., Махмутов М.И., Кудрявцев Т.В. и другие. Постановка о реализации и анализе использования проблемных ситуаций не является новой в методике преподавания математики, а требует лишь правильного использования всех ресурсов, которые скрыты в начальном курсе математики.

1.3 Роль проблемных заданий в формировании вычислительных навыков у младших школьников

Концепция модернизации российского образования на период до 2010 года определяет цели общего образования на современном этапе. Она подчеркивает необходимость «ориентации образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей». Одной из основных задач обучения математике в школе является формирование у школьников сознательных и прочных вычислительных навыков, которые являются основополагающим элементом вычислительной культуры человека.

Сегодня всё меньше и меньше внимания в новых экспериментальных и вариативных учебниках по математике уделяется формированию у учащихся вычислительных навыков, как устных, так и письменных. Постепенно снижается подготовленность детей в данном направлении: возрастает число ошибок в определении порядка действий в выражениях, снижается уровень сформированности умения решать текстовые задачи (в частности за счёт ухудшения техники чтения, вычислительных умений). Задача формирования прочных и осознанных вычислительных умений и навыков отодвинута в них на второй план. Способы организации вычислительной деятельности по-прежнему ориентированы на показ образца вычислительного приема, отработку частных способов вычислений, использование тренировочных упражнений репродуктивного характера».

Формирование вычислительных умений и навыков - сложный длительный процесс, эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности.

На современном этапе развития начального образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности младших школьников, которые способствуют не только формированию прочных осознанных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

При выборе способов организации вычислительной деятельности учителю необходимо отдавать предпочтение обучающим заданиям, в которых доминирует познавательная мотивация, ориентироваться на развивающий характер работы, учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, особенности детского мышления.

Вычислительные задания должны характеризоваться вариативностью формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей, использованием различных моделей (предметных, графических, символических) [19, c.123].

Безусловно, навык формируется в процессе многократных упражнений, тем не менее, при выполнении тренировочных упражнений не следует ослаблять работу и над развитием учащихся.

Этого можно достигнуть, используя в процессе обучения такие задания, которые побуждают учащихся не только к воспроизведению, но и требуют наблюдения, анализа, сравнения.

Предъявление учащимся проблемных заданий практического характера своим содержанием уже вызывает интерес учащихся, вовлекает в активную познавательную деятельность, т.е. создает проблемную ситуацию.

Проблемное задание - это учебное задание, составляемое преподавателем, методистом, автором учебного пособия в форме проблемной задачи или проблемного вопроса в целях постановки обучаемых в проблемную ситуацию. В процессе выполнения заданий у учащихся выявляются затруднения, возникает познавательный интерес и потребность в решении встретившейся проблемной задачи [24, c. 72].

Проблемные задания, как видим, вводят учащихся в предстоящую частично поисковую или исследовательскую работу, создавая психологически благоприятную атмосферу для дальнейших занятий.

В проблемном обучении выделяют три метода: проблемное изложение, частично-поисковый и исследовательский (наиболее известна номенклатура методов, предлагаемая М.Н. Скаткиным и И.Я. Лернером).

Проблемное изложение представляет собой промежуточный метод, переходный от объяснительно-иллюстративного типа к собственно проблемному обучению. При проблемном изложении даются не готовые знания (это характерно для информационного изложения), а раскрывается проблема как поиск научной истины. Т.е. в связи с чем, когда, как возникла проблема (знание о незнании, затруднение в объяснении какого-то явления, процесса), какие выдвигались версии, гипотезы, как они проверялись, какие были споры исследователей, к какому выводу они пришли, как трактуется в настоящее время решение той же проблемы. Вместе с преподавателем учащиеся следят за процессом поиска, рассуждают, поддерживают обоснование одной версии и отвергают другую как несостоятельную в каком-то отношении. Словом, учащиеся оказываются в роли участников (или, точнее, соучастников) поиска истины, первооткрывателей.

Таким образом, при проблемном изложении преподаватель сам формулирует проблему, выдвигает проблемную задачу, излагает сложные пути ее решения, как бы ведет поиск и выдает результат. Учащиеся - активные и заинтересованные слушатели.

Частично-поисковый метод предполагает частичное вовлечение учащихся в процесс поиска. Проблему формулирует преподаватель, но в процессе изложения темы он постоянно обращается к учащимся с просьбой сформулировать и оценить гипотезы, предложить методы решения задач, дать объяснение и сделать вывод по проведенному опыту по физике, химии, биологии и т.п. В этом случае учащиеся весьма активны в поиске разных вариантов решения проблемных задач.

Исследовательский метод имеет в виду наивысшую самостоятельность учащихся. Осознав проблему, они самостоятельно формулируют проблемную задачу и сами ее решают. Учащиеся самостоятельно и последовательно проходят все этапы исследования: выдвигают и обсуждают гипотезы, ищут способы их проверки. Это могут быть и наблюдения, и опыты, и даже моделирование, и статистические методы, логические рассуждения, и собственные выводы. Естественно, этот метод используется в старших классах, он не всегда укладывается в рамки одного урока и имеет продолжение на факультативных, кружковых и отчасти домашних занятиях учащихся. Это самый трудоемкий и вместе с тем самый продуктивный метод [30, c. 5].

К системе бинарных методов относятся - информационно-репродуктивный, информационно-эвристический и другие методы преподавания и такие методы учения как слушание чтения учебника упражнения и так далее.

Система методов проблемного обучения представляет собой органическое сочетание общих и бинарных методов.

В целом можно говорить о шести дидактических способах организации процесса проблемного обучения (то есть общих методах), представляющих собой три вида изложения учебного материала учителем и три вида организации им самостоятельной учебной деятельности учащихся:

1) монологическом;

2) рассуждающем;

3) диалогическом;

4) эвристическом;

5) исследовательском;

6) методе программированных заданий.

Метод монологического изложения: при монологическом методе учитель сам объясняет сущность новых понятий, фактов, дает учащимся готовые выводы науки, но это делается в условиях проблемной ситуации.

Методы рассуждающего изложения: первый вариант - создав проблемную ситуацию, учитель анализирует фактический материал, делает выводы и обобщения; второй вариант - излагая тему, учитель пытается путем поиска и открытия ученого, то есть он как бы создает искусственную логику научного поиска путем построения суждений и умозаключений на основе логики познавательного процесса.

Метод диалогического изложения: представляет диалог учителя с коллективом учащихся. Учитель в созданной им проблемной ситуации сам ставит проблему и решает её, но с помощью учащихся, то есть они активно участвуют в постановке проблемы выдвижения предположений, и доказательства гипотез. Деятельности учащихся присуще сочетание репродуктивного и частично-поискового методов обучения.

Метод эвристических заданий: суть эвристического метода заключается в том, что открытие нового закона, правила и тому подобное совершается не учителем, при участии учащихся, а самими учащимися под руководством и с помощью учителя. Формой реализации этого метода является сочетание эвристической беседы и решением проблемных задач и заданий.

Метод исследовательских заданий: организуется учителем путем постановки перед учащимися теоретических и практических исследовательских заданий имеющие высокий уровень проблемности. Ученик совершает логические операции самостоятельно, раскрывая сущность нового понятия и нового способа действия.

Метод программированных заданий: это метод при котором учащиеся с помощью, особым образом, подготовленных дидактических средств может приобретать новые знания и новые действия [4, c. 39].

Обучение младших школьников решению проблемных заданий включает пооперационное овладение ими необходимыми мыслительными действиями посредством выполнения логических упражнений на сравнение, группировку и классификацию явлений, на умение выделять главное, определять существенные и несущественные признаки понятий, делать самостоятельные выводы, аргументировать их.

Таким образом, проблемное задание - необходимый компонент процесса обучения, целью которого является развитие мышления учащихся [51, c.52].

Не случайно, в учебниках «математика» (автор проф. Н.Б. Истомина) каждая новая тема начинается с задания, которое включает ученика в познавательную деятельность, в процессе которой у него возникает потребность в усвоении нового знания.

Необходимым условием выполнения этих заданий является активное использование учащимися приёмов умственной деятельности (анализ, синтез, сравнение, обобщение). Выполняя мотивационную функцию, проблемные задания на этом этапе позволяют повторить ранее усвоенные вопросы, подготовив учеников к усвоению нового материала, и сформулировать проблему, с решением которой связано «открытие» нового знания.

Например, при изучение темы «Деление суммы на число» можно предложить учащимся такие задания:

- Догадайся, по какому правилу записаны выражения в каждом столбике. Вычисли их значения.

54:6 56:772:8

(36+18):6(42+14):7 (24+48):8

36:6+18:642:7+14:724:8+48:8

С одной стороны, задание понятно учащимся и они могут приступать к его выполнению. С другой стороны, ученикам предложено «открыть» правило, по которому составлены столбики выражений, что возможно только в результате анализа через синтез, сравнение и обобщение. Это правило связано с изучением нового, которое пока неизвестно учащимся. Задание только подготавливает их к «открытию» этого нового.

Как отмечает А.М. Матюшкин, для разработки проблемных ситуаций существенным является тот факт, что понятие «возможностей познавательной деятельности» противоречиво. Так как, с одной стороны, процесс мышления возникает в результате отсутствия выполнения действий в некоторых новых условиях известными способами, с другой стороны, процесс мышления осуществляется только при наличии таких возможностей, которые обеспечивают выполнение действий, позволяющих проанализировать предъявляемые новые требования или новые условия действий [35, c. 49].

Интересен и тот факт, что в контексте нового знания возникает возможность повторить ранее изученный материал (таблицу умножения, правила порядка выполнения действий, представление числа в виде суммы двух слагаемых). Конечно, не все ученики могут после выполнения этого задания сформулировать самостоятельно свойство деления суммы на число.

Поэтому учащимся предлагается записать столбики выражений по тому же правилу для случаев 36:4, 48:6 и т.д.

Выполняя это задание, учащиеся осознают способ действия (надо делимое представить в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на данное число).

Осознание способа действия позволяет учащимся самостоятельно представить числа 48, 36 в виде суммы двух слагаемых, каждое их которых делится на 6.

Казалось бы способ действия ясен. Но автор предлагает учащимся задание, которое сталкивает их с новой проблемой, а именно:

- Чем похожи выражения в каждой паре? Чем отличаются?

(42+14):7(24+48):8

(40+16):7(22+50):8-

Анализируя пары выражений, учащиеся обнаруживают, что в первом выражении каждой пары можно воспользоваться открытым способом действия, а во втором выражении нельзя.

На этом проблемы не заканчиваются, и учащимся предлагается следующее задание:

- Какие из данных чисел можно записать в виде суммы двух слагаемых, каждое из которых делится на 6, а какие нельзя:

36, 48, 52, 28, 24, 38, 56, 54, 6.

Задание опять создаёт проблемную ситуацию, в которой присутствуют все необходимые компоненты.

Критерием возникшей потребности познания является вопрос, который возникает у некоторых учеников: «Если одно слагаемое делится на данное число, а другое нет, то сумма разделится на это число?» Или учитель предлагает учащимся представить, например, число 24 в виде суммы двух слагаемых, одно из которых делится на 4, а другое не делится, а учащиеся высказывают гипотезу, что это невозможно.

Итак, проблемные задания - это «маленькие» проблемные ситуации, которые дают толчок мысли и продвигают учеников к новым «открытиям». В процессе выполнения каждого такого задания создаются условия и для вычислительной деятельности [39, c. 54].

К обучению младших школьников решению проблемных заданий необходимо подходить дифференцированно в зависимости от степени сложности проблемных заданий и сформированного уровня их самостоятельности.



Глава 2. Опытно-экспериментальная работа по формированию вычислительных навыков у младших школьников посредством использования проблемных заданий на уроках математики

2.1 Диагностика уровня сформированности вычислительных навыков у младших школьников на констатирующем этапе исследования

вычислительный навык проблемный обучение

Экспериментальная работа проводилась на базе 2 класса МОУ СОШ № 9 города Алексина. В ней приняли участие 7 учеников.

Целью констатирующего этапа опытно-экспериментальной работы было выявление исходного уровня сформированности вычислительных навыков у школьников, участвующих в эксперименте.

Исходя из поставленной цели, решались следующие задачи:

1. Определение критериев оценки уровня сформированности вычислительных навыков.

2. Подбор и проведение методик для выявления уровня сформированности вычислительных навыков у учащихся экспериментальной группы.

3. Анализ полученных данных.

Изучив и проанализировав многообразие критериев сформированности вычислительных навыков, выделяемое различными авторами, за основу нами были взяты такие критерии, как: правильность, прочность, рациональность, обобщённость.

Полученные сведения обобщены в таблице 3.



Таблица 3 - Критерии и уровни сформированности вычислительного навыка

Критерии вычислительных навыков	Показатели вычислительных навыков	Уровни сформированности вычислительных навыков
		Высокий	Средний	Низкий
1.Правильность	Правильность выбора операций	Ученик делает правильный выбор операций	Ученик делает правильный выбор операций	Ученик часто делает ошибки при выборе операций
	Правильность выполнения операций и нахождения результата арифметических действий	Верно находит результат арифметического действия над данными числами.	Ребёнок иногда допускает ошибки в промежуточных операциях	Часто неверно находит результат арифметического действия, т.е. не правильно выполняет операции
2. Прочность	Сохранение в памяти алгоритма выполняемого действия	Сохраняет в памяти алгоритм выполняемого действия и использует их при вычислениях	Испытывает затруднение в выборе алгоритма выполняемого действия	Не может найти верного алгоритма для выполнения вычислительного действия
3.Рациональ-ность	Выбор рационального использования вычислительных приёмов	Ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный приём.	Ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный приём	Ребёнок не может выбрать операции, выполнение которых быстрее приводит к результату арифметического действия
	Применение рациональных приёмов в других ситуациях	Может сконструировать несколько приёмов и выбрать более рациональный	В нестандартных условиях применить знания не может.	Так же не может переносить рациональное использование вычислений на другие ситуации
	Скорость выполнения операций	Выполняет операции быстро и с лёгкостью	Выполняет операции достаточно быстро	Выполняет операции с трудом, очень медленно
4.Обобщённость	Применение приёмов вычисления в большом числе случаев	Ученик может применить приём вычисления к большему числу случаев	Ученик может применить приём вычисления к большему числу случаев	Ученик не может применить приём вычисления к большему числу случаев.
	Перенос приёмов вычисления на новые случаи	Способен перенести приём вычисления на новые случаи.	Способен применять вычислительный приём только в стандартных условиях.	Не может переносить приёмы вычисления на новые случаи

Сопоставление выявленных уровней сформированности вычислительных навыков по всем выделенным критериям позволит определить общий уровень сформированности вычислительных навыков каждого школьника, участвующего в эксперименте.

Для выявления уровня сформированности у учащихся вычислительных навыков, на основе анализа содержания программы по математике в данном классе, нами были составлены задания для самостоятельной работы. Содержание самостоятельной работы составили задания по разделу «Арифметические действия в концентре 100». (Приложение 1). Самостоятельная работа рассчитана на 35 минут. Данная работа включала в себя 4 блока заданий. Каждый блок заданий был составлен для диагностики каждого из 4-х критериев вычислительных навыков. Все учащиеся экспериментальной группы работали одновременно. Для большей достоверности результатов выполнения самостоятельной работы, учащиеся размещались по одному за партой. Задания самостоятельной работы выдавались на специальных бланках. Сами задания переписывать было не надо.

Оценка правильности выполнения заданий каждого блока осуществлялась по следующей шкале:

без ошибок - 5 баллов;

1-2 ошибки - 4 балла;

3-5ошибок - 3 балла;

более 5 ошибок - 2 балла.

Диагностика уровня сформированности правильности вычислительных навыков.

Результаты сформированности правильности вычислительных навыков представлены в таблице 4.

Правильность вычислений

Таблица 4

Имя, фамилия ребенка	Показатели правильности вычислений.
	Правильность выбора операций	Правильность выполнения операций и нахождения результата арифметических действий	Общее количество баллов за выполнение заданий Блока № 1
Артём М.	всеоперации выбрал верно	все операции выполнил правильно, получил верный результат	5 баллов
Юля Г.	Не все операции были выбраны верно	допустила 2 ошибки	4 балла
Алёша Ш.	все операции были выбраны верно	допустил 1 ошибку	4 балла
Вита Г.	всеоперации выбрала верно	все операции выполнила правильно, получила верный результат	5 баллов
Данил А.	Неверно выбирал операции в большинстве заданий	Допустил 4 ошибки	3 балла
Лена К.	Неверно выбрала операции в 3 заданиях	Допустила 3 ошибки	3 балла
Миша Г.	Не все операции были выбраны верно	допустил 2 ошибки	4 балла

Проанализировав результаты таблицы, мы пришли к выводу, что большинство детей допускает ошибки в выборе операций, что, как правило, приводитк нахождению неверного результата.

К высокому уровню правильности вычислений мы отнесли тех учащихся, которые получили за выполнение заданий Блока № 1 5 баллов, абсолютно правильно выбирали и выполняли все операции и при этом верно находили результат всех выполняемых арифметических действий.

К среднему уровню правильности вычислений мы отнесли детей, которые получили за выполнение заданий Блока №1 4 балла, не все операции выбирали правильно, иногда допускали ошибки в промежуточных действиях.

К низкому уровню правильности вычислений мы отнесли учеников, которые получили за выполнение заданий Блока №1 3 и 2 балла, часто делали ошибки в выборе операций и нахождении результатов арифметических действий. Сопоставив полученные результаты по всем показателям данного компонента, мы определили уровень правильности производимых учащимися вычислений, который представлен в таблице 5.

Таблица 5 - Уровень правильности вычислений

Имя, фамилия ребенка	Правильность выбора операций	Правильность выполнения операций и нахождения результата арифметических действий	Уровень правильности вычислений
Артём М.	высокий	высокий	высокий
Юля Г.	низкий	средний	средний
Алёша Ш.	средний	средний	средний
Вита Г.	высокий	высокий	высокий
Данил А.	низкий	низкий	низкий
Лена К.	низкий	низкий	низкий
Миша Г.	низкий	средний	средний



Из данной таблицы видно, что 2ученика имеют низкий уровень правильности производимых вычислений, 3 ученика имеет средний уровень и 2 ученика имеют высокий уровень по данному критерию. Таким образом, мы делаем вывод, что с большинством из этих учащихся необходимо проводить работу по повышению правильности производимых вычислений.

Диагностика уровня сформированности прочности вычислительных навыков.

Результаты сформированности прочности вычислительных навыков представлены в таблице 6.

Таблица 6 - Прочность вычислительных навыков

Имя, фамилия ребенка	Показатель прочности вычислительных навыков
	Сохранение в памяти алгоритма выполняемого действия	Общее количество баллов за выполнение заданий Блока № 2
Артём М.	Сохраняет в памяти алгоритм выполняемого действия и использует его при вычислениях	5 баллов
Юля Г.	Испытывала затруднение в использовании алгоритма выполняемого действия, допустила 2 ошибки.	4 балла
Алёша Ш.	Не смог найти верного алгоритма выполняемого действия в трёх заданиях	3 балла
Вита Г.	Испытывала затруднение в использовании алгоритма выполняемого действия, допустила 1 ошибку	4 балла
Данил А.	Не смог найти верного алгоритма выполняемого действия в трёх заданиях	3 балла
Лена К.	Не смогла найти верного алгоритма выполняемого действия в четырёх заданиях	3 балла
Миша Г.	Сохраняет в памяти алгоритм выполняемого действия и использует его при вычислениях	5 баллов

Проанализировав результаты таблицы, мы пришли к выводу, что большинство детей испытывают затруднение в использовании алгоритма выполняемого действия, что, как правило, приводит к допущению ошибок.

К высокому уровню прочности вычислительных навыков мы отнесли тех учащихся, которые получили за выполнение заданий Блока №25 баллов, сохраняли в памяти алгоритм выполняемого действия, использовали его при вычислениях и не допускали ошибок.

К среднему уровню прочности вычислительных навыков мы отнесли детей, которые получили за выполнение заданий Блока №2 4 балла, испытывали затруднение в использовании алгоритма выполняемого действия.

К низкому уровню прочности вычислительных навыков мы отнесли учеников, которые получили за выполнение заданий Блока №2 3 и 2 балла, часто делали ошибки в выборе верного алгоритма выполняемого действия и нахождении результатов арифметических действий.

Сопоставив полученные результаты данного компонента, мы определили уровень прочности вычислительных навыков у учащихся, который представлен в таблице 7.

Таблица 7 - Уровень прочности вычислительных навыков

Имя, фамилия ребёнка	Сохранение в памяти алгоритма выполняемого действия	Уровень прочности вычислительных навыков
Артём М.	высокий	высокий
Юля Г.	средний	средний
Алёша Ш.	низкий	низкий
Вита Г.	средний	средний
Данил А.	низкий	низкий
Лена К.	низкий	низкий
Миша Г.	высокий	высокий

Из данной таблицы видно, что 3ученика имеют низкий уровень прочности вычислительных навыков, 2 ученика имеет средний уровень и 2 ученика имеют высокий уровень по данному критерию. Таким образом, мы делаем вывод, что с большинством из этих учащихся необходимо проводить работу по повышению уровня прочности вычислительных навыков. Диагностика уровня сформированности рациональности вычислительных навыков.

Результаты сформированности рациональности вычислительных навыков представлены в таблице 8.

Таблица 8 - Рациональность вычислительных навыков

Имя, фамилия ребенка	Показатели рациональности вычислительных навыков	Общее количество баллов за выполнение заданий Блока № 3
	Выбор рационального использования вычислительных приёмов	Применение рациональных приёмов в других ситуациях	Скорость выполнения операций
Артём М.	Умеет выбирать для данного случая более рациональный приём	В некоторых заданиях конструировал несколько приёмов и выбирал наиболее рациональный	Операции выполнял быстро, с лёгкостью	5 баллов
Юля Г.	Выбирала рациональные приёмы	Нов задании 3 не смогла использовать рациональный приём	Не все задания давались с лёгкостью, испытывала затруднения в заданиях №3 и №2	4 балла
Алёша Ш.	В большинстве заданий выбрал верные рациональные приёмы	Но в задании №2 допустил ошибку	Операции выполнял достаточно быстро	4 балла
Вита Г.	В большинстве заданий выбирала верные рациональные приёмы	Допустила ошибку в выборе рационального приёма в задании №3	Операции выполняла достаточно быстро	4 балла
Данил А.	Не мог выбрать операции, выполнение которых быстрее приводит к результату	Не может переносить рациональное использование вычислений на другие ситуации	Выполняет операции с трудом, медленно	3 балла
Лена К.	В большинстве заданий выбирала верные рациональные приёмы	Допустила ошибку в выборе рационального приёма в задании №3	Операции выполняла достаточно быстро	4 балла
Миша Г.	В большинстве заданий выбрал верные рациональные приёмы	Но в задании №3 допустил ошибку	Операции выполнял быстро, с лёгкостью	4 балла

Проанализировав результаты таблицы, мы пришли к выводу, что большинство детей допускают ошибки в выборе рациональных приёмов, что, как правило, приводит к снижению скорости получения результата.

К высокому уровню рациональности вычислительных навыков мы отнесли тех учащихся, которые получили за выполнение заданий Блока № 3 5 баллов, абсолютно правильно выбирали рациональный приём и выполняли все операции быстро, с лёгкостью и при этом верно находили результат всех выполняемых арифметических действий.

К среднему уровню рациональности вычислительных навыков мы отнесли детей, которые получили за выполнение заданий Блока №3 4 балла, не во всех заданиях смогли применить рациональный приём, иногда допускали ошибки в промежуточных действиях. К низкому уровню рациональности вычислительных навыков мы отнесли учеников, которые получили за выполнение заданий Блока №3 3 и 2 балла,не могли выполнить операции, выполнение которых быстрее бы привело к результату арифметического действия, работали медленно, испытывая трудности. Сопоставив полученные результаты по всем показателям данного компонента, мы определили уровень рациональности вычислительных навыков, который представлен в таблице 9.



Таблица 9 - Уровень рациональности вычислительных навыков

Имя, фамилия ребенка	Показатели рациональности вычислительных навыков	Уровень рациональности вычислительных навыков
	Выбор рационального использования вычислительных приёмов	Применение рациональных приёмов в других ситуациях	Скорость выполнения операций
Артём М.	высокий	высокий	высокий	высокий
Юля Г.	средний	средний	средний	средний
Алёша Ш.	средний	средний	средний	средний
Вита Г.	средний	средний	средний	средний
Данил А.	низкий	низкий	низкий	низкий
Лена К.	средний	средний	средний	средний
Миша Г.	средний	средний	высокий	средний

Из данной таблицы видно, что 1ученикимеет низкий уровень рациональности вычислительных навыков, 5 учеников имеют средний уровень и 1 ученикимеет высокий уровень по данному критерию. Таким образом, мы делаем вывод, что с большинством из этих учащихся необходимо проводить работу по повышению уровня рациональности вычислительных навыков. Диагностика уровня сформированности обобщённости вычислительных навыков. Результаты сформированности обобщённости вычислительных навыков представлены в таблице 10.

Таблица 10 - Обобщённость вычислительных навыков.

Имя, фамилия ребенка	Показатели обобщённости вычислительных навыков	Общее количество баллов за выполнение заданий Блока №4
	Применение приёмов вычисления в большом числе случаев	Перенос приёмов вычисления на новые случаи
Артём М.	Применял верные приёмы вычисления во всех заданиях	С лёгкостью переносил приёмы вычислений на новые случаи	5 баллов
Юля Г.	Применяла приёмы вычисления к большему числу случаев	Допустила ошибку в задании №3	4 балла
Алёша Ш.	Применял приёмы вычисления к большему числу случаев	Допустила ошибку в задании № 3 и № 4	4 балла
Вита Г.	Применяла приёмы вычисления к большему числу случаев	Допустила ошибку в задании №4	4 балла
Данил А.	Не смог применить приёмы вычисления во многих заданиях	Допустил ошибки в трёхзаданиях	3 балла
Лена К.	Не смогла применить приёмы вычисления во многих заданиях	Допустил ошибки в трёхзаданиях	3 балла
Миша Г.	Применял верные приёмы вычисления во всех заданиях	С лёгкостью переносил приёмы вычислений на новые случаи	5 баллов

Проанализировав результаты таблицы, мы пришли к выводу, что большинство детей допускают ошибки в применении вычислительныхприёмов, что привело к неверным результатам.

К высокому уровню обобщённости вычислительных навыков мы отнесли тех учащихся, которые получили за выполнение заданий Блока № 4 5 баллов, верно применяли приёмы вычисления во всех заданияхи смогли перенести их в новые случаи.

К среднему уровню обобщённости вычислительных навыков мы отнесли детей, которые получили за выполнение заданий Блока №4 4 балла, во многих заданиях смогли применить верный вычислительный приём, но не смогли перенести приём в новый случай.

К низкому уровню обобщённости вычислительных навыков мы отнесли учеников, которые получили за выполнение заданий Блока №43 и 2 балла,не смогли верно применить вычислительные приёмы и перенести их в новые случаи.

Сопоставив полученные результаты по всем показателям данного компонента, мы определили уровень обобщённости вычислительных навыков, который представлен в таблице 11.



Таблица 11 - Уровень обобщённости вычислительных навыков

Имя, фамилия ребенка	Показатели обобщённости вычислительных навыков	Уровень обобщённости вычислительных навыков
	Применение приёмов вычисления в большом числе случаев	Перенос приёмов вычисления на новые случаи
Артём М.	высокий	высокий	высокий
Юля Г.	средний	средний	средний
Алёша Ш.	средний	средний	средний
Вита Г.	средний	средний	средний
Данил А.	низкий	низкий	Низкий
Лена К.	низкий	низкий	низкий
Миша Г.	высокий	высокий	Высокий

Из данной таблицы видно, что 2ученикаимеют низкий уровень обобщённости вычислительных навыков, 3 ученика имеют средний уровень и 2 ученика имеют высокий уровень по данному критерию. Таким образом, мы делаем вывод, что с большинством из этих учащихся необходимо проводить работу по повышению уровня обобщённости вычислительных навыков.

На основании полученных результатов по всем критериям вычислительных навыков можно сделать вывод об общем уровне сформированности вычислительных навыков у каждого ученика, что представлено в таблице 12.

Таблица 12 - Общий уровень сформированности вычислительных навыков

Имя, фамилия ребенка	Правильность	Прочность	Рациональность	Обобщенность	Уровень сформированности вычислительных навыков
Артём М.	высокий	высокий	высокий	высокий	высокий
Юля Г.	средний	средний	средний	средний	средний
Алёша Ш.	средний	низкий	средний	средний	средний
Вита Г.	высокий	средний	средний	средний	средний
Данил А.	низкий	низкий	низкий	низкий	низкий
Лена К.	низкий	низкий	средний	низкий	низкий
Миша Г.	средний	высокий	средний	высокий	высокий

По итогам диагностирования сформированности вычислительных навыков мы выяснили, что:

Высокий уровень сформированности вычислительных навыков наблюдается только у 2 учащихся (Артём М., Миша Г.). Они правильно производят выбор операций, используя наиболее рациональные приёмы вычислений; работают быстро; сохраняя в памяти алгоритм выполняемых действий, с лёгкостью переносят приёмы вычисления на новые случаи.

Средний уровень сформированности вычислительных навыков наблюдается у 3 учащихся (Юля Г., Алёша Ш., Вита Г.). Они верно выбирают вычислительные операции, но, как правило, ошибаются в промежуточных действиях, испытывая некоторые затруднения в выборе алгоритма вычислительного действия; в большинстве заданий выбирают рациональные приёмы вычислений, но не могут применить их в нестандартных условиях; операции выполняют достаточно быстро.

Низкий уровень сформированности вычислительных навыков наблюдается у 2 учащихся (Данил А., Лена К..) Они часто делают ошибки при выборе операций, что влечёт за собой неверное нахождение результата арифметических действий; не могут выбрать оптации, выполнение которых быстрее приводит к результату, из-за чего работают медленно; на новые случаи приёмы вычисления не переносят.

Проведенная нами диагностика свидетельствует о преобладании учащихся со средним и низким уровнем сформированности вычислительных навыков. Поэтому мы пришли к выводу о том, что необходимо проводить целенаправленную систематическую работу по формированию у учащихся вычислительных навыков.



2.2 Использование проблемных заданий, направленных на формирование вычислительных навыков у младших школьников на уроках математики

Формирующий эксперимент проводился в течение 2008 - 2009 учебного года во 2 классе МОУ СОШ № 9 города Алексина.

Целью формирующего этапа опытно-экспериментальной работы явилась разработка и использование на уроках математики проблемных заданий, направленных на формирование вычислительных навыков у младших школьников, участвующих в эксперименте.

В соответствии с поставленной целью на данном этапе исследования нами были выдвинуты следующие задачи:

Определить содержание материала по проблеме формирования вычислительных навыков в программе по математике для 2 класса конкретной школы.

Разработать совокупность проблемных заданий, направленных на формирование вычислительных навыков учащихся.

Использовать разработанную совокупность проблемных заданий на уроках математики в экспериментальном классе.

Изучив работы В.А. Крутецкого, посвященные различным аспектам развития математических способностей учащихся, мы пришли к выводу, что все проблемные задания можно условно разделить на два типа:

1. Проблемные задания, вызывающие удивление:

- задания, предъявляющие противоречивые факты;

- задания, ведущие к столкновению мнений;

- задания на столкновение житейских представлений и научных фактов.

2. Проблемные задания, вызывающие затруднение:

- невыполнимое практическое задание;

- практическое задание, не сходное с предыдущим;

- практическое задание, невыполнимое на уровне актуальных знаний, но сходное с предыдущим.

Исходя из приведенной типологии проблемных заданий, можно выделить следующие методические приемы создания проблемных заданий.

Таблица 13 - Приёмы создания проблемных заданий

Тип проблемного задания	Тип противоречия	Приёмы создания проблем-роблемная задача, либо вопрос, которые ведут к возникновению проблемы и формированию проблемной ситуации
С удивлением	Между двумя (или более) фактами	Одновременно предъявить противоречивые факты, теории
		Столкнуть разные мнения учеников вопросом или практическим действием
	Между житейским представлением учеников и научным фактом	Обнажить житейское представление учеников вопросом или практическим заданием с “ловушкой”. Предъявить научный факт сообщением, экспериментом, презентацией
С затруднением	Между необходимостью и невозможностью выполнить задание учителя	Дать практическое задание, не выполнимое вообще
		Дать практическое задание, не сходное с предыдущим
		Дать невыполнимое практическое задание, сходное с предыдущим. Доказать, что задание учениками не выполнено

Приведём примеры создания разных проблемных заданий с использованием диалогического метода выхода из них на уроках математики во 2 классе, способствующих формированию вычислительных навыков.

Совокупность 1.

Проблемные задания с удивлением.

1. Задания, предъявляющие противоречивые факты.

Урок во 2 классе по теме «Порядок действий в выражениях, содержащих скобки».

Через решение проблемного задания вводится понятие «скобки». По учебнику учащиеся выполняют вычисления по двум различным программам, приводящим к одинаковым выражениям, но имеющим разные результаты.

Задание 1: Выполните вычисление по следующей программе:

Из числа 8 вычесть 3. К полученной разности прибавить 4

Задание 2: Выполни вычисление по следующей программе:

1) К числу 3 прибавь число 4.

2) Из числа 8 вычесть полученную сумму.

Учитель предлагает сравнить два получившихся выражения.

В одном номере получается, что 8-3+4=9, в другом номере значение того же выражения равно 8-3+4=1 (предъявление двух противоречивых фактов). Ученики испытывают удивление (возникает проблемная ситуация). Далее учитель разворачивает побуждающий диалог.

Таблица 14

Шаги диалога	Учитель	Ученики
1.	- Что вы видите, ребята? (побуждение к осознанию противоречия)	- Выражения одинаковые, а результаты разные! (осознание противоречивости фактов)
2.	- Над каким вопросом подумаем? (побуждение к формулированию проблемы)	- Почему в одинаковых примерах разные ответы? (проблема как вопрос, ответом на который являются «скобки»)

Задания, ведущие к столкновению мнений. Урок по теме «Деление нуля и невозможность деления на нуль». Детям предлагается вспомнить правила умножения нуля и на нуль. 0·а=0 и а·0=0.



Таблица 15

Шаги диалога	Учитель	Ученики
1.	-Какие примеры на деление можно составить из этих примеров на умножение (столкновение мнений детей).	Одно мнение 0:а=0 Другое мнение 0:0=а Третье мнениеа:0=0
2.	- Как вы думаете, все ли мнения верны. Докажите.	- Не все мнения верны, так как при делении нуля на нуль никак не может получиться число а, и при делении любого числа а на нуль, то же не может получиться нуль.
3.	- Попробуйте сформулировать правило невозможности деления на нуль. И правило деления нуля	-На нуль делить нельзя. - При делении нуля на любое число, неравное нулю, получим ноль(0:а=0,при а ? 0)

3. Задания на столкновение житейских и научных представлений.

Урок во 2 классе по теме «Конкретный смысл действия умножения».

Звездочки можно считать по одной, а можно по частям. Как? Запиши решение.

Вводится новый вид ситуаций, которые в дальнейшем будут решаться с помощью умножения. Выясняется, что, конечно, можно пересчитать все звездочки по одной. Но так действовать могут первоклассники. Обычно, взрослые люди стараются поменьше пересчитывать руками, а почаще работать головой, используя действия с числами. Вот и здесь можно посчитать руками не все звездочки, а только их часть. Но как?

Возникает проблемная ситуация. Далее учитель разворачивает побуждающий диалог.

Таблица 15

Шаги диалога	Учитель	Ученики
1.	- Обратите внимание на рисунок. Какая в нём особенность?	- Звёздочки расположены друг под другом, следовательно, их равное количество в каждом ряду
2.	- Нужно ли считать все звёздочки?	- Нет, достаточно посчитать звёздочки в первом ряду. Их 6.
3.	Сколько рядов звёздочек?	-Три.
4.	Как можно узнать, сколько всего звёздочек?	- Нужно сложить 6 звёздочек три раза, т.е. 6+6+6
5.	- Мы найдём сумму равных слагаемых. А ещё это выражение можно записать вот так: 6 • 3 -Что обозначает число 6? А что число 3?	-Число 6 показывает, какие одинаковые слагаемые складывали, а число 3- сколько было одинаковых слагаемых.
6.	- Как можно прочитать выражение 6 • 3?	- По 6 взяли три раза.
7.	-Выражение 6+6+6= 6 • 3, т. е. действие сложение мы заменили умножением. Сформулируйте правило.	- Если все слагаемые в сумме одинаковые, то действие сложения можно заменить действием умножения.

Выполняется счет, а затем записывается решение.

Совокупность 2.

Проблемные задания, вызывающие затруднение.

Невыполнимое практическое задание.

Урокво 2 классе по теме «Конкретный смысл действия умножения».

Учащимся предлагается ряд заданий, решение которых сводится к вычислению сумм одинаковых слагаемых. Например:

2+2+2+2=

5+5+5+5+5=

7+7+7+7=

Затем даётся задача: «На одну рубашку пришивают 9 пуговиц. Сколько пуговиц надо пришить на 860 рубашек?» (практическое задание в рамках урока невыполнимое вообще).

Составляя выражение 9+9+9+…, ученики начинают испытывать затруднение. Возникает проблемная ситуация. Далее учитель побуждающим диалогом выводит учеников из проблемной ситуации.

Таблица 16

Шаги диалога	Учитель	Ученики
1.	- Вы можете записать выражение к этой задаче?	- Нет.
2.	- Почему? В чём затруднение? (побуждение к осознанию противоречия)	- Получается слишком длинная запись. (осознание затруднения)
3.	- Значит, что будем делать, какой вопрос исследовать? (побуждение к формулированию проблемы)	- Будем придумывать короткий способ записи.

2. Практическое задание, не сходное с предыдущим.

Урок во 2 классе по теме «Умножение двузначного числа на однозначное».

На доске дан ряд однозначных и двузначных чисел. Ученикам предлагается выписать в столбикоднозначные числа и умножить их на 7. Дети легко справляются с заданием. Далее учитель просит выписать в другой столбик двузначные числа и тоже умножить их на 7 (практическое задание не сходное с предыдущим). Пытаясь выполнить задание, ученики испытывают затруднение (возникновение проблемной ситуации). Далее учитель в диалоге побуждает учеников к сознанию противоречия и формированию проблемы.

Таблица 17

Шаги диалога	Учитель	Ученики
1.	- Вы смогли выполнить это задание?	- Нет.
2.	- Но вы только что умножали на 7! Почему же это задание не получилось? Чем оно отличается от предыдущего? (побуждает к осознанию противоречия)	- Там мы умножали однозначные числа, а здесь надо умножать двузначные числа. А мы этого делать не умеем (осознание затруднения)
3.	- Какова будет тема нашего урока? (побуждение к формулированию проблемы)	- Умножение двузначного числа на однозначное

3. Практическое задание, невыполнимое на уровне актуальных знаний, но сходное с предыдущим.

Урок во 2 классе по теме «Переместительное свойство умножения».

Учитель предлагает учащимся самостоятельно найти значения выражений:

6+3 7+48+2

3+6 4+72+8

- Кто нашел значения этих выражений быстро? Какие знания вам помогли? (Знание переместительного свойства сложения).

- Докажите практически, что это свойство выполняется для данных пар выражений. (Учащиеся пользуются кругами двух цветов)

- С каким действием тесно связано действие сложения? (С действием умножения). Можно ли в таком случае утверждать, что переместительное свойство выполняется и для умножения?



5·2 4·3 6·7

2·5 3·4 7·6

- Подумайте, как установить, выполняется ли переместительное свойство для умножения. (Ученики вычисляют, заменив произведения соответствующими суммами и иллюстрируя умножение с помощью наглядности).

Таким образом, мы видим, что путь постановки проблемных заданий перед учениками заключается в создании учителем проблемной ситуации и побуждении учеников к осознанию её противоречия и формулированию темы урока или вопроса для исследования, которое влечёт к прочному формированию вычислительных навыков у младших школьников.



Заключение

Проблема формирования вычислительных навыков у младших школьников, основу которых составляет осознанное и прочное усвоение приемов устных и письменных вычислений, всегда будет актуальна, так как вычислительная культура является тем запасом знаний и умений, который находит повсеместное применение, является фундаментом изучения математики и других учебных дисциплин.

Формирование вычислительных умений и навыков - сложный длительный процесс, эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности.

На современном этапе развития начального образования необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности младших школьников, которые способствуют не только формированию прочных осознанных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка.

При выборе способов организации вычислительной деятельности учителю необходимо отдавать предпочтение обучающим заданиям, в которых доминирует познавательная мотивация, ориентироваться на развивающий характер работы, учитывать индивидуальные особенности ребенка, его жизненный опыт, особенности детского мышления.

Вычислительные задания должны характеризоваться вариативностью формулировок, неоднозначностью решений, выявлением разнообразных закономерностей и зависимостей.

На сегодняшний день, работая в любой системе обучения, учитель может и должен организовать работу по формированию вычислительных умений и навыков у учащихся таким образом, чтобы удовлетворить всем требованиям современной школы.

Данная проблема заинтересовала и нас. Для успешного ее решения требуется серьезная целенаправленная работа, поиск наиболее эффективных средств, направленных на формирование вычислительных навыков. В качестве таких средств мы выбрали проблемные задания, поскольку они являются необходимым компонентом процесса обучения, целью которого является развитие мышления учащихся. Проблемные задания вводят учащихся в предстоящую частично поисковую или исследовательскую работу, в процессе которой у него возникают потребности в усвоении нового знания, и он сам или с помощью учителя «открывает» их.

Рассматривая проблемные задания как средство формирования вычислительных навыков у младших школьников, мы изучили и проанализировали психолого-педагогическую и методическую литературу по интересующим нас вопросам.

Исходя из анализа литературы, мы пришли к выводу, что под проблемным заданием следует понимать учебное задание, составляемое преподавателем, методистом, автором учебного пособия в форме проблемной задачи или проблемного вопроса в целях постановки обучаемых в проблемную ситуацию. В процессе выполнения этих заданий у учащихся выявляются затруднения, возникает познавательный интерес и потребность в решении встретившейся проблемной задачи. Исходя из полученного определения проблемного задания мы рассмотрели возможные пути и способы формирования вычислительных навыков в условиях постановки перед детьми проблемных заданий различных типов, их организацию и особенности введения в процесс обучения.

Каждое проблемное задание было направленно не только на изучение теоретического материала и формирование вычислительных навыков, но и на организацию умственной деятельности учащихся, что способствовало активизации познавательной деятельности и формированию у учащихся прочных знаний, умений и навыков по предмету.

В ходе проведенной нами опытно-экспериментальной работы, мы пришли к выводу, что использование проблемных заданий в процессе обучения младших школьников математике способствуют их интенсивному интеллектуальному развитию и как следствие способствует эффективному формированию вычислительных навыков.



Список литературы

1. Актуальные проблемы методики обучения математике в начальных классах / Под ред. М.И. Моро, А.М. Пышкало. - М., 2005. - 248 с.

2. Аргинская И.И. Математика. Методическое пособие к учебнику 2-го класса четырехлетней начальной школы / И.И. Аргинская. - М.: Центр общего развития, 2000. - 108 с.

3. Артёмов А.К. Приёмы организации развивающего обучения / А.К. Артёмов // Начальная школа. - 1955. - №3. - С. 35-39.

4. Бабанский Ю.К. Методы обучения в современной общеобразовательной школе / Ю.К. Бабанский. - М.: Просвещение, 2002. - 118 с.

5. Бабанский Ю.К. Оптимизация учебно-воспитательного процесса / Ю.К. Бабанский. - М.: Просвещение, 2002. - 114 с.

6. Бабанский Ю.К. Проблемное обучение как средство повышения эффективности учения школьников / Ю.К. Бабанский. - Ростов-н/Д., 2004.- 125 с.

7. Бантова М.А. Система формирования вычислительных навыков/ М.А. Бантова // Начальная школа. - 1995. -№ 11. - С. 38-43.

8. Блохин И.А. О проблемном обучении в начальных классах / И.А. Блохин, В.В. Ляхин, В.П. Стрезикозин // Начальная школа. - 1973. -№6. - С. 53-64.

9. Богоявленский Д.Н. Психология усвоения знаний в школе / Д.Н. Богоявленский, Н.А. Менчинская. - М.: Академия, 2002. - 279 с.

10. Брушлинский А.В. Психология мышления и проблемное обучение / А.В. Брушлинский. - М.: Знание, 2005. - 96 с.

11. Вилькеев Д.В. Познавательная деятельность учащихся при проблемном характере обучения основам наук в школе / Д.В. Вилькеев. - Казань: Айрис-Пресс, 2007. - 302 с.

12. Гальперин П.Я. Методы обучения и умственное развитие ребенка / П.Я. Гальперин. - М.: Изд-воМГУ, 2001. - 164 с.

13. Давыдов В.В. Программа развивающего обучения по математике (система Д.Б. Эльконина - В.В. Давыдова). I-III классы / В.В. Давыдов, С.Ф. Горбов, Г.Г. Микулина, О.В. Савельева. - М.: МИРОС, 2000. - 32 с.

14. Давыдов В.В. Проблемы развивающего обучения: Опыт теоретического и экспериментально-психологического исследования. - М.: Педагогика, 2006. - 240 с.

15. Далингер В.А. Методические системы развивающего обучения математике в начальной школе / В.А. Далингер, Л.П. Борисова. - Омск: Изд-во ОГПУ, 2004. - 205 с.

16. Зак А.З. Развитие интеллектуальных способностей у детей 8 лет: Учебно-методическое пособие для учителей. - М.: Новая школа, 2006. - 252 с.

17. Зак А.З. Развитие интеллектуальных способностей у детей 9 лет: Учебно-методическое пособие для учителей. - М.: Новая школа, 2006. - 108 с.

18. Занков Л.В. Избранные педагогические труды / Л.В Занков. - М.: Педагогика, 2000. - 424 с.

19. Истомина Н.Б. Активизация учащихся на уроках математики в начальной школе / Н.Б. Истомина. - М.: Просвещение, 2006. - 212 с.

20. Корчемлюк О.М. Задания для развития памяти и внимания на уроках математики / О.М. Корчемлюк // Начальная школа. - 1994. - №8. - С. 26-32.

21. Крупич В.И. Дидактический механизм возникновения проблемной ситуации в обучении математике /В.И. Крупич. - М.: МГПИ, 2004. - 111 с.

22. Крутецкий В.А. Психология математических способностей школьников.- М.: Просвещение, 2008. - 432 с.

23. Крутецкий В.А. Психология обучения и воспитания школьников / В.А. Крутецкий.- М.: Просвещение, 2006. - 451 с.

24. Кудрявцев Т.В. Исследование и опыт проблемного обучения / Т.В. Кудрявцев. - М.: Высшая школа, 2008. - 89 с.

25. Кудрявцев Т.В. Проблемное обучение: истоки, сущность, перспективы /Т.В. Кудрявцев. - М.: Знание, 2001. - 80 с.

26. Кулько В.А. Формирование у учащихся умений учиться: Пособие для учителей / В.А. Кулько, Т.Д.Цехмистрова. - М.: Просвещение, 2003. - 79 с.

27. Кульневич С.В. Современный урок. Часть 3. Проблемные уроки: Научно-практич. пособие для учителей, методистов, руководителей учебных заведений, студентов и аспирантов пед. учеб. заведений, слушателей ИПК. / С.В. Кульневич, Т.П. Лакоценина. - 2006. - 288 с.

28. Лейтес Н.С. Способности и одаренность в детские годы / Н.С. Лейтес. - М.: Знание, 2004. - 80 с.

29. Лернер И.Я. Проблемное обучение / И.Я. Лернер. - М.: Знание, 2004. - 64 с.

30. Лернер И.Я. Система методов обучения / И.Я. Лернер.- М.: Знание, 2006.- 71 с.

31. Лоповок Л.М. Тысяча проблемных задач по математике: Кн. Для учащихся / Л.М. Лоповок. - М.: Просвещение, 2005. - 86 с.

32. Людмилов Д.С. Некоторые вопросы проблемного обучения математике: Пособие для учителей, Д.С. Людмилов, Е.А. Дышинский, А.М. Лурье. - Пермь, 2005. - 69 с.

33. Максимова В.Н. Проблемный подход к обучению в школе: Методическое пособие для учителей / В.Н. Максимова. - СПб.: Печатный двор, 2003 - 325 с.