Расчет показателей функций

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Задача 1

Вычислить .

Решение

Заметим, что и . Тогда

.

Ответ: 3/2.

Задача 2

Пусть матрицы и такие что: , и выполнено условие:

.

Требуется:

1) Предложить матрицы и , удовлетворяющие этому уравнению;

2) Доказать, что.

Решение

Так как, по условию

,



Откуда . Обозначим . Тогда . Умножим последнее уравнение на слева, получим:

, откуда .

Следовательно, , то есть . Так как , то .

Задача 3

Доказать, что .

Решение

Докажем, что . Умножим обе части на , получим .

То есть, или . Что очевидно: .

Тогда: .



Задача 4

Разложить функцию по формуле Тейлора в окрестности точки . Рассчитать коэффициент при .

Решение

1 способ. Непосредственно проводя вычисления производных, получим, до пятого члена:

.

2 способ. Перемножим 2 ряда, используя метод неопределенных коэффициентов:

.

3 способ. По формуле Эйлера:

, с учётом , получим

.



Данное разложение позволяет легко определить любой коэффициент.

Задача 5

Найти пределы: а) , б) , в) .

Решение. а) ; б) , в) .

Задача 6

Дан эллипс .

Требуется:

1) Предложить уравнение гиперболы, имеющее такие же координаты фокусов;

2) Показать, что таких гипербол бесконечно много;

3) Показать, что эти гиперболы ортогональны данному эллипсу.

Решение

Из уравнения эллипса получаем координаты фокусов и эксцентриситет .

Пусть искомая гипербола имеет вид . С учетом условий: , где .

Пусть - точка пересечения параболы и гиперболы. Уравнения касательных для этих кривых в имеют вид: с угловыми коэффициентами .

Далее, из системы уравнений получаем .

Окончательно, .

Задача 7

Найти все корни уравнения .

Решение

Очевидно, что данное уравнение имеет ровно 2016 корней с учетом кратных и комплексных корней: , , .

уравнение тейлор гипербола координата



Задача 8

Накануне Летних Олимпийских Игр 2016 года в Рио-де-Жанейро Всемирное Антидопинговое Агентство решило проверить всех спортсменов на употребление запрещенного вещества - мельдония. Современные методы позволяют обнаружить мельдоний, даже если анализируется смесь проб у нескольких спортсменов. Поэтому, чтобы уменьшить количество проб и расходы на них, было предложено смешивать пробы спортсменов, и если проба дала отрицательный результат, то все спортсмены допущены к соревнованиям. Если же результат допинг-пробы положительный, берется еще проб у каждого спортсмена в отдельности. Найти оптимальную численность группы , если вероятность того, что спортсмен принимал мельдоний . Считать, что число спортсменов достаточно велико.

Решение

Вероятность того, в группе из спортсменов получится отрицательная проба равна . Тогда «функция экономии» будет она имеет максимум при .



Задача 9

При каких значениях параметра предел будет конечным и ненулевым? Найти этот предел.

Замечание. Разложение функции в ряд Тейлора:

Решение

Воспользуемся разложением в ряд Тейлора функций и до : , .

Тогда . Для того, чтобы предел был конечным и ненулевым, необходимо, чтобы коэффициент в числителе при был отличен от 0, а коэффициенты при меньших степенях были равны 0. Отсюда получим:

.

Тогда , откуда получаем . Для данных значений параметра .

Ответ: при .



Задача 10

Найти производные , , если

Решение

Перепишем функцию в виде . Тогда и .

Так как , , , то , .

Задача 11

Вычислить площадь фигуры, заданной условиями: и .

Решение

Очевидно, что фигура симметрична относительно осей координат, поэтому , где - площадь фигуры в первой четверти. Точка пересечения линий и - точка (4,3). Получим:

.

Ответ: .



Задача 12

Вычислить интегралы:

а) ; б) ; в) .

Примечание. - целая часть числа , - знак числа .

Решение

а)

.

б)

.

в)

.

Ответ: а) ; б) ; в) .



Задача 13

1. Показать, что функция удовлетворяет функциональному уравнению для любых , где - множество положительных вещественных чисел.

2. Найти все дифференцируемые функции удовлетворяющие данному функциональному уравнению для любых .

Решение

Перепишем условие в виде

.

Переходя к пределу, получим

,

, т.е. .

Таким образом, , где из начальных условий следует .



Задача 14

Решить дифференциальное уравнение .

Указание. Использовать замену .

Решение

Замена , получим

; .

Тогда , .

В итоге исходное уравнение имеет вид , с решением или .

Задача 15

Сборная России по футболу насчитывает 28 человек, каждый из которых является рыцарем (всегда говорит правду) или лжецом (всегда лжет). Во время пресс-конференции у каждого футболиста спросили, сколько в сборной рыцарей. Первый сказал: «Число рыцарей в сборной - делитель 1». Второй сказал: «Количество рыцарей в сборной - делитель 2» и т.д. до 28-го, который сказал: «Количество рыцарей в сборной - делитель 28». Определите, сколько в сборной России рыцарей.

Решение

Может ли в сборной не быть рыцарей вообще? Да. В этом случае все 28 членов сборной солгали бы, так как 0 не является делителем никакого из названных чисел.

Может ли в сборной быть ровно 1 рыцарь? Нет. В этом случае все 28 членов сборной оказались бы рыцарями. 1?28.

Может ли в сборной быть ровно 2 рыцаря? Нет. В этом случае каждый второй член сборной был бы прав, и 14 человек были бы рыцарями. 2?14.

Может ли в команде быть ровно 3 рыцаря? Нет. В этом случае каждый третий член сборной был бы прав, и 9 человек были бы рыцарями. 3?9.

Может ли в сборной быть ровно 4 рыцаря? Нет. В этом случае каждый четвёртый член сборной был бы прав, и 7 человек были бы рыцарями. 4?7.

Может ли в сборной быть ровно 5 рыцарей? Да. В этом случае каждый пятый член сборной был бы прав. Были бы правы игроки под номерами 5, 10, 15, 20 и 25.

Может ли в сборной быть ровно 6 рыцарей? Нет. В этом случае каждый шестой член сборной был бы прав. 4 человека были бы рыцарями. 6?4.

Может ли в команде быть больше шести рыцарей? Нет. В этом случае правду сказали бы меньше четырёх человек.

Ответ: В сборной России по футболу ноль или пять рыцарей.

Размещено на Allbest.ru