Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников

Размещено на http://www.allbest.ru//

Размещено на http://www.allbest.ru//

Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников

Введение

устный вычисление школьник нестандартный

Знания, приобретенные на уроках математики в начальных классах, должны обеспечить надежную опору как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их развития, так как они используются при последующем изучении математики в средних и старших классах. Начальные математические знания ученики младших классов применяют в своей будничной жизни, например, в школе при изучении других предметов, таких как технология, физическая культура, окружающий мир. Математические знания применяются «для описания и объяснения окружающих предметов, процессов, явлений, а также оценки их количественных и качественных отношений» [47, с.11]. Младшие школьники получают первоначальные знания о натуральном числе, о нуле, об особенностях натурального ряда чисел, учатся записывать и читать натуральные числа в десятичной системе счисления, «выполнять устно и письменно арифметический действия с числами и числовыми выражениями (в пределах миллиона): сложение, вычитание, умножение, деление, деление с остатком, учатся решать текстовые задачи, действовать в соответствии с алгоритмом и строить простейшие алгоритмы, исследовать, распознавать и изображать геометрические фигуры, работать с таблицами, схемами, графиками и диаграммами, цепочками, совокупностями, представлять, анализировать и интерпретировать данные» [47, с.11].

Одна из важнейших задач в обучении младших школьников математике в условиях реализации ФГОС НОО представляет собой формирование у учащихся «понятия о числе и арифметических действиях» [38, с.46-47], «формирование сознательных вычислительных навыков» [18, с.42], основой которых является прочное и осознанное усвоение устных и письменных вычислений. Но в начальной школе «учащиеся должны не только сознательно усвоить приемы устных вычислений, но и приобрести твердые вычислительный навыки» [2, с.163]. «Выработка навыков устного счета занимает особое место в начальной школе и является одной из главных задач обучения математике младших школьников. Именно в первые годы обучения закладываются основные приемы устных вычислений, которые активизируют мыслительную деятельность учеников, развивают у них память, речь, воображение, способность воспринимать на слух сказанное, повышают внимание и быстроту реакции» [44, с.23.].

«Овладение навыками устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение. Они помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий» [2, с.163], которые занимают особое место в начальном курсе математики. Они выявляют конкретный смысл «арифметических действий, свойства действий, связь между результатами и компонентами, изменение результатов действий в зависимости от изменений одного из компонентов» [2, с.163].

Устные вычисления способствуют не только математическому развитию детей, но и развивают «логическое и алгоритмическое мышление» [47, с.19], творческие начала и волевые качества, способствуют «развитию математической речи учащихся» [47, с.19], «их сообразительности, математической зоркости и наблюдательности» [2, с.164]. Используя при устных вычислениях сравнительно небольшие числа, учащиеся лучше усваивают состав чисел, быстрее схватывают зависимость между «результатами и компонентами действий», «свойства» и законы действий [2, с.163]. Устный счет имеет широкое практическое значение в обычной будничной жизни: он развивает смышленость детей, вызывая у них необходимость подбирать приемы вычислений, удобные для данного конкретного случая, кроме того, устный счет «помогает лучшему усвоению приемов письменных вычислений, так как последние включают в себя элементы устных вычислений» [2, с.163]. «Быстрота и правильность устных вычислений особенно необходимы, когда письменно выполнить действия не представляется возможным» [2, с.164].

«Рассмотрением вопроса о влиянии устного счета на повышение умственной деятельности на уроках математики занимались такие деятели, как О.П. Зайцева, А.Я. Бурлыга, М.И. Волошина, Т. Иванова, Г.В. Бельтюкова, К.А. Зимовец и т.д.» [44, с.23].

Значимость формирования устных вычислений у младших школьников и на сегодняшний день является весьма актуальным. «Внимание к устным арифметическим вычислениям является традиционным для образовательной школы. В связи с этим значительная часть всех заданий в существующих

учебниках математики направлена на формирование устных вычислительных умений и навыков» [45, с.25].

Проблемой формирования вычислительных навыков у учащихся начальных классов занимались: М.А. Бантова, М.И. Моро, С.В. Степанова и другие» [45, с.25].

По мнению Е.Ю. Лавлинсковой, «причина трудностей учащихся при устных вычислениях кроется в том, что на сегодняшний момент не прослеживается четкой системы работы по развитию вычислительных навыков. Ведь именно в начальной школе у детей должны быть сформированы прочные, осознанные вычислительные навыки» [23, с.176].

В современной школе на уроках математики младшим школьникам важно научиться не только правильно, но и быстро выполнять устные вычисления как для продолжающейся работы с числами, так и для практической значимости при дальнейшем обучении. Необходимость овладения учащихся прочными и осознанными устными вычислительными навыками обосновывает важность и актуальность выбранной темы выпускной квалификационной работы «Особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников».

Объект исследования: процесс обучения математике в начальной школе.

Предмет исследования: особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников.

Цель исследования: выявить особенности формирования устных приемов вычислений у младших школьников.

Гипотеза исследования: систематическое целенаправленное проведение устного счета на уроках математики, включающего в себя задания в зрительной, слуховой и зрительно-слуховой форме, использование дидактических игр и разнообразных нестандартных заданий, требующих внимания, смекалки, логического мышления и памяти будут способствовать эффективному формированию вычислительных навыков у младших школьников.

Цель и гипотеза работы предполагают следующие задачи исследования:

Изучить и проанализировать научно-методическую литературу по проблеме исследования.

Раскрыть определение понятий «устные вычисления»,

«вычислительный навык», «приемы и методы навыков формирования устных вычислений».

Определить формы и виды устных вычислений, на основе анализа школьных учебников и методической литературы.

Проанализировать и обработать данные экспериментальной работы.

При написании данной работы нами применялись следующие методы исследования:

Теоретические (теоретический анализ и обобщение научной, педагогической литературы по проблеме исследования).

Эмпирические (педагогический эксперимент).

Работа с учащимися (беседа, наблюдение за деятельностью, сравнение и тестирование)

Коллективная работа с учащимися

Анализ результатов экспериментального исследования.

Исследование проводилось на базе школы МБОУ Гимназия №1 г.

Краснознаменск класс 2В.

ГЛАВА 1. Теоретические основы формирования устных приемов вычислений у младших школьников

1.1 История развития устных приемов вычислений

Математика была, остается и всегда будет одним из основных предметов в школе, потому что получаемые математические знания в процессе обучения в школе необходимы всем людям в обыденной жизни. Редко, когда ребенок, приходя в первый класс, знает, в какой институт он поступит, кем он хочет работать в будущем после окончания школы, но каждый понимает, что математика необходима для решения возникающих житейских ситуаций: заплатить за выбранный товар и посчитать сдачу в магазине, набрать номер маминого телефона, узнать который час на часах и т.д. К тому же, теперь всем ученикам обязательно нужно сдавать ОГЭ по математике в 9 классе и как минимум базовый уровень ЕГЭ в 11-м классе, а для этого, начиная с первого класса, необходимо полноценно и качественно изучать математику, но первоочередная задача - нужно ребенку научиться считать. Ни промышленные исследования и эксперименты, ни «технический прорыв», ни достижения человечества были неисполнимы без использования математики. «Без счета, без умения правильно складывать, вычитать, умножать и делить числа немыслимо развитие человеческого общества. Четыре арифметических действия, правила устных и письменных вычислений изучаются, начиная с начальных классов. Все эти правила вычислений не были выдуманы или открыты одним человеком. Арифметика возникла из повседневной практики, из жизненных нужд людей в их трудовой деятельности» [7, с.11]. Математика как наука подверглась многим изменениям в своей длительной эволюции, пока не стала такой, какой мы изучаем ее теперь. «В основе развития математики, как и всякой другой науки, лежат запросы практической деятельности человека» [11, с.5].

У древнейших народов сначала зародились отдельные математические знания, появляющиеся из постоянных наблюдений за явлениями природы и из обыденной их трудовой деятельности. Развитие счета зародилось с установления связи между количеством предметов и количеством пальцев на руках и ногах. «Еще в самые отдаленные времена людям приходилось считать различные предметы, с которыми они встречались в повседневной жизни. Было время, когда человек умел считать только до двух. Число «два» связывалось с органами зрения и слуха и вообще с конкретной парой предметов. «Глаза» у индийцев, «Крылья» у тибетцев означало также «Два». Если предметов было больше двух, то первобытный человек говорил просто «много». Лишь постепенно человек научился считать до трех, затем до пяти, десяти» [7, с.11].

В жизни людей зарождается развитие производства и соответственно как следствие этого - торговля. «Счет распространяется на множества, содержащие все большее и большее число предметов (элементов). Люди в своей практической деятельности не могли обходиться без измерения расстояний, площадей земельных участков, вместимости сосудов и т.п. Потребность в измерениях привела к возникновению и развитию как приемов измерений, так и техники счета и правил действия над числами» [7, с.11-12].

Всем нам известно, что «счет ведется десятками: десять единиц образуют один десяток. Десять десятков - одну сотню и т.д., иными словами: десять единиц первого разряда образуют одну единицу второго разряда, десять единиц второго разряда - одну единицу третьего разряда и т.д.» [7, с.12].

«Такой способ счета, группами в десять, которым пользуемся мы, называется десятичной системой счисления или десятичной нумерацией. Число десять называется основанием десятичной системы счисления» [7, с.12].

Древние люди на первых порах учились считать с помощью пальцев рук, так же как мы обучаем счету маленьких детей. «Поныне говорят: «Перечесть по пальцам». Отсюда - десятичная или десятеричная система исчисления» [7, с.12]. Десять пальцев на руке стали изначальным средством счета для первобытных людей, позже они стали применять камешки, кости, зарубки на камнях для удобства при счете.

Но были и такие народы, «которые пользовались при счете только пятью пальцами одной руки, считали пяткбми: у них выработалась пятеричная система счисления, в которой основой служит число пять. Число «шесть», например, называлось «пять - один» и т.д. В скандинавских странах сохранились следы пятеричной системы» [7, с.12]. Другие древние люди нашли применение при счете не только пальцам рук, но и пальцам ног. Отсюда возникла двадцатеричная система. «То, что числовая последовательность была создана с помощью пальцев ног и рук, доказывает следующее рассуждение. Обычай присваивать числовые значения камням или частям тела дает лишь неразрывное, недифференцированное количество, то количество пальцев рук и ног уже классифицировано и сгруппировано природой: 5 пальцев составляют руку, 10 - две руки, 20 - руки плюс ноги. Вполне естественно, что и в языке прослеживаются те же остановки: пять - «1 рука», десять - «2 руки», двадцать «один человек»» [29, с.52]. «Из этого вытекает неожиданное очень важное следствие. Теперь, когда дорога проложена, числовая последовательность может развиваться дальше, после слов: «Теперь, когда мы сосчитали всего человека» - вторая серия подсчётов может идти точно таким же путем, а за ней третья, четвертая и т.д. Новый уровень надстраивается поверх предыдущего - такая классификация позволяет числовой последовательности развиваться в предложенном порядке», то есть 20+20=40, и т. д. [29, с.52]. Следы двадцатеричной системы сохранились и до наших времен, например, «в современном грузинским языке и во французском языке, в котором вместо «восьмидесяти» говорят «четырежды двадцать»» [7, с.13].

«Другой весьма распространённый в древности вариант - счёт четвёрками пальцев, при этом счёте большой палец не засчитывался. Так, в древнерусском языке все пальцы, кроме большого, назывались словом «перст», а большой - «палец», в английском языке до настоящего времени четыре «счётных» пальца именуются словом «fingers», а большой палец - «thumb». В этом исчислении пальцы двух рук составляют основу древней восьмеричной системы счисления» [19].

Очень интересный способ счета бытовал с помощью фаланг пальцев: «на четырёх пальцах одной руки 12 фаланг если их считать пятым, большим пальцем, то есть прикосновение кончика большого пальца к каждой фаланге принимать за единицу. Эта особенность повлияла на появление двенадцатеричной и шестидесятеричной систем счисления (во втором случае, большой палец несколько раз подряд касался всех фаланг и счёт продолжался дальше, но после каждого нового цикла касаний загибался один палец на второй руке» [36]. «Древние вавилоняне пользовались шестидесятеричной системой счисления» [7, с.13].

Старинный исконно русский способ счета: «счёт на пальцах до десяти начинается с загибания мизинца левой руки и последовательно ведётся до загнутого большого пальца правой руки. Но когда требуется наглядно показать количество, рука сжимается в кулак и сначала разжимается указательный палец, затем средний, безымянный, мизинец и большой» [19].

Но ведь оказывается с помощью пальцев рук не только складывали и отнимали. На Руси с их помощью еще и умножали. «Старинный русский способ умножения на пальцах однозначных чисел от 6 до 9 издревле применялся купцами как вспомогательный при устном счёте. Первоначально пальцы обеих рук сжимали в кулаки. Затем на одной руке разгибали столько пальцев, на сколько первый множитель превосходит число 5, а на второй руке делали то же самое для второго множителя. Суммарное число вытянутых пальцев умножалось на 10, потом перемножалось число загнутых пальцев одной руки на число загнутых пальцев другой. Два полученных результата складывались» [19].

Другие способы счета, применявшихся в Древней Руси:

счёт дюжинами (двенадцатеричная система) активно практиковали торговцы, особенно в Новгородской республике в XII--XV веках. «Счет дюжинами вёлся большим пальцем по фалангам остальных четырёх пальцев правой руки и начинался от нижней фаланги указательного пальца, а заканчивался верхней фалангой мизинца. Другой вариант - от верхней фаланги мизинца левой руки до нижней фаланги указательного пальца. Если число превышало 12, то при достижении 12 считающий загибал один палец на противоположной руке. По достижении числа 60 (пятёрки дюжин) все пальцы руки, фиксировавшей полные дюжины, оказывались сжатыми в кулак. Дюжинами до начала XX века в России было принято считать носовые платки, пишущие перья, карандаши, школьные тетрадки, набор из

12 предметов по традиции составляли ложки, вилки, ножи, а посудные сервизы и комплекты стульев и кресел рассчитывались на 12 персон» [19].

счёт сороками (сороковицами). К нему прибегали в Сибири охотники за пушным зверем. Они «вели счет «сорочками», то есть укомплектованными в мешки шкурками (как правило, 40 собольих хвостов или 40 беличьих шкурок), которые полностью уходили на пошив богатой шубы («сорочки»)

русского боярина XVI века. Так, в таможенной грамоте 1586 года «сороками» были посчитаны шкурки соболей и куниц, посланные в качестве платы за ведение войны с турками от царя Фёдора Ивановича австрийскому императору Рудольфу. Методика счёта была схожа со «счётом дюжинами», только вместо подсчёта фаланг считали суставы пальцев (переходы между фалангами), которых было всего 8. Если число превышало 8, то при достижении 8 считающий загибал один палец на противоположной руке. По достижении числа 40 все пальцы руки, фиксировавшей полные осьмушки, оказывались сжатыми в кулак. Следы пальцевого «счёта сороками» сохранились в народных суевериях. Например, несчастливым для охотника считался сорок первый медведь и т. д. Также словом «сороконожка» традиционно называлась любая многоножка. Выражение «сорок сороков» или «тьма» для древнерусского крестьянина символизировало некое число, превосходящее всякое воображение и собственно математические познания самого земледельца» [19].

«Формы и пути развития математических знаний у различных народов весьма разнообразны. Однако при своем своеобразии путей развития общим для всех народов является то, что все основные понятия математики … возникли из практики и прошли длинный путь совершенствования» [39, с.17]. В настоящее время почти все народы мира используют десятичную систему счисления.

1.2 Психолого-педагогические особенности формирования навыков устных приемов вычислений у младших школьников

Ведущая деятельность дошкольника - игровая. С началом учебы, дошкольники становятся учениками и, соответственно, их ведущая деятельность меняется с игровой на учебную. В связи с этим, в школе детям нужно постоянно приобретать и усваивать новые знания и умения - что является трудностью, с которой сталкиваются младшие школьники. Одна из важных проблем в современной педагогике - постоянное развитие и дорабатывание процесса обучения младших школьников. При обучении у детей возникают различные трудности. Развитие зарубежной и российской

педагогики и психологии неразрывно завязано на исследовании таких случаев. Например, авторы Г.Ф. Кумарина, С.Г. Шевченко считают, дети уже в начальных классах оказываются не в состоянии за отведенное время и в необходимом объеме усвоить программу [20], [53]. «Дезадаптационные проблемы, осложняющие развитие и социализацию детей, объектом научного внимания стали сравнительно недавно. История теоретического знания и научно-практической работы по их изучению, профилактике и коррекции насчитывает чуть более столетия. Примечательно, что на первых порах этой работы ее инициаторами были в основном медики и внимание было сосредоточено на тех проблемах, которые осложняют социализацию индивидов, имеющих выразительные аномалии сенсомоторного и интеллектуального развития (глухота, слепота, тяжелые нарушения двигательной и умственной сферы). Однако постепенно, по мере развития общественного образования, методологического и методического научного инструментария, а также гуманистического самосознания человечества и его экономических возможностей внимание специалистов стало обращаться также и к проблемам, возникающим в процессе воспитания и обучения у детей, не отягощенных явно выраженными отклонениями в развитии» [20, с.5]. Получается, что современные дети ощущают трудности в социальной и школьной адаптации, демонстрируя неуспешность в обучении, не имея явных аномалий и патологий в своем развитии.

Причинами этих появляющихся трудностей в учебной деятельности у младших школьников занимались известные педагоги и психологи, например: М.А. Данилов, В.И. Зыкова, Н.А. Менчинская, Т.А. Власова, М.С. Певзнер, А.Н. Леонтьев, А.А. Смирнов, Л.С. Славина, Ю.К. Бабанский [9], [16], [33], [1], [5], [24], [42], [40] [10]. Они выявили следующие трудности в учебной деятельности: неподготовленность к обучению в школе; социальная запущенность; педагогическая запущенность; физическая ослабленность ребенка из-за длительных заболеваний в дошкольный период и в период обучения в 1 классе; логопедические дефекты речи, не исправленные в дошкольном возрасте; не обнаруженные вовремя недостатки зрения и слуха; умственная отсталость; негативные взаимоотношения с одноклассниками и

учителем. Все эти трудности проявляются в негативном воздействии на успешную учебную деятельность ребенка в начальных классах.

Трудности, оказывающие негативное воздействие на учебную деятельность в младших классах, можно разделить на три группы: биогенные, социогенные и психогенные. Затруднения в учебной деятельности соответственно постепенно являются причиной ослабления познавательных способностей детей, что значительно сокращает эффективность обучения. Ю.З. Гильбух представил такие типы отклонений: общее отставание в обучении, специфическое отставание по языку, специфическое отставание по математике, отклонение от индивидуального оптимума учебной деятельности [6]. Оказывается, помимо общих трудностей в учении младших школьников существуют и специфические - трудности усвоения математического материала, приводящие к отставанию по математике. Рассмотрим их особенности.

Такие авторы, как Н.Б. Истомина, Н.П. Локалова, А.Р. Лурия, Г.Ф. Кумарина, Н.А. Менчинская, Л.С. Цветкова занимались проблемами обучения в математике [18], [25], [28], [27], [20], [33]. Следующие затруднения младших школьников при обучении математике были выявлены в результате анализа названных литературных источников:

«Отсутствие устойчивых навыков счета» [25], дискалькулия.

«Дискалькулия - это нарушение навыка счета. Дискалькулия может наблюдаться как изолированное расстройство или входить в структуру других нарушений школьных навыков. Проявляется она в виде нарушения осмысления структуры числа, затруднений операций с числами, особенно с сложными числами и с переходом через десяток» [22].

«Несформированность понятия «рабочая строка», зеркальное написание цифр» [25].

Неспособность решать арифметические задачи [26], [27].

«Непонимание отношений между смежными числами» [25].

Неспособность перехода из конкретного плана в абстрактный [25], [20] (Несформированность операции абстрагирования). Трудности при изучении числового ряда и его свойств, смысла счетного действия.

«Интеллектуальная пассивность» [41], то есть учебную задачу школьники усваивают только тогда, когда она переведена в практический план.

Три группы трудностей, с которыми сталкиваются младшие школьники при изучении учебного материала по математике [25].

Первая группа трудностей. Несформированность двигательных навыков письма и чтения. Качество процесса письма предопределяется уровнем развития психомоторной сферы ученика [25]:

нарушение зрительно-двигательной координации [25];

несформированность мышечных усилий руки» [25];

несформированность мелкой моторики [25].

У детей с нарушением развития психомоторной сферы наблюдаются трудности в написании букв и цифр, например [25]:

непостоянность размеров букв и цифр (по высоте, ширине букв и цифр) [25];

непостоянность наклона письма [25];

несформированность плавности и связности в соединениях букв,

«печатание» букв [25];

неаккуратный, неразборчивый, небрежный почерк [25];

низкая скорость письма [25];

дрожание руки при письме, выражающееся в дополнительных штрихах, дрожащих линиях [25];

слишком сильный (слабый) нажим на ручку при письме [25].

Вторая группа трудностей. Связана с особенностями формирования когнитивного компонента навыков письма, чтения и вычислительных умений [25]. Трудности, обусловленные данной причиной:

перестановка местами, замена цифр и букв, пропуски цифр в примерах, букв при письме и чтении, недописывание окончаний слов [25];

неверное (ошибочное) прочтение похожих по начертанию букв [25];

трудности при прочтении слогов, слов, соединении букв в слоги, слогов в слова [25];

несформированность прочных навыков счет» [25];

незнание числового ряда, смежных чисел и отношений между ними [25];

несформированность операции абстрагирования, перехода из конкретного плана в абстрактный [25];

непонимание алгоритмов решений задач [25];

«тугодумость» [25].

В основе этой группы трудностей находятся психологические причины:

«Несформированность объемных представлений.

Учащиеся, у которых объемные и пространственные представления не сформированы с большим трудом овладевают конфигурацией цифр и букв, так как они не могут понять соотношение частей этих цифр и букв, их расположение на строке, между линиями строк, «в клеточках». У таких учащихся наблюдается «зеркальное» написание букв и цифр (например, вместо цифры «3» пишут «е» и др.). У школьников, испытывающих трудности с объемным представлением появляются ошибки на уроках математики: проблемы в счете, ошибки при выполнении арифметических действий с переходом через десяток, несоблюдение рабочей строки, перестановка цифр местами при списывании цифровой последовательности (например, 234 вместо 432). У учеников появляются ошибки, вызванные несформированностью у них однонаправленности прочитывания информации слева направо, сверху вниз. Также возникают проблемы при усвоении математики связаны с непониманием числового ряда и его свойств, смежных чисел и отношений между ними в основе которого лежит несформированность объемных и пространственных представлений [25].

Итак, можно сделать вывод, что младшие школьники, у которых не сформировано понятие числового ряда, имеют сложности с определением места числа в натуральном ряду, затрудняются со счетом в обратном порядке. Если младший школьник не овладел в должной степени числовым рядом или уровень овладения находится на низком уровне, то этот ребенок будет испытывать большие трудности при дальнейшем обучении математике.

«Недостатки в развитии процессов звукобуквенного анализа и синтеза и фонетико-фонематического восприятия» [25].

Недостаточное развитие познавательных процессов [25].

Неполноценность развития мыслительной деятельности у младших школьников приводит к тому, что они затрудняются в формулировании правила на основе анализа нескольких примеров, плохо запоминают правила, схемы рассуждения. В основе этих трудностей - неполноценность обобщения. Недостаточность операции абстрагирования выражается в затруднениях при переходе из конкретного в абстрактный план действия. При изучении математики необходимо умение сравнивать. Слабоуспевающие ученики как правило умеют сравнивать предметы, но не умеют сравнивать математические выражения, не умеют при сравнивании устанавливать взаимнооднозначные со- ответствия. На основе сравнения формируются понятия равенства и неравенства, понятия о геометрических фигурах и др. [25].

Трудности, создаваемые возрастными особенностями мыслительной деятельности младших школьников [25]:

«конкретность мышления», проблема понимания математического смысла задачи в связи со сконцентрированностью на ее сюжетной стороне [25];

«синкретичность мышления», недостаток необходимого анализа данных, приводящий к ошибочным решениям задач [25];

«недостаточная обобщенность мышления», трудности при образовании поднятий, которые базируются на выделении существенных признаков в учебном материале [25];

«однолинейность мышления», неумение видеть и удерживать в сознании одновременно разные стороны, признаки одного и того же предмета, приводит к решению задачи только одним способом [25];

«инертность мыслительной деятельности», формирует шаблонное мышление, стереотипность действий, несмотря на изменение условий, что выливается в затруднения при переводе из одной формы в другую, например, из буквенной формы в цифровую [25].

Недостатки в мыслительной деятельности младших школьников, в развитии памяти проявляются в незнании всех цифр, в плохом запоминании алгоритмов выполнения заданий, ограниченной речи, запасе слов, неточных формулировках определений [25].

Третья группа трудностей. Недостатки в формировании регуляторного компонента навыков письма, чтения и вычислительных умений, в основе которых конкретная психологическая причина, состоящая «в несформированности процессов самоконтроля и саморегуляции» приводящие к следующим последствиям [25]:

неспособность видеть свои ошибки [25];

увеличение ошибок к концу работы [25];

не полное выполнение всех требований учителя [25];

проблемы с формированием двигательного навыка письма [25];

низкая скорость письма [25].

Большие трудности, обусловленные их индивидуально-типологическими особенностями, испытывают школьники в учении, вызванные особенностями темперамента (например, медлительные дети, с флегматическим темпераментом): пропуск букв, цифр, недописывание слов и предложений, так как торопится, чтобы не отстать от класса), низкий темп счета [25];

Огромное значение при обучении младших школьников имеет формирование мотивации грядущей учебной деятельности. Для учеников первоочередной задачей при организации мотивации является преодоление страха перед трудной, абстрактной, непонятной для них математической информацией, возникновение у себя уверенности в возможности ее понимания и интереса к обучению математики в целом.

Таблица 1.

«Трудности при обучении математике: психологические причины» [25].

Педагогическая симптоматика трудностей	Психологические и другие причины
Проблемы при счете [25]	Неспособность перехода из конкретного плана действий в абстрактный [25]
	Несформированность внутреннего плана действий [25]
	затруднения в понятиях «больше» и «меньше»[ 25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
	Низкий уровень интеллектуальной деятельности [25]
	Низкая работоспособность [25]
Педагогическая симптоматика трудностей	Психологические и другие причины
Проблемы при выполнении арифметических действий с переходом через десяток [25]	Несформированность пространственных отношений [25]
	Неспособность мыслительной операции «анализ через синтез» [25]
Проблемы при разложении числа на удобные для вычисления части [25]	Низкий уровень развития процессов анализа [25]
	Неспособность мыслительной операции «анализ через синтез» [25]
Проблемы при продолжении числового ряда с заданной позиции [25]	Незнание числового ряда [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
Затруднения при решении арифметиче- ских примеров [25]	Неспособность мыслительной операции «анализ через синтез» [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
	Низкий уровень развития процессов произвольного внимания [25]
Проблемы в назывании компонентов при выполнении арифметиче- ских действий [25]	Низкий уровень развития смысловой памяти [25]
	Несформированность отдифференцированности понятий «сложение», «вычитание», «умножение», «деление» [25]
Проблемы при переводе из словесной формы в цифровую и наоборот [25]	Несформированность ассоциативных связей между словесным обозначением и графической формой чисел [25]
	Низкий уровень знания состава чисел [25]
Непостоянность размеров букв и цифр [25]	Несформированность мелкой моторики [25]
	нарушение зрительно-двигательной координации [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
	Несформированность понятия «рабочая строка»» [25]
Перепутывание действий сложения и вычитания, умножения и деления [25]	Несформированность процессов анализа [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
	Несформированность отдифференцированности понятий «сложение», «вычитание», «умножение», «деление» [25]
««Зеркальное» написание цифр» [25]	Несформированность процессов зрительного анализа [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
Педагогическая симптоматика трудностей	Психологические и другие причины
	Несформированность прочной связи между зрительным и двигательным образами цифр [25]
Перепутывание цифр при списывании цифровой последо- вательности (вместо 321 - 123)» [25]	Низкая сформированность однонаправленности считывания записей слева направо» [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
Выполняемое задание располагается слева от образца [25]	Низкая сформированность процессов зрительного анализа [25]
столбики примеров располагаются в направлении снизу вверх [25]	Несформированность пространственных отношений [25]
	Низкая сформированность процессов зрительного анализа [25]
	Непонимание правила размещения учебного материала в направлении сверху вниз [25]
непонимание отношений между смежными числами [25]	Непонимание числового ряда [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
Трудности при счете в обратном порядке [25]	Непонимание числового ряда [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
Трудности при определении места числа в натуральном ряду [25]	Непонимание числового ряда [25]
	Неспособность мыслительной операции «анализ через синтез» [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
Трудности при записи состава чисел (сотни не располагаются слева от десятков, а единицы - справа) [25]	Непонимание различий понятий «число» и «цифра» [25]
	Несформированность пространственных отношений [25]
	Низкая сформированность процессов зрительного анализа [25]
Затруднения при осуществлении сравнения» [25]	Несформированность обобщенности мыслительной операции сравнения [25]
	Недостаточная гибкость мыслительной деятельности [25]
«Тугодумость» [25]	Несформированность основных мыслительных операций (анализ, синтез и др.) [25]
	Невысокий уровень освоения учебного материала [25]

Из таблицы мы можем видеть зависимость одних математических знаний и умений от других, указывающую, что большинство трудностей являются возникающими пробелами при непонимании материала в процесс изучения, что тормозит дальнейшее понимание математики при изучении и является причиной возникающих трудностей. Весомую роль в предупреждении этих трудностей оказывает вовремя проводимая диагностика математических знаний и умений учащихся. При организации и проведении диагностики требуется четко и конкретно формулировать вопросы и задания, обеспечить достаточное количество времени для обдумывания ответа, позитивно относиться к ответам учеников.

Неуспеваемость младших школьников возможна также из-за неправильных приемов учебной деятельности, в несовершенстве методов преподавания. Опыт работы В.Н. Шаталова, С.Н. Лысенковой подтверждает верность этой точки зрения [28], [52]. Деятельность учителя требует компетентностного подхода: знаний по психологии, педагогике и математике. При обучении математике младших школьников, а также для устранения появляющихся трудностей в обучении педагог должен знать психолого- педагогические особенности развития младшего школьника, уметь создавать проблемные ситуации на уроке, организовывать продуктивную самостоятельную работу, проводить диагностическую работу, а также создавать благоприятный эмоционально-психологический фон при обучении на уроках математике у младших школьников.

1.3 Общая характеристика формирования вычислительных приёмов и навыков у младших школьников

«Формирование вычислительных навыков у младших школьников - одна из основных задач», которая должна быть решена в процессе обучения математики [18, с.42]. Эти навыки должны формироваться осознанно и прочно, потому что на этом «фундаменте» надстраивается весь дальнейший курс школьной математики, учитывающий формирование вычислительных навыков на основе осознанного использования приемов вычислений. Осознанное использование приемов вычислений представляет собой именно тот запас знаний и умений, который используется каждодневно не только на уроках математики, но и в обыденной жизни. Этот запас знаний и умений необходим не только для последующего изучения математики, но и для изучения других учебных дисциплин. Вычисления изо дня в день стимулируют память младших школьников, их внимание, мышление, стремление к целесообразному и удобному формированию деятельности. Поэтому совершенно закономерно вычислительная линия оказалась одной из основных в школьном курсе изучения математики.

При изучении начального курса математики «предусматривается система упражнений, направленных на выработку у учащихся вычислительных навыков. Это тренировочные упражнения различного характера: решение отдельных примеров, заполнение таблиц, подстановка числовых значений букв и нахождение значений полученных выражений и т.п. В формировании навыков предусматривается разная степень их автоматизации: навыки сложения и умножения табличных случаев и обратные по отношению к ним случаю вычитания и деления должны быть доведены до полного автоматизма» [2, с.13].

В начальном курсе математики значительное внимание уделяется вычислительной деятельности школьников, отдавая предпочтение в большей степени устным вычислениям, так как они развивают у ребят память, сообразительность и находчивость, внимание, самостоятельность, математическую зоркость, смекалку.

И.И. Аргинская, М.А. Бантова, В.А. Белошистая, Г.В. Бельтюкова, Н.Б. Истомина, М.И. Моро и другие методисты и учителя ставили перед собой задачу формирования у младших школьников вычислительных умений и навыков.

Вычисления в начальной школе разделяются на устные и письменные. Чтобы охарактеризовать устные и письменные вычисления можно воспользоваться понятиями «умение» и «навык» [18] - так пишет Н.Б. Истомина в своей методике обучения математике в начальных классах.

Что же такое навык? Понятие навык имеет множество определений, самое распространённое: «навык - действие, сформированное путем повторения, характеризующееся высокой степенью освоения и отсутствием поэлементной сознательной регуляции и контроля» [37]. И.Ф. Харламов И.Ф

пишет, что навык - составной элемент умения [49]. «Вычислительный навык - это один из видов учебных навыков, формирующихся в процессе обучения» [32].

Н.Б. Истомина охарактеризовывает «вычислительное умение» как

«развернутое осуществление действия, в котором каждая операция осознаётся и контролируется» [18, с.42]. «В отличие от умения, навыки характеризуются свернутым, автоматизированным выполнением действия, с пропуском вспомогательных операций, когда контроль переносится на конечный результат» [18, с.42].

«Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приемами» по М.А. Бантовой. «Приобрести вычислительные навыки - значит, для каждого случая знать, какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. Вычислительные навыки рассматриваются как один из видов учебных навыков, функционирующих и формирующихся в процессе обучения. Они входят в структуру учебно-познавательной деятельности и существуют в учебных действиях, которые выполняются посредством определенной системы операций» [3].

В методике математики задачи по формированию вычислительных навыков у школьников ставили перед собой многие известные методисты, учителя. Известны исследования А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, А.В. Белошистой, С.Е. Царевой, Т.И. Фаддейчевой и др. [43], [2], [34], [30],

[31], [51], [18], [35], [4], [50], [46].

В исследованиях М.А. Бантовой описаны в основном разработки вычислительных навыков [3], у М.И. Моро - рационализация вычислительных приемов [35], у Т.И. Фаддейчевой - индивидуализация процесса формирования вычислительных навыков [46]. Т.И. Фаддейчевой были разработаны тетради с печатной основой по математике «Учись считать устно» №1 и №2, в которых были разработаны и помещены развивающие упражнения для устного счета, которые формируют вычислительные умения и навыки, развивают логическое мышление. [46].

«Полноценный вычислительный навык характеризуется следующими качествами: правильностью, осознанностью, рациональностью, обобщенностью, автоматизмом и прочностью», как пишет М.А. Бантова [3].

Правильность - ребенок должен выбрать правильную операцию и осуществить ее безошибочно [3] [48].

Осознанность - ребенок может объяснить свое решение в любом месте операции. Когда вычислительный навык сформирован, то объяснение кратко.

Рациональность - ребенок выбирает из возможных вариантов операций, выполнение той операции, которая легче и быстрее других. Это качество навыка применяется только в том случае, когда задача имеет несколько вариантов решения [3] [48].

Обобщенность - ребенок переносит прием вычисления как шаблон на новые случаи [3] [48].

Автоматизм (свернутость) - ребенок может быстро свернуть операцию и выполнить ее. Но при этом он может пояснить выбор системы операций [3] [48].

Прочность - сформированные вычислительные навыки сохраняются очень долгое время [3] [48].

О том насколько и как сформированы любые умственные действия можно говорить только тогда, когда ребенок сам, без вмешательства со стороны взрослого, выполняет последовательно все операции и «приходит» к верному решению.

«Значимость формирования устных вычислительных умений и навыков на сегодняшний день является высокой, так как формирование и развитие собственной вычислительной деятельности ребенка благотворно действует на развитие внутреннего плана действия, гибкости и рациональности мышления, а также способствует формированию самоконтроля» по мнению А.В. Белошистой [4].

Формирование вычислительных умений и навыков - это сложный процесс, который должен основываться на понимании младшими школьниками чисел и арифметических действий с этими числами. И это «одна из основных задач начального курса математики» - отмечает Н.Б. Истомина [18, с.42].

«Вычислительные умения - это развернутое осуществление действия, в

котором каждая операция осознается и контролируется» [18, с.42]. Усвоение навыков устных вычислений имеет большое образовательное, воспитательное и практическое значение [2, с.163]:

«образовательное значение: устные вычисления помогают усвоить многие вопросы теории арифметических действий и лучше понять письменные приемы» [2, с.163-164];

«воспитательное значение: устные вычисления способствуют развитию мышления, памяти, внимания, речи, математической зоркости, наблюдательности и сообразительности» [2, с.163-164];

«практическое значение: быстрота и правильность вычислений необходимы в жизни, особенно когда письменно выполнить действия не представляется возможным» [2, с. 163-164].

М.А. Бантова определила «вычислительный навык как высокую степень овладения вычислительными приемами» [3]. Н.Б Истомина пишет о том, что «вычислительное умение предполагает усвоение вычислительного приема» [26]. А что же такое вычислительный прием? Вычислительный приём - «это система операций, последовательное выполнение которых приводит к результату действия» [3]. «Любой вычислительный прием можно представить в виде последовательности операций, выполнение каждой из которых связано с определенным математическим понятием или свойством» [18, с.42].

«В методике математики различают устные и письменные приемы вычисления. К устным приемам относят все приемы для случаев вычислений в пределах 100, а также сводящихся к ним приемы вычислений для случаев за пределами 100. К письменным приемам относят приемы для всех других случаев вычислений над числами большими 100» [2, с.163].

«Последовательность рассмотрения вычислительных приемов и формирование вычислительных умений и навыков вычислений определяется целями обучения и логикой построения курса» [18].

«Навыки характеризуются свернутым, в значительной мере автоматизированным выполнением действия, с пропуском промежуточных операций, когда контроль переносится на конечный результат» [18, с.42]. Весь курс изучения математики в начальной школе построен для того, чтобы у учеников сформировались правильные, осознанные, рациональные,

обобщенные, автоматизированные и прочные вычислительные навыки. Любой вычислительный прием изучается только после усвоения теоритических основ этого вычислительного приема, которыми служат определения и свойства арифметических действий.

Группы приемов с их общей теоретической основой, для использования общих подходов в методике формирования соответствующих навыков [17] [48]:

Теоретическая основа приемов - конкретный смысл арифметических действий: сложение и вычитание в пределах 10 для случаев вида а ± 2, 3, 4, 0; табличные результаты умножения и деления [17] [48].

Теоретическая основа приемов - свойства арифметических действий. Относится большинство вычислительных приемов: 2 + 8; 54 + - 20; 74 + 18; 180 : 20 и т.д. Изучаются свойства, затем - приемы вычислений [17] [48].

Теоретическая основа приемов - связь между компонентами и результатами арифметических действий, которые рассматриваются вначале, а затем - вычислительный прием [[17] [48].

Теоретическая основа приемов - вопросы нумерации чисел. Случаи вида: а + 1, 10 + 6; 16 - 10; 16 - 6; 1200 : 100 [17] [48].

Теоретическая основа приемов - правила. Приемы умножения на 1 и 0 [17] [48].

«Особенность изучения материала при изучении математики в начальных классах состоит в том, что подготовка к изучению нового материала, ознакомление с новым материалом и закрепление соответствующих знаний, умений или навыков осуществляется через выполнение учащимися системы упражнений, т.е. определенных математических заданий. Упражнения могут быть различными по своей математической структуре, в зависимости от содержания материала: нахождение значений выражений, сравнение выражений, решение уравнений, решение задач и др. Упражнения могут предлагаться по-разному: могут быть записаны на доске, взяты из учебника или продиктованы учителем; могут быть в даны в обычной форме или занимательной, в форме дидактической игры и т.п.» [2].

Подготовка к изучению (введению) нового приема. Овладение учеником основными операциями, составляющими новый прием.

«Система упражнений на этой ступени должна способствовать созданию или расширению опыта детей, который ляжет в основу ознакомления с новым материалом, воспроизведению материала, на который придется опираться при раскрытии нового. Есть еще одна важная сторона… умение выполнять анализ, синтез, сравнивать объекты, выделять существенное общее (выполнять обобщение), отвлекаясь от несущественного» [2].

Ознакомление с вычислительным приемом (новым материалом). Какие операции необходимо выполнить, в каком порядке и почему так, а не иначе можно найти результат арифметического действия.

«Упражнения надо подбирать так, чтобы анализируя их, учащиеся смогли бы выделить все существенные стороны формируемого знания. С этой целью надо прежде всего подбирать упражнения так, чтобы сохранялись неизменными существенные стороны формируемого знания, а несущественные изменялись. Кроме того, должно быть достаточное число упражнений, т.е. столько, сколько потребуется для того, чтобы каждый ученик на основе их анализа сам пришел к обобщению. Обобщение выражается в речи: ученики формулируют соответствующий вывод. Важно, чтобы ученики сами сформулировали соответствующий вывод» [2].

«После знакомства с вычислительными приемами на ряде уроков приводятся упражнения в вычислениях, для того чтобы знания о приемах вычисления превратились в умения, а затем стали прочными навыками» [2]. Обязательное сопровождение каждой операции соответствующими словесными пояснениями вслух, а потом про себя. Сначала под руководством учителя, а затем самостоятельно. В словесных рассуждениях они поясняют, какие необходимы операции, порядок этих операций и называют результат каждой из них. Пояснения к выбору и выполнению операций приводят к пониманию сущности каждого этапа и всего приема в целом, что является основой осознанных вычислительных навыков в дальнейшем.

«Самостоятельная работа как метод обучения дает возможность ученику сознательно и прочно усвоить материал, проявить умственную активность» [2]. Степень самостоятельности учащихся должна расти при переходе от приема к приему одной группы, что приведет при следующем выполнении к самостоятельному нахождению новых вычислительных приемов детьми.

Закрепление знания приема и формирование вычислительного навыка. «Навык вырабатывается в результате тренировки, поэтому на каждом уроке должны включаться примеры как для устной, так и для письменной работы» [2]. «Упражнения должны постепенно усложняться, обогащать формируемое знание, раскрывая новые его стороны, способствовать установлению связей между новыми и уже имеющимися знаниями» [2]. На этой ступени учителю важно предусмотреть ряд стадий становления у детей вычислительных навыков:

на первой стадии закрепление знания приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, рассуждая вслух и производя развернутую запись [48];

на второй стадии частичное свертывание операций: учащиеся про себя выделяют, обосновывают выбор, вслух проговаривают промежуточные вычисления. Развернутая запись не делается. Сначала комментарий под руководством учителя, а затем самостоятельно. Проговаривание помогает выделить основные операции, а выполнение про себя вспомогательных действий способствует их свертыванию [48];

на третьей стадии полное свертывание операции: учащиеся про себя выделяют и выполняют все действия, а называют или записывают только окончательный результат [48];

на четвертой стадии предельное свертывание операций: учащиеся производят все действия в свернутом виде, предельно быстро, т. е. овладевают вычислительными навыками, достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений [48].

Важную роль играет достаточное число разнообразных упражнений на применение вычислительных приемов. «Через систему упражнений учащиеся усваивают некоторые общие умения: умения вычислять, умения решать задачи и др.» [2].

Эти стадии не имеют четких границ: одна постепенно переходит в другую. «Надо иметь ввиду, что свертывание выполнения операций не у всех

учащихся происходит одновременно, поэтому важно время от времени возвращаться к полному объяснению и развернутой записи. Продолжительность каждой стадии определяется сложностью приема, подготовленностью учащихся и поставленными целями. Правильное выделение стадий позволит учителю управлять процессом усвоения учащимися вычислительного приёма, постепенного свёртывания выполнения операций, образования вычислительных навыков» [11]. В ходе формирования вычислительных навыков, «работа над каждым вычислительным приемом по методике М.А. Бантовой (традиционный подход) строится примерно по одному плану: подготовка к ознакомлению с приемом, введение приема и выполнение упражнений, направленных на формирование умения применять прием в разных конкретных условиях» [2]. При таком подходе основные усилия учеников сосредоточены на восприятии готовых знаний, их закреплении и воспроизведении. Такой подход представлен в УМК «Школа России» [32].

Существует другой подход (развивающий) - учащиеся самостоятельно добывают знания («открытие»), преобразуя ранее полученные при необходимости. [23]. Такой подход к формированию вычислительных умений представлен в УМК «Гармония» [32].

Беглость и правильность вычислений можно проверить с помощью арифметического диктанта. Правильность и осознанность выбора вычислительных операций проверяется письменной самостоятельной работой, в которой записываются подробные комментарии к действиям рассуждения или устной контрольной проверкой, когда учащиеся находят результат выражения и при этом рассуждают вслух. Рациональность вычислительных навыков проверяется также самостоятельной работой: учащимся необходимо найти значение выражения всеми возможными способами и отметить из них самый удобный. Для проверки прочности навыка проводится в конце учебного года самостоятельная работа, в которую включаются все вычислительные приемы, определенные программой. Подобный контроль необходимо провести в начале следующего учебного года и сравнить результаты, что и позволит судить о прочности усвоения вычислительных приемов.