Методические приемы формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики

Сложение и вычитание с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода к построению множества целых неотрицательных чисел. Диагностика сформированности вычислительных навыков письменного сложения и вычитания у младших школьников.

Рубрика Педагогика
Вид дипломная работа
Язык русский
Дата добавления 22.04.2015
Размер файла 2,2 M

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки РФ

ФГБОУ ВПО «Тверской государственный университет»

Педагогический факультет

Кафедра Математики с методикой начального обучения

Специальность 050708 «Педагогика и методика начального образования»

ДИПЛОМНАЯ РАБОТА

методические приемы формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики

Автор:

Курбанова Алия Элдилак кызы,

VI курс, 62 группа, ОЗО

Научный руководитель:

ст. преподаватель

Журавлева Татьяна Александровна

Тверь 2014

Содержание

Введение

Глава 1. Теоретические основы формирования навыков письменного сложения и вычитания у младших школьников

1.1 Сложение и вычитание с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода к построению множества целых неотрицательных чисел

1.2 Понятие вычислительных навыков в начальном обучении математике и критерии их сформированности

1.3 Методические приемы формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики

1.3.1 Методика формирования письменных приемов сложения и вычитания, подготовительная работа

1.3.2 Типичные ошибки при выполнении письменного сложения и вычитания и работа по их устранению и предупреждению

1.3.3 Приемы самоконтроля, занимательные задания, тренировочные упражнения как способы устранения и предупреждения типичных вычислительных ошибок учащихся

Глава 2. Экспериментально-практическая работа по формированию навыков письменного сложения и вычитания у учащихся 3 «Б» класса

2.1 Диагностика сформированности вычислительных навыков письменного сложения и вычитания у младших школьников на констатирующем этапе

2.2 Формирование навыков письменного сложения и вычитания у учащихся 3 «Б» класса

2.3 Анализ результатов формирующего этапа

Заключение и рекомендации для учителей

Список литературы

Приложения

ВВЕДЕНИЕ

Концепция модернизации российского образования на период до 2015 года определяет цели общего образования на современном этапе. Она подчеркивает необходимость «ориентации образования не только на усвоение обучающимися определенной суммы знаний, но и на развитие его личности, его познавательных и созидательных способностей». Одной из основных задач обучения математике в школе является формирование у школьников сознательных и прочных вычислительных навыков, которые являются основополагающим элементом вычислительной культуры человека.

Сегодня всё меньше и меньше внимания в новых экспериментальных и вариативных учебниках по математике уделяется формированию у учащихся вычислительных навыков, как устных, так и письменных. Постепенно снижается подготовленность детей в данном направлении: возрастает число ошибок в определении порядка действий в выражениях, снижается уровень сформированности умения решать текстовые задачи (в частности за счёт ухудшения техники чтения, вычислительных умений). В связи с этим, одной из основных задач обучения школьников математике является повышение вычислительной культуры учащихся на всех ступенях обучения в образовательном учреждении и в первую очередь в начальной школе [6].

Проблема формирования у учащихся вычислительных умений всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е.С. Дубинчук, А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, С.Е. Царевой и др.) [1, 4, 6, 8].

Задача формирования вычислительных навыков является центральной в курсе преподавания математики в начальной школе. Однако не всегда вычислительные навыки у учащихся сформированы на высоком уровне. Вследствие чего, выпускники начальной школы могут испытывать затруднения в обучении.

Учителя начальных классов сталкиваются в своей деятельности с такими проблемами, как:

? Низкий уровень усвоения учебного материала на уроках изучения нового материала и в проверочных работах на первичное закрепление.

? Большое количество вычислительных ошибок при решении задач.

? Неумение учащимися выполнять задания «устного счета» [12].

Начало изучения темы «Письменное сложение и вычитание» в начальном курсе математики предусмотрено во втором классе по всем программам. Авторы программ по-разному подходят к введению данного материала, используют различные задания, но алгоритм письменного сложения и вычитания во всех программах остается единым.

Формирование вычислительных навыков письменного сложения и вычитания - одна из главных задач, которая должна быть решена в ходе обучения детей в начальной школе. Сформировать навыки письменного сложения и вычитания - сложная задача в начальном курсе математики. Это и основная задача, так как без сформированных навыков невозможно дальнейшее обучение письменному умножению и делению.

Выбор темы обусловила необходимость проанализировать приемы, которые используют методисты, учителя-практики в своей работе по различным программам для формирования навыков письменного сложения и вычитания.

Все вышесказанное обуславливает актуальность выбранной темы дипломной работы.

Объект исследования: процесс формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания.

Предмет исследования: методические приёмы формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания у младших школьников.

Цель дипломной работы: на основе анализа психолого-педагогической и методической литературы разработать и апробировать методику формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания у учащихся 3 «Б» класса и оценить её эффективность.

В качестве гипотезы исследования было выдвинуто предположение о том, что применение учителем разнообразных тренировочных упражнений, занимательных задач, использование приемов самоконтроля на уроках по математике способствует прочному формированию вычислительных навыков письменного сложения и вычитания младших школьников.

Задачи исследования:

1. Изучить и проанализировать учебно-методическую и психолого-педагогическую литературу по данной теме исследования:

- рассмотреть сложение и вычитание с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода;

- уточнить понятие вычислительного навыка и условия его формирования в начальном курсе математики;

- проанализировать программы, школьные учебники и методические разработки учителей-практиков с целью выделения эффективных приёмов по формированию навыков письменного сложения и вычитания.

2. Провести диагностику уровня обученности учащихся 3-го «Б» класса по теме «Письменное сложение и вычитание».

3. Разработать и апробировать фрагменты уроков по формированию вычислительных навыков письменного сложения и вычитания в 3-ем «Б» классе с использованием различных занимательных заданий, тренировочных упражнений, приемов самоконтроля.

4. Проанализировать результаты экспериментального исследования и разработать рекомендации учителям начальных классов по использованию разнообразных приемов формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания на уроках по математике.

Методы исследования:

· анализ литературы;

· изучение передового педагогического опыта;

· изучение педагогической документации;

· педагогический эксперимент;

· анализ работы учащихся;

· диагностирующие самостоятельные и контрольные работы;

База исследования: МОУ СОШ № 36 г. Твери, 3 «Б» класс.

Продолжительность: в течение февраля - апреля 2012/13 уч. года

Дипломная работа включает введение, две главы, заключение, рекомендации для учителей, список литературы и приложения.

Во введении обосновывается актуальность дипломной работы, определяется аппарат исследования, методы и база проведения.

В главе I «Теоретические основы формирования навыков письменного сложения и вычитания у младших школьников» раскрываются понятия сложения и вычитания, вычислительного навыка, методические приемы формирования вычислительных навыков письменного сложения вычитания у младших школьников.

В главе II «Экспериментально-практическая работа по формированию навыков письменного сложения и вычитания у учащихся 3 «Б» класса» излагается программа экспериментально-практического исследования, и анализируются её результаты. Состоит из трех этапов: констатирующий, формирующий и контрольный.

В заключении обобщается глава I, результаты экспериментального исследования, предложены рекомендации для учителей начальной школы.

Список литературы включает 61 источник.

В приложении содержатся таблицы, фрагменты уроков, контрольные работы учащихся.

ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ НАВЫКОВ ПИСЬМЕННОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ

1.1 Сложение и вычитание с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода к построению множества целых неотрицательных чисел

Перед тем, как перейти к рассмотрению методики изучения приемов письменного сложения и вычитания в начальных классах, необходимо выявить математические основы изучения арифметических действий, установить их важнейшие законы и правила, также взаимосвязь их компонентов и результатов.

Понятие действия сложения и вычитания в математике можно рассмотреть с двух точек зрения: с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода.

По правилам аксиоматической теории построения множества N определить сложение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за». Дадим определение с позиций этой теории: сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве натуральных чисел N и обладающая свойствами:

1)

2) [25, с.232]

Число a+ b называется суммой натуральных чисел чисел a ? b , а сами числа a и b - слагаемыми.

При построении множества Z0 используется тоже определение сложения, в котором меняется только первое свойство

Доказано, что алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами единственна и она существует [52, C. 233]

Сложение натуральных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Раскроем их определения без доказательства.

I. Коммутативный закон сложения (переместительный):

II. Ассоциативный закон сложения (сочетательный):

Остановимся на теоретико-множественном смысле суммы nZ0, Раскроем смысл определения сложения [52, с. 128].

Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Петя нашел 4 гриба, а Нина - 3. Сколько всего грибов нашли ребята?» Задача решается при помощи действия сложения: 4+3 = 7. Но как объяснить почему использовано сложение, а не другое действие?

Представим условие задачи наглядно, изобразив каждый гриб, который нашел Петя кружком, а каждый гриб, найденный Ниной, квадратом (рис. 1).

рис. 1

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо к грибам Пети добавить (присоединить) грибы Нины, т.е. объединить два множества грибов (рис. 2), и сосчитать, сколько в этом объединении оказалось элементов.

рис. 2

Видим, что сложение целых неотрицательных чисел тесно связано с операцией объединения множеств.

Поэтому с точки зрения теоретико-множественного подхода сумму определяют через объединение непересекающихся множеств.

Определение: суммой целых неотрицательных чисел a и b называют число в объединении непересекающихся множеств A и B, таких, что n (A) = a, n (B) = b:

Объясним, пользуясь данным определением, что 5+2=7. 5- это число элементов некоторого множества А, 2 - число элементов некоторого множества В, причем их пересечение должно быть пусто. Возьмем, например, множества , B={a,b}. Объединим их: . Путем пересчета устанавливаем, что n = 7.Следовательно, 5+2 =7.

Действие, при помощи которого находят сумму, называется сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми.

В начальном курсе математики сложением неотрицательных чисел вводится на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов (теоретико-множественная терминология и символика при этом не используется). Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла сложения является решение простых арифметических задач. Суть решения одной такой задачи проанализирована выше.

Остановимся на определении вычитания натуральных чисел с точки зрения вышеуказанных теорий.

При аксиоматическом построении теории натуральных чисел сначала дается определение разности, затем вычитания.

Разностью натуральных чисел a и b называется такое натуральное число с, что b +с = a. [52, C.136].

Действие, с помощью которого находится разность чисел a и b называется вычитанием.

Из определения видно, что вычитание - это действие, обратное сложению.

Число a - b называется разностью чисел а и b, число а - уменьшаемым, число в - вычитаемым.

Известно, что алгебраическая операция, удовлетворяющая указанному условию на множестве натуральных чисел, существует не всегда. Есть только необходимое условие существования разности и оно единственно: разность натуральных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b<a. Если разность существует, то она единственна [52, C. 136].

Исходя из определения разности натуральных чисел и условия его существования, можно обосновать известные правила, связывающие сложение и вычитание натуральных чисел [56, C. 140-141].

1. Вычитание числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы

достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое.

a, b, c,

(a + b) - c = 1)

2)

3)

Пример: (5768 + 929)668=(5768668) + 929 = 6029.

2.

3. Вычитание суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, достаточно из этого числа последовательно вычесть каждое слагаемое одно за другим.

Пример:

4. Вычитание числа из разности: чтобы вычесть число из разности достаточно из уменьшаемого a вычесть сумму двух других чисел.

Пример:

5. Вычитание разности из числа:

Примеры:

6. Прибавление разности к числу:

Примеры:

7. Прибавление числа к разности: чтобы прибавить число к разности достаточно это число прибавить к уменьшаемому и из полученного результата вычесть вычитаемое.

Пример:

Раскроем теоретико-множественный смысл разности натуральных чисел.

Раскрытие смысла снова начнем с простой арифметической задачи, которую мы даем учащимся первого класса:

«Около школы посадили 8 деревьев - берез и рябин. Берез 3. Сколько рябин посадили около школы?»

Чтобы ответить на вопрос задачи, надо . Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не другое действие?

Как и при решении задачи на сложение, рассмотренной нами выше, представим условие данной задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное около школы, кружком (рис. 3). Среди посаженных деревьев 3 березы - на рисунке выделим их, зачеркнув каждый кружок, изображающий березу. Тогда остальные деревья - рябины. Их столько, сколько будет, если из 8 вычесть 3, т.е.5 [52 ,С. 135].

Рис. 3

Видим, что решение данной задачи тесно связано с выделением из данного множества подмножества и нахождением числа элементов в дополнении этого множества, т.е. вычитание чисел оказывается связанным с операцией дополнения подмножества.

Определение: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется число элементов в дополнении множества В до А при условии, что :

Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания мы обращаемся к сложению. Почему? Очевидно потому, что существует связь между действиями вычитания и сложения. Пусть даны целые неотрицательные числа a и b, такие, что , и пусть разность этих чисел есть число элементов дополнения множества B до множества A, т.е.

Известно, что Следовательно, получаем, что

Отсюда мы получаем определение разности с точки зрения аксиоматической теории построения числа, которая описывалась выше.

Данное определение необходимо хорошо усвоить учащимся, так как проверка сложения вычитанием, а также вычитания сложением является одним из приемов самоконтроля, позволяющим избежать ошибок при вычислениях. Определение понятия вычитания как действия, обратного сложению, в явном виде не дается, но подчеркивается, что «вычитание связано со сложением: вычесть из числа 40 число 16 - значит найти такое число, которое при сложении его с числом 16 дает в сумме 40. Это число 24. Значит, 40-16 = 24».

Таким образом, в данном параграфе мы рассмотрели и раскрыли понятие сложения и вычитания с точки зрения аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода. В начальном курсе математики первоначальное представление о действиях умножения и деления формируется с позиций теоретико-множественного подхода на основе практических упражнений через моделирование ситуаций на предметных совокупностях, но без введения соответствующей терминологии и символики.

1.2 Понятие вычислительных навыков в начальном обучении математике и критерии их сформированности

сложение вычитание навык письменный

Деятельность по овладению вычислительными приемами можно рассматривать как учебную деятельность, важнейшим компонентом которой является действие контроля. Под контролем при правильности вычислительных приемов следует понимать как проверку всей деятельности, направленной на выполнение вычислительных приемов, так и проверку конечного результата [31].

В век компьютерной грамотности значимость навыков письменных вычислений, несомненно, уменьшилась. Вместе с тем, научиться быстро и правильно выполнять письменные вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости этих навыков для дальнейшего обучения в школе.

Проблема формирования у учащихся вычислительных умений всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е.С. Дубинчук, А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, С.Е. Царевой и др.

Каждое из этих исследований внесло определенный вклад в разработку и совершенствование той методической системы, которая использовалась в практике обучения и нашло отражение в учебниках математики (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, А.М. Пышкало и др.) [1, 4, 6, 8].

Действующие на сегодняшний день программы по математике обеспечивают достаточный уровень формирования вычислительных навыков школьников. Изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие их них). Причем в каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема, конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения.

Особенность изучения письменных вычислений обусловлена тем, что у детей быстро развивается усталость при работе с числами. Это объясняется большим количеством операций как письменного сложения и вычитания, так и письменного умножения и деления. Избежать быстрой утомляемости и снижения внимания при изучении письменных вычислений поможет чередование различных видов деятельности, отказ от однообразных тренировочных упражнений, обучение приёмам действия контроля. Формирование у младших школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий.

Рассмотрим некоторые определения понятия «навык».

И.П. Подласый в [22, с.295] определяет навык как «умения, доведенные до автоматизма, высокой степени совершенства».

В «Педагогическом энциклопедическом словаре» [21, с.156] «навык - действие, сформированное путем повторения, характеризующееся высокой степенью освоения и отсутствием поэлементной сознательной регуляции и контроля. Различают навыки перцептивные, интеллектуальные, двигательные. Интеллектуальный навык - автоматизированный прием, способ решения встречавшейся ранее задачи».

Кузнецов В.И. дает такое определение в [41, с.37]: «под навыками понимают автоматизированные компоненты сознательной деятельности, вырабатывающиеся в процессе её выполнения. Навыки становятся автоматическими в результате более или менее длительного упражнения».

Из выше перечисленных определений можно сделать вывод, что навык - это действие, доведенное до автоматизма в результате многократных упражнений.

В ряде исследований [6], [12] раскрываются основные положения системы формирования вычислительного навыка. Особое внимание было уделено работе М.А. Бантовой, посвящённой изучению данной темы.

Раскроем суть вычислительного приёма. Пусть надо сложить числа 8 и 6. Приём вычисления для этого случая будет состоять из ряда операций:

1. замена числа 6 суммой удобных слагаемых 2 и 4;

2. прибавление к числу 8 слагаемого 2;

3. прибавление к полученному результату, к числу 10, слагаемого 4.

Здесь выбор операций и порядок их выполнения определяется соответствующей теоретической основой приёма - применением свойства прибавления к числу суммы (сочетательное свойство): замена числа 6 суммой удобных слагаемых, затем прибавление к числу 8 последовательно каждого слагаемого. Кроме того, здесь используются и другие знания, например, при выполнении первой операции используется знание состава чисел первого десятка: 10=8+2 и 6=2+4.

Для большей наглядности структуру вычислительного приема мы представили в виде схемы:

Таким образом, можно сказать, что приём вычисления над данными числами складывается из ряда последовательных операций, выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия над этими числами; причём выбор операций в каждом приёме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве теоретической основы.

В большинстве случаев уже в начальных классах школы для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приёмам вычислений.

Например:

1. 156=15+15+15+15+15+15=90;

2. 156=(10+5)6=106+56=90;

3. 156=15(23)=(152)3=90.

Теоретической основой для выбора операций, составляющих первый из приведённых приёмов, является конкретный смысл действия умножения; теоретической основой второго приёма - свойство умножения суммы на число, а третьего приёма - свойство умножения числа на произведение. Операции, составляющие приём вычисления, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции играю особую роль в процессе овладения вычислительными приёмами: выполнение приёма в свёрнутом плане сводится к выделению и выполнению именно операций, являющихся арифметическими действиями. Поэтому операции, являющиеся арифметическими действиями, можно назвать основными. Например, для случая 164 основными будут операции: 104=40, 64=24, 40+24=64. Все другие операции - вспомогательные.

Число операций, выполняемых при нахождении результата арифметического действия, может сокращаться по мере овладения приемом. Например, для случаев вида 8+2 на начальной стадии формирования навыка ученик выполняет три операции: замена числа 2 суммой 1 и 1, прибавление числа 1 к 8 , прибавление числа 1 к результату, к 9. Однако после заучивания таблицы сложения ученик выполняет одну операцию - он сразу связывает числа 8 и 2 с числом 10. Как видим, здесь прием как бы перерастает в другой.

Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приёмов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приёмов в соответствии с их общей теоретической основой. Существуют различные классификации вычислительных приёмов. Рассмотрим более детально классификацию вычислительных приёмов, предложенную Бантовой М.А., основанием которой является общность теоретической основы вычислительных приёмов, изучаемых в начальных классах. Данную классификацию мы представили в виде таблицы [6].

Таблица 1.

Классификация вычислительных приёмов по общности теоретической основы

Группы вычислительных

приёмов

Теоретическая

основа

Устные

Письменные

Табличные

Внетабличные

1. конкретный смысл арифметических действий

а2,3,4; 24:8; 6·5 и т.д.

2. законы и свойства арифметических действий

а+5,6,7,8,9 и т.д.

674; 6740; 273; 17·3; 96:8; 120:45; 1840 и т.д.

49+23; 90-36, и т.д. письменные приемы сложения и вычитания.

3. связи между компонентами и результатами арифметических действий

а-5,6,7,8,9; 36:9 и т.д.

9-7; 60:3; 54:18 и т.д.

Письменные приёмы сложения и вычитания

4. изменение результатов арифметических действий

46+19; 255; 300:50 и т.д.

512-298 и т.д

5. вопросы нумерации чисел

а1

10+6;16-10; 1200:100; 4020 и т.д.

Письменные приёмы сложения и вычитания

6. правила

а0

а1; а:1; а0; а:0; 0:а

Как видим, все вычислительные приёмы строятся на той или иной теоретической основе, причём в каждом случае учащийся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приёмов.

Это реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками.

Общность подходов каждой группы - есть залог овладения учащимися обобщёнными вычислительными навыками.

Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительный навык - значит, для каждого случая знать какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. В качестве сформированности полноценного вычислительного навыка можно выделить следующие критерии: правильность, осознанность, рациональность, обобщённость, автоматизм и прочность. Вместе с тем, учитывая, что ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом - системой операций, мы относим к основным критериям и степень овладения умением контролировать себя при выполнении вычислительного приёма.

О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению.

Нами были выделены и представлены в таблице уровни и критерии сформированности вычислительного навыка [19, С. 7-9].

Таблица 2.

Критерии и уровни сформированности вычислительного навыка

уровни

критерии

высокий

средний

низкий

1. правильность

Ученик правильно находит результат арифметического действия над данными числами.

Ребёнок иногда допускает ошибки в промежуточных операциях.

Ученик часто неверно находит результат арифметического действия, т.е. не правильно выбирает и выполняет операции.

2. осознанность

Ученик осознаёт, на основе каких знаний выбраны операции. Может объяснить решение примера.

Ученик осознаёт на основе каких знаний выбраны операции, но не может самостоятельно объяснить, почему решал так, а не иначе

Ребёнок не осознаёт порядок выполнения операций.

3. рациональность

Ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный приём. Может сконструировать несколько приёмов и выбрать более рациональный.

Ученик, сообразуясь с конкретными условиями, выбирает для данного случая более рациональный приём, но в нестандартных условиях применить знания не может.

Ребёнок не может выбрать операции, выполнение которых быстрее приводит к результату арифметического действия.

4. обобщённость

Ученик может применить приём вычисления к большему числу случаев, то есть он способен перенести приём вычисления на новые случаи.

Ученик может применить приём вычисления к большему числу случаев только в стандартных условиях.

Ученик не может применить приём вычисления к большему числу случаев.

5. автоматизм

Ученик выделяет и выполняет операции быстро и в свёрнутом виде.

Ученик не всегда выполняет операции быстро и в свёрнутом виде.

Ученик медленно выполняет систему операций, объясняя каждый шаг своих действий.

6. прочность

Ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на длительное время.

Ученик сохраняет сформированные вычислительные навыки на короткий срок.

Ребёнок не сохраняет сформированные вычислительные навыки.

Методика работы над каждым отдельным приемом предусматривает ряд этапов [19, С.10-13].

1. Подготовка к введению нового приема. На этом этапе обеспечивается готовность к усвоению вычислительного приема. Учащиеся должны понять те теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операцией составляющей его. Чтобы обеспечить соответствующую подготовку, надо проанализировать прием и установить, какими знаниями должен овладеть ученик и какие вычислительные навыки он уже приобрел.

2. Ознакомление с вычислительным приемом. На этом этапе ученики осваивают вычислительный прием: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так и можно найти результат арифметического действия. При введении большинства вычислительных приемов целесообразно использовать наглядность.

3. Закрепление приема и выработка вычислительного навыка. На этом этапе учителю важно предусмотреть ряд стадий становления у детей вычислительных навыков.

а) закрепление знания приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие его, комментируя каждое действие вслух и одновременно производя развернутую запись, если она была предусмотрена на предыдущем этапе.

б) частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют их, обосновывают выбор и порядок работы, вслух же проговаривают выполнение основных действий, т.е. промежуточных вычислений.

в) полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все действия, т.е. происходит свертывание основных операций.

г) предельное свертывание выполнения операций: учащиеся производят все действия в свернутом виде, предельно быстро, т.е. овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений.

Стоит отметить, что на всех стадиях формирования вычислительного навыка решающую роль играют упражнения на применение вычислительных приемов, причем содержание заданий должно подчиняться целям, которые ставятся на соответствующих стадиях. Важно, чтобы:

· было достаточное число упражнений при отработке вычислительного навыка;

· они были разнообразными как по числовым данным, так и по форме;

· в заданиях предусматривались аналогии и предлагались упражнения на сравнение приемов, сходных в том или ином отношении. [19, C. 13].

Названные стадии не имеют четких границ: одна постепенно переходит в другую. Надо иметь ввиду, что свертывание выполнения операций не у всех учащихся происходит одновременно, поэтому важно время от времени возвращаться к полному объяснению и развернутой записи. Продолжительность каждой стадии определяется сложностью приема, подготовленностью учащихся и поставленными целями.

Навык складывается неравномерно (для него характерна остановка, задержка). Это связано с утомлением, потерей интереса, ухудшением методических приемов, изменением обстановки, новыми трудностями. На формирование навыка влияют индивидуальные особенности школьника. Большое значение имеет его отношение к данной деятельности. Трудно выработать навык у ребенка, если он считает, что соответствующая деятельность ему совершенно не нужна. Также влияет изменение работоспособности в течение недели (в какой день проводятся упражнения), времени суток (утром, днем или вечером). Поэтому овладение новыми и сложными навыками лучше начинать в первой половине дня средних дней недели, а повторение проводить в другое время.

Навыки могут ослабляться, что происходит вследствие их не использования на практике, отсутствия систематичности, из-за длительных перерывов в повторениях, болезни, переутомления. Быстро утрачиваются сложные, недостаточно закрепленные навыки. Педагогу следует учитывать это при решении вопроса о поддержании и сохранении навыка. Для восстановления навыка требуется вновь повторить соответствующие упражнения.

Не следует считать, что овладение навыком достигается путем проб и ошибок на основе механической тренировки. Научные данные и практика показывают, что механическая выработка навыка идет в несколько раз медленнее, чем сознательная (с упором на понимание сути действий, характера допускаемых ошибок, их причин и так далее). По нашему мнению, вычислительный навык можно считать эффективным, если в рамках данного способа вычислений получение правильного результата достигается минимизацией затрат умственных ресурсов. Т.е. ученик, используя различные знания, может выбрать не обязательно более рациональный вычислительный прием с точки зрения методики, а более удобный (легкий) для него в конкретной ситуации, быстрее других приводящий к результату. Формирование вычислительных умений и навыков - сложный длительный процесс, эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности. Необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности младших школьников, которые способствуют не только формированию прочных осознанных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка. На сегодняшний день, работая в любой системе обучения, учитель может и должен организовать работу по формированию вычислительных умений и навыков у учащихся таким образом, чтобы удовлетворить всем вышеперечисленным требованиям современной школы [5, C. 68].

Таким образом, в данном параграфе мы рассмотрели понятие навыка, выделили вычислительные, охарактеризовали их качества, особенности формирования. Рассмотрели вычислительные приемы как теоретическую основу формирования вычислительных навыков, описали критерии их сформированности.

1.3 Методические приемы формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики

1.3.1 Методика формирования письменных приемов сложения и вычитания, подготовительная работа

Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей однозначных чисел, и запоминают.

Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком.

При сложении и вычитании многозначных чисел в основе действий учащихся лежит алгоритм сложения, и, соответственно, вычитания [52, С.176]

Рассмотрим теоретические основы выполнения письменного сложения и вычитания.

Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе.

Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами:

Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок:

На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые:

Согласно свойству ассоциативности произведем группировку:

Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102 , а во второй - 10 . Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения:

Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения:

Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579.

Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты:

- способ записи чисел в десятичной системе счисления;

- свойства коммутативности и ассоциативности сложения;

- дистрибутивность умножения относительно сложения;

- таблица сложения однозначных чисел.

Не трудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748+436.

Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами:

Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду:

Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7+4, 8+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде

Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду:

Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде, получаем:

Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184.

Следовательно, 748+436=1184

Выведем алгоритм письменного сложения многозначных чисел в общем виде:

1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг за другом.

2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков).

3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде: aо+ bо = 1·10 + со, где со -- однозначное число;

записывают со в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков.

4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой» [52, С. 177-179]

Алгоритм вычитания.

Вычитание однозначного числа b из однозначного числа a, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел [52, С. 180]

Если же числа a и b многозначные и b < a , то смысл действия вычитания остается тем же , что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде:

Чтобы вычесть из числа сумму , достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2Ч102 вычтем из слагаемого 4Ч102 , число 3Ч10 - из слагаемого 8Ч10 , а число 1 -из слагаемого 5, тогда:

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид:

(4 - 2 )Ч+ (8 - 3)Ч10 + (5--1)

Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности находим по таблице сложения и получаем выражение: , которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 - 231 = 254. Выражение задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

- способе записи числа в десятичной системе счисления;

- правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

- свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

- таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде:

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать - тогда будем иметь выражение:

Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение

Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434 [52, С. 180-182].

Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления.

1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом.

2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду.

3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е b0 > a0 , а цифра десятков отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + a0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду.

4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем во из 10 + a0 , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду.

5. В следующем разряде повторяем описанный процесс.

6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого [24, С. 119-121].

Безусловно, младшие школьники не могут усвоить алгоритмы письменного сложения и вычитания в общем виде. Но учителю х знать необходимо. Это позволит ему:

a) при ознакомлении учащихся с алгоритмом правильно организовать подготовительную работу;

b) управлять деятельностью школьников, направленной на усвоение алгоритма;

c) в упражнениях на закрепление алгоритма учитывать все возможности его использования.

Деятельность учащихся, направленная на формирование навыков письменного сложения и вычитания, может быть организована по-разному. Например, в учебнике Математики под редакцией М.И. Моро и т.д. (издания до 1987 г.) учащиеся знакомятся с приемами письменного сложения и вычитания в концентре «Тысяча», а в учебниках, начавших издаваться после 1987 г., им показывали, как складывать и вычитать «в столбик» уже двузначные числа. Для этой цели использовался образец действий.

Например,

Объясни решение примера:

49+23=49+(20+3)=69+3=72.

Решение можно записать в столбик.

Объяснение:

1. Пишу…

2. Складываю единицы: 9+3=12. 12- это 1 дес. и 2 ед.: пишу под единицами2, а 1 дес. запоминаю и прибавляю к десяткам.

3. Складываю десятки: 4+2=6; 6 6 да еще 1, получится 7. Пишу 7 под десятками.

4. Читаю ответ: сумма равна 72.

Аналогичный комментарий дан к записи вычитания «в столбик». Введение письменного сложения и вычитания двузначных чисел было по-разному воспринято учителями. Одни считали, что выполнение действий «в столбик» окажет негативное влияние на формирование навыков устных вычислений. Другие отнеслись к этому положительно, так как при устном сложении и вычитании двузначных чисел с переходом через разряд учащимся приходится пользоваться приемами вычислений, содержащих большое количество операций. Это требует напряжения памяти и внимания, из-за чего не все могут справиться с вычислительной задачей. В случае же письменного сложения алгоритмическое предписание не имеет четкую и краткую форму, а значит, более доступную детям. Вряд ли можно согласиться с точкой зрения тех учителей, которые считают, что запись сложения и вычитания «в столбик» оказывает негативное влияние на формирование вычислительных навыков, так как при выполнении письменных вычислений учащиеся постоянно используют навыки сложения (вычитания) в пределах 10 и 20.

Поэтому проблема не в том, когда познакомить школьников с алгоритмом письменного сложения и вычитания, а в том, как продуктивнее организовать их деятельность, направленную на усвоение алгоритма [24, С. 122].

Усвоение письменных приемов сложения и вычитания в пределах 1000 является условием успешного применения их к числам любой величины. Сначала изучают письменные приемы сложения, а затем вычитания. Подготовительную работу к изучению темы начинают еще при изучении нумерации в концентре «Тысяча»: повторяют устные приемы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются, сложение и вычитание разрядных чисел с пояснениями (3 сот. 5 дес. +4 сот. 7 дес. = 7 сот. 12 дес. = 8 сот. 2 дес.). Рассмотрение случаев письменного сложения и вычитания строится по принципу «от простого к сложному». Сначала алгоритм сложения применяется для случаев сложения без перехода через разряд:

+ 34

+ 534

+ 320

53

253

450

Затем рассматриваются случаи, когда при сложении разрядных единиц получается число, равное 10 единицам, или при сложении разрядных десятков - число, равное 10 десяткам:

+ 264

+ 264

+ 446

542

305

160

Затем случаи с переходом через разряд, через 2 разряда. Например:

+ 237

+ 453

+ 529

526

341

299

Аналогичный принцип соблюдается при использовании алгоритма вычитания. Например:

-- 426

-- 540

-- 542

-- 909

-- 512

246

126

126

714

126

Приемы письменного сложения и вычитания многозначных чисел изучаются одновременно. Подготовительную работу начинают еще при изучении нумерации многозначных чисел: повторяют устные приемы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются (8 400+600, 9 800-700, 2 000-1700, 740 000-160 000 и т.п.); повторяют письменные приемы сложения и вычитания трехзначных чисел с пояснениями (6 сот. + 7 сот. = 13 сот. = 1 тыс. 3 сот.) [24, С. 12].

При ознакомлении с письменным сложением и вычитанием многозначных чисел учащиеся решают примеры, где каждый последующий включает в себя предыдущий, например:

+ 752

+ 4752

+ 54752

-- 837

-- 6837

-- 76837

-- 376837

246

3246

43246

425

2425

52425

152425

После решения таких примеров учащиеся делают вывод, что письменное сложение и вычитание многозначных чисел выполняют так же, как и письменное сложение и вычитание трехзначных чисел.

Далее случаи сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью, постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержатся нули; изучается сложение и вычитание именованных чисел. Знакомясь с новыми случаями, дети сначала дают подробные пояснения вычислений. После того, как дети усвоят прием вычисления, переходят к сокращенным пояснениям решения. Краткие пояснения способствуют выработке навыков быстрых вычислений [4, С. 78-79].

Необходимо уделить внимание случаям вычитания, в которых последовательное раздробление высшего разряда выполняется неоднократно.

400 000

205 708

В данном случае, ученик будет рассуждать так: из нуля единиц не можем вычесть 8 единиц. Берем 1 сотню (точку над сотнями) и раздробляем сотню в десятки. В 1 сотне 10 десятков, берем из 10 десятков 1 десяток. Раздробляем десяток в единицы (10 единиц). Из 10 единиц вычитаем 8, получается 2 единицы. Из 9 десятков вычитаем 0 десятков, получается 9 десятков. Из нуля сотен не можем вычесть 7 сотен. Берем 1 сотню тысяч, раздробляем ее в десятки тысяч, получаем 10 десятков тысяч, из них берем 1 десяток тысяч и раздробляем его в единицы тысяч и т.д.

Позднее приводим краткое сокращенное пояснение: берем 1 сотню, из 10 вычитаем 8 получится 2; из 9 вычитаем ноль, получится 9; берем 1 сотню тысяч, из 10 вычитаем 7, получится 3; из 9 вычтем 5, получится 4; из 9 вычтем 0, получится 9; из 3 вычтем 2, получится 1; разность 194 392.

Помимо упражнений, данных в учебнике, необходимо проводить подготовительную работу. Содержание ее может быть представлено упражнениями вида:

1. Отсчитайте от сотни палочек одну палочку, две палочки.

2. Замените сотню десятками и единицами .

3. Уменьшите 100, 300, 700 на 1, на 2, на 3.

4. Какое число предшествует при счете числу 200, числу 700?

5. Замените 1000 сотнями и десятками; сотнями, десятками и единицами.

6. Замените десяток тысяч тысячами и сотнями, тысячами, сотнями и десятками; тысячами, сотнями, десятками и единицами.

7. Замените сотню тысяч десятками тысяч, тысячами и сотнями.

8. Какое число предшествует при счете числам 7000, 20000, 500000?

9. Уменьшите на 5 единиц 6000, 40000, 600000.

10. Вычислите:

а) 1000 - 700

б) 100000 - 3

в) 10000 - 20 1000 - 70 100000 - 30 10000 - 200

г) 1000 - 7 100000 - 300 10000 - 2

д) 100000 - 3000

Наиболее трудные случаи вычитания, такие как:

700 - 261 , 70000 - 3257, 700000 - 302007, 701006 - 32057, и т.д. изучаются в 4-ом классе. Этим объясняется целесообразность продолжения и углубления подготовительной работы, начатой в 3-ем классе. В качестве наглядной основы используем счеты.

Для примера покажем один из вариантов выполнения задания из учебника математики, в котором требуется отложить на счетах число 100 тысяч и определить, какое число непосредственно предшествует ему при счете. Здесь уместно сочетать наблюдения учащихся за работой учителя на демонстрационных счетах с их практической работой на индивидуальных.

Предлагаем отложить число 100 тысяч на счетах (на шестой проволоке счетов появляется одна косточка). Вспоминаем, как найти число, непосредственно предшествующее какому-нибудь числу при счете (отсчитать от него единицу). Уточняем, на какой проволоке счетов откладываются единицы (на первой). Задаем вопрос, как с шестой проволоки попасть на первую, чтобы отсчитать единицу. При затруднении предлагаем учащимся спускаться постепенно с проволоки на проволоку. Чтобы спуститься с шестой проволоки на пятую, заменяем 100 тысяч, т.е. 1 сотню тысяч на 10 десятков тысяч, и 10 косточек откладываем на пятой проволоке.

Из десятков тысяч 9 тысяч (т.е. 9 косточек) оставляем, а 1 десяток тысяч (т.е. одну косточку) заменяем десятью единицами тысяч и откладываем десять косточек на четвертой проволоке. Продолжая аналогично рассуждать и откладывать косточки на счетах, мы получаем на первой проволоке 10 косточек (10 единиц). Обращаем внимание на то, что 1 сотню тысяч мы заменили на 9 десятков тысяч 9 сотен 9 десятков и 10 единиц. Отсчитываем 1 единицу (сбрасываем с первой проволоки счетов одну косточку), остается 9. Теперь читаем число, которое отложилось на счетах: девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять. (999999).


Подобные документы

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.