Теорема Ферма. Бесконечный спуск для нечетных показателей n

Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4. Доказательство.

Рубрика Математика
Вид статья
Язык русский
Дата добавления 30.04.2008
Размер файла 38,5 K

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Терема Ферма. Бесконечный спуск для нечётных показателей n.

Получены другие формулы для решений уравнения Пифагора x^2+y^2=z^2, отличные от формул древних индусов, и делающие возможным доказательство для всех нечётных значений показателя n тем же способом бесконечного спуска Ферма, что и для n=4.

Ферма (потом Эйлер) доказывали эту теорему для частного случая n = 4 способом бесконечного спуска с помощью формул древних индусов: x= a- b, y=2ab, z= a+ b.

Другие формулы: x = + b, y = + a, z = + a + b (1).

В (1) a и b любые взаимно простые положительные целые числа, одно из них - чётное, другое - нечётное. Пусть a - чётное, b - нечётное: a=2c, b=d, откуда =2cd.

После подстановки значений a и b в (1) получим:

X = d(2c+d); Y= 2c(c+d); Z= 2c(c+d)+ d (2),

где c и d любые целые положительные числа; c,d и их суммы взаимно просты;

X,Y,Z - взаимно простые тройки решений уравнения Пифагора. Если определены и целы c и d, то определены и целы все три числа X,Y,Z.

Предположим, что уравнение Ферма x+ y= z имеет тройку целых положительных решений x,y,z при нечётном целом положительном значении показателя n, n>2. Запишем это уравнение следующим образом:

(x)+ (y)= (z) (4).

Так как рассматривается возможность существования целых решений уравнений Ферма и (4) , то должно выполняться следующее условие:

x= X; y= Y; z= Z; где X,Y,Z из (2) (5).

Чтобы числа x,y,z были целыми, из всех трёх чисел X,Y,Z должны извлекаться целочисленные корни степени n (n - нечётное положительное целое число):

x == (); y == (); z =.

Для упрощения достаточно рассмотреть два целых числа и ( n - нечётное ):

= = и = = .

Подкоренные выражения содержат сомножители не имеющие общих делителей, кроме 1, поэтому каждый сомножитель должен являться целым числом в степени n:

d = g; 2 c = h, следовательно, = ; = .

Так как x, - целые, x - по условию, а - из-за нечётн. n, то g+ h= k, где k - целое.

Тройка решений g,h,k удовлетворяет уравнению Ферма, но все три числа меньше числа x первой тройки решений, потому что наибольшее число k из g,h,k меньше , так как =g, а <x, так как x=(). Число k заведомо меньше числа z.

Повторим те же рассуждения для второй тройки решений g,h,k, начиная с (4):

(g)+ (h)= (k); g ==(); h ==(); k =.

= = и = = .

d = p; 2 c = q, следовательно, = ; = .

p+ q= r, где r - целое число. Все три числа p,q,r меньше числа из второй тройки решений и r<k. Таким же образом получается 4-я тройка решений, 5-я и т.д. до .

При данных конечных целых положительных числах x,y,z не может существовать бес-конечной последовательности уменьшающихся целых положительных троек решений. Ряд натуральных чисел конечен. Отсюда целых положительных троек решений для целых положительных нечётных (и всех простых) значений показателя n (n>2) не существует.

Для чётных n=2m не кратных 4: (x)+(y)=(z), m - нечётное. Если нет целых троек решений для показателя m, то их нет и для 2m (это показал Эйлер). Для n=4 и n=4k (k=1,2,3…) уже доказано, что целых положительных троек решений не существует.

А. Ф. Горбатов


Подобные документы

  • Великая (большая и последняя) теорема Ферма, ее доказательство для простых показателей. Целочисленные решение уравнения Пифагора в "Арифметике" Диофанта. Формулы для решения уравнения Пифагора в виде взаимно простых чисел. Преобразование уравнения Ферма.

    реферат [29,1 K], добавлен 19.11.2010

  • Основные понятия и результаты, связанные с теорией диофантовых уравнений, теорией эллиптических кривых и abc-гипотезой. Метод бесконечного спуска и доказательство теоремы Ферма для n=4. Анализ выводов К. Рибета Великой теоремы Ферма из гипотезы Таниямы.

    дипломная работа [351,4 K], добавлен 26.05.2012

  • Выведены формулы, возможно ранее неизвестные, для решений уравнения Пифагора, Формулы отличаются от общеизвестных формул древних индусов и вавилонян.

    статья [31,7 K], добавлен 26.06.2008

  • Доказательство теоремы Ферма методами теоремы арифметики, элементарной алгебры с использованием методов решения параметрических уравнений для четных и нечетных показателей степени. Теорема о разложении на простые множители целых составных чисел.

    научная работа [22,6 K], добавлен 12.06.2009

  • Решение уравнения теоремы Пифагора в целых числах. Доказательство теоремы Ферма в целых положительных числах при четных показателях степени. Применение методов решения параметрических уравнений и замены переменных. Доказательство теоремы Пифагора.

    доклад [26,6 K], добавлен 17.10.2009

  • Оригинальный метод доказательства теоремы Ферма. Использование бинома Ньютона для решения диофантового уравнения. Решение теоремы Ферма при нечетных показателях степени n, при целых положительных и натуральных числах. Преобразование уравнения Ферма.

    статья [16,4 K], добавлен 17.10.2009

  • Формулирование и доказательство великой теоремы Ферма методами элементарной алгебры с использованием метода замены переменных для показателя степени n=4. Необходимые условия решения уравнения. Отсутствие решения теоремы в целых положительных числах.

    творческая работа [27,7 K], добавлен 17.10.2009

  • Доказательство утверждения "Уравнение al+bq=cq (где l и q больше или равно 3) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах a, b и c таких, чтобы a - было четным, b и c - нечетными целыми числами". Частный случай теоремы Ферма.

    творческая работа [856,3 K], добавлен 08.08.2010

  • Суть великой теоремы Ферма. Формирование диофантового уравнения. Доказательство вспомогательной теоремы (леммы). Особенности составления параметрического уравнения с параметрами. Решение великой теоремы Ферма в целых положительных (натуральных) числах.

    научная работа [31,1 K], добавлен 18.01.2010

  • Выполнение доказательства теорем Пифагора, Ферма и гипотезы Биля методом параметрических уравнений в сочетании с методом замены переменных. Уравнение теоремы Ферма как частный вариант уравнения гипотезы Биля, а уравнение теоремы Ферма – теоремы Пифагора.

    творческая работа [64,8 K], добавлен 20.05.2009

Работы в архивах красиво оформлены согласно требованиям ВУЗов и содержат рисунки, диаграммы, формулы и т.д.
PPT, PPTX и PDF-файлы представлены только в архивах.
Рекомендуем скачать работу.