Говоря о логической составляющей в обучении учащихся ос-тановимся на смысле фразы, что логика приводит мысли в поря-док, выясним, какой смысл вкладывал М.В. Ломоносов в извест-ные его слова о том, что математика ум в порядок приводит.

Установить порядок на некотором множестве объектов - зна-чит пронумеровать их. Существуют определения строгого и не-строгого порядков. Можно установить порядок на множестве понятий и на множестве высказываний. Порядок на множестве понятий определяется с помощью отношения «предшествовать». Пример: понятие отрезок предшествует понятию многоугольник. Никакое понятие не предшествует самому себе. Порядок на мно-жестве суждений можно установить с помощью отношения «сле-довать», «быть следствием». Теорема о вписанном угле треуголь-ника следует из теоремы о сумме углов треугольника. Отношение «предшествовать» - отношение строгого порядка, отношение «следовать» - пример отношения нестрогого порядка.

Дедуктивное (аксиоматическое) построение курса математи-ки и есть наведение порядка на множестве понятий и суждений.

Почему важно, чтобы имеющаяся в голове человека информа-ция была упорядочена? На этот вопрос ответ можно найти в рабо-те А.А. Столяра: «Эта информация может оказаться в уме челове-ка неупорядоченной, т.е. размытые знания - изолированными, несвязанными между собой и поэтому малоэффективными в каче-стве исходного материала для получения новых знаний. Во-вто-рых, возможно также, эта информация будет лежать «мертвым грузом», т. е. заполнять лишь память человека, но не преобразо-вываться им, не использоваться для получения новых знаний ло-гическим путем, с помощью рассуждений».

Анализ содержания школьного курса математики позволяет выявить те логические действия, которые выполняются учащи-мися, изучающими дедуктивно построенный математический курс. Номенклатура умений может быть упорядочена следующим образом:

Учащиеся должны уметь:

¦ формулировать определения понятий с использованием раз-личных связок и кванторов;

¦ приводить примеры понятий, подводить объекты под опреде-ления различных логических конструкций;

¦ приводить контрпримеры, т. е. строить отрицание определе-ний различных логических конструкций;

¦ понимать отношения между двумя понятиями;

¦ проводить классификацию известных понятий;

¦ понимать свойства конкретных отношений - рефлективность, симметричность, транзитивность - без употребления соответ-ствующей терминологии;

¦ понимать смысл терминов «следует», «следовательно», «если..., то... »;

¦ выделять условия и заключения теоремы;

¦ строить отрицание утверждений различной структуры;

¦ различать свойства и признаки понятий;

¦ понимать смысл доказательства, различать правдоподобные и дедуктивные рассуждения;

¦ уметь проводить полученное доказательство;

¦ понимать эквивалентность отдельных определений, доказывать это в отдельных случаях;

¦ понимать смысл терминов «хотя бы один», «не более», «не менее», «все», «некоторые»;

¦ использовать отдельные методы доказательства - метод от противного, полную индукцию, доказательства методом исключения;

¦ понимать основные принципы построения дедуктивной теории.

Овладение перечисленными действиями по упорядочиванию изучаемого материала и является содержанием проблемы развития логического мышления.

1.4.4. Пути решения проблемы развития логического мышления учащихся.

Для решения задач развития логического мышления не требу-ется включения в курс дополнительного математического мате-риала. Задачи развития логического мышления можно ставить и решать на обычном учебном материале.

В системе работы учителя по развитию логического мышле-ния учащихся могут иметь место различные уровни.

I. Отсутствие специально организованной учителем работы по развитию логического мышления. Организационным факто-ром, направляющим в этом случае процесс развитии, является усваиваемое содержание предмета.

II. Организация деятельности учащихся по осознанию логи-ческой составляющей изучаемого содержания с помощью специально подобранных упражнений.

III. Организация специального обучения учащихся усвоению приемов логического мышления в явном виде с выделением их операционных составляющих. Такими приемами могут быть: доказательство методом от противного, подведение под определе-ние, подведение под понятие и многое другое.

Соответственно уровням организации деятельности учащихся происходит усвоение материала на различных уровнях система-тизации его в зависимости от осознания логических взаимосвязей в этом материале.

I. Уровень фрагментарных знаний, отсутствие осознания вза-имосвязей между компонентами системы.

II. Уровень частичной логической организации изученного материала, понимание отдельных его взаимосвязей.

III. Уровень логично организованных знаний.

Последний уровень характеризуется пониманием целостнос-ти системы знаний, пониманием места отдельных элементов сис-темы знаний в этой системе, т. е. систематизацией изученного ма-териала.

Приведем примеры упражнений, направленных на выделение логической составляющей изучаемого материала в соответствии со вторым уровнем организации деятельности учащихся.

ПРИМЕР: При изучении равнобедренного и равносторон-него треугольника наряду с другими заданиями можно предло-жить учащимся следующие вопросы:

- Верно, ли сформулировано определение: треугольник, у кото-рого две стороны равны и два угла равные, называется равно-бедренным?

- Верно ли, что все треугольники являются равнобедренными или равносторонними?

-Верно ли, что каждый равносторонний треугольник является равнобедренным, некоторые равнобедренные треугольники яв-ляются равносторонними?

-Какими могут быть неравносторонние треугольники?

- Верно, ли сформулировано предложение: биссектриса угла рав-нобедренного треугольника является его медианой и высотой?

В качестве примера приема в рамках третьего из выделенных ранее уровней рассмотрим прием по распознаванию признаков и свойств понятий. Актуальность изучения приема в явном виде диктуется большим количеством ошибок по смешению призна-ков и свойств понятий. Ошибки допускаются не только начинаю-щими изучать курс геометрии, но и выпускниками школы. И, на-против, понимание терминов свойство и признак понятия позво-ляет учащимся выяснить место каждой теоремы в системе теорем, систематизировать свои знания по каждому понятию, помогает правильно применять изученные теоремы. Ситуации, в которых используются теоремы, различны: свойства понятий используют-ся, когда есть объект, принадлежащий понятию, признаки - ког-да необходимо под понятие подвести.

Путаница свойств и признаков обусловлена тем, что кроме как в математике и, может быть, еще в медицине термины «свой-ства» и «признаки» нигде строго не разделяются. Например, в сло-варе русского языка дается такая формулировка: «Свойство - это качество, признак, составляющий отличительную особенность кого - чего - либо.» (С.И. Ожегов. Толковый словарь. М., 1998.) Или: «Свойство - то, что присуще предметам, что отличает их от других предметов или делает их похожими на другие предметы.» (Н.И. Кондаков. Логический словарь. М., 1971.)

В математике свойства понимаются как необходимые условия существования понятия, признаки - как достаточные или необходимые и достаточные условия существования понятия. В школьном курсе термин признак всегда употребляется как необходимое и достаточное условие.

Ближе всего к школьному пониманию терминов свойство и признак являются следующие определения, на которые можно опереться при разговоре с учащимися. «Свойство - каждая из множества сторон вещи или явления, выявляющаяся во взаимодействии данного предмета с другими.» (Энциклопедиче-ский словарь. М., 1964.) «Признак - показатель, примета, знак, по которым можно узнать, определить что-либо». (СИ. Ожегов. Толковый словарь. М., 1996.)

По сути дела свойство понятия, объекта - это все то, что мож-но сказать об объекте, изучая его. Признаки - это те свойства, условия, по наличию которых объект можно отнести к определен-ному классу объектов, к понятию.

В качестве примера рассмотрим теорему Пифагора. Теорема описывает прямоугольный треугольник, т. е. является свойством прямоугольного треугольника. Аналогично, теорема «Отноше-ние периметров подобных многоугольников равно коэффициенту подобия этих многоугольников» описывает имеющиеся подобные многоугольники, т. е. является их свойством.

Рассмотрим формулировку теоремы: «Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно равны, является параллелограммом». В этой теореме условие попарного равен-ства противоположных сторон четырехугольника является при-метой, показателем, знаком того, что четырехугольник является параллелограммом.

Условная форма теоремы позволяет определить формально, признаком jc или свойством некоторого понятия является рассмат-риваемая теорема. Если понятие находится в условии теоремы (если треугольник является прямоугольным, то...), - теорема вы-ражает свойство этого понятия. Если рассматриваемое понятие находится в заключении теоремы (..., то данный четырехуголь-ник является параллелограммом), - теорема является его призна-ком.

При этом называть теорему признаком или свойством безот-носительно к понятию нельзя, т. к. формально каждую теорему можно считать свойством одного понятия и признаком другого. Например, теорема «В подобных треугольниках соответствую-щие углы равны» является свойством понятия подобные треуголь-ники и признаком равенства углов. Некоторые условия являются как свойствами, так и признаками одного и того же понятия, на-пример, деление диагоналей, пополам в точке их пересечения для параллелограмма.

Как строится теория понятия? Вначале дается формальное оп-ределение понятия. Затем из определения получают в качестве его следствий различные свойства понятия. Затем строят обрат-ные предложения к отдельным свойствам и проверяют их истин-ность. Так получают признаки. Часто для получения признаков используют не одно, а несколько свойств.

1.5. Развитие логического мышления в геометрии.

1.5.1. Задачи преподавания геометрии в школе.

Задача преподавания геометрии - развить у учащихся три качества: пространственное воображение, практическое понима-ние и логическое мышление.

Разумеется, в задачи курса геометрии входит: дать учащимся, как это принято говорить, основные знания и умения в области гео-метрии. Однако все же главные, глубинные задачи преподавания геометрии заключаются в трех указанных элементах...».

Таким образом, А. Д. Александров указывает на три основные задачи преподавания геометрии в средней школе: наряду (точнее, посредством) с изучением основных геометрических фактов и развитием определенных умений и навыков, учащихся главные задачи составляют развитие их пространственного воображения, логического мышления и понимания того, что геометрия изучает, свойства реального мира. Эта точка зрения нашла яркое воплощение в пробных учебниках геометрии, написанных авторским кол-лективом во главе с академиком А.Д. Александровым.

Программа по геометрии дает такие же целевые установки на преподавание геометрии в средней школе. Таким образом, основ-ными задачами курса геометрии являются:

- систематическое изучение основных фактов геометрии, ме-тодов их получения и возможностей их применения;

- развитие умений и навыков учащихся, обеспечивающих применение полученных знаний для изучения смежных дисциплин и в сфере производства;

- развитие пространственного воображения и логического мышления учащихся.

При этом основой для развития пространственного воображе-ния и логического мышления учащихся является овладение ими основными фактами и методами геометрии.

В высказываниях ряда ученых и в учебниках, написанных ими, можно заметить определенные акценты, которые они делают на от-дельных задачах преподавания геометрии в школе. Так, у акаде-мика А. Д. Александрова - это «лед и пламень» органического единства строгой логики и живого восприятия реального мира.

Академик А. В. Погорелов на первое место ставит развитие логического мышления учащихся. Он пишет: «Предлагая настоящий курс, мы исходили из того, что главная задача преподавания гео-метрии в школе - научить учащихся логически рассуждать, аргу-ментировать свои утверждения, доказывать. Очень немногие из оканчивающих школу будут математиками, тем более геометрами. Будут и такие, которые в их практической деятельности ни разу не воспользуются теоремой Пифагора. Однако вряд ли найдется хотя бы один, которому не придется рассуждать, анализировать, доказывать».

Стремлением к форсированному развитию логического мышле-ния учащихся обусловлено в его учебнике «основное учебное требование» доказывать все, особенно в начале обучения; повы-шенное внимание к строгости доказательств «очевидных» фактов (например, спи манных с отношением «лежать между»); широкое использование способа доказательства от противного с первых шагов обучения; сознательный отрыв мышления от чертежа как «эффек-тивное обучающее средство».

1.5.2. Чертеж учит думать.

В школьном курсе геометрии выделяют три вида чертежей:

чертежи, иллюстрирующие содержание вво-димого понятия;

чертежи, образно представляющие условие задачи или рассматриваемого математического предложения;

чертежи, иллюстрирующие преобразования геометрических фигур.

Мы будем рассматривать главным образом работу с чертежами первых двух видов, по-скольку они имеют более общее назначение.

Формируя у учащихся умение, работать с чертежом, учитель должен помнить, что если ограничиваться стандартными чертежами, то школьники достаточно быстро начнут связывать формируемое понятие только с фигурами опре-деленного вида и положения. «Стандартный» чертеж вызывает у учащихся неверные ассо-циации, в результате которых в содержание понятия вносятся лишние признаки, являю-щиеся частными признаками демонстрируемой фигуры.

Эффективность формирования у учащихся понятий, которые можно представить наглядно, в значительной степени зависит от того, в каком виде произошло первое знакомство с ним, т. е. каким оказался первый зрительный образ, ставший затем носителем данного понятия (сила первого впечатления). Поэтому в начале изучения понятия надо показывать как можно больше чертежей, в которых варьируются не существенные признаки понятия.

Конечно, на построение различных вариантов одного и того же чертежа уходит много времени. Рекомендуем поступить следующим образом. Из куска линолеума вырезать круг и закрепить его на классной доске так, чтобы он мог вращаться вокруг своего центра. К этому кругу приделать небольшую ручку, с помощью, чертеж которой можно его поворачивать. Всякий раз уже построенный чертеж учитель захочет показать в другом положении, ему останется лишь повернуть круг, на котором чертеж изображен. Это приспособление полезно еще тем, что позволяет внедрять в сознание учащихся ту важную мысль, что при движении сохраняются основные свойства фигур.

Ученики обычно привыкают соотносить какую-либо фигуру с одним понятием, не умея переосмыслить фигуру в плане другого понятия. Для развития мышления учащихся нужно потратить много усилий на формирование у ни умения вычленять из элементов новые фигуры, не упомянутые в тексте условия задачи В. И. Зыкова отмечает: «Чтобы устранить трудности при выполнении операции переосмысливания, следует обращать внимание учащихся на случай соответствия фигур двум и более понятиям».

Чертежи и рисунки - эффективное средство формирования у учащихся умения подмечать закономерности на основе наблюдений, вычислений, преобразований, сопоставлений. Обращаясь к учителям математики, Д Пойа писал: «Результат творческой работы математики - доказательное рассуждение, доказательство, но доказательство открывают с помощью правдоподобных рассуждений, с помощью догадки… Преподаватель должен показывать, что догадки в области математики могут быть разумными, серьезными, ответственными… Давайте учить догадываться!».

При обучению решению геометрических задач очень важно следить за тем, чтобы формулировка задачи помогла учащимся сделать чертеж. В школьных учебниках текст, с помощью которого сформулирована задача или теорема, не всегда написан доступным, понятным языком. Как показывает практика, ученикам труднее всего даются такие тексты, в которых краткость достигается нанизыванием придаточных предложений или причастных оборотов.

Особое место в развитии мышления зани-мает обучение сравнению, в частности сравне-нию факта, выраженного словесно, с его интер-претацией на чертеже. Чертеж может служить опровержением какого-то общего высказыва-ния. Учась опровергать неверные высказы-вания, школьники постепенно привыкают к доказательствам. Приведем три задания, кото-рые фактически нацеливают учащихся на поиск контрпримеров.

11. Верно ли утверждение: «Любой четы-рехугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны, является ромбом»?

12. Верно ли утверждение: «Любой четырех-угольник, у которого два противоположных угла прямые, является прямоугольником»?

13. Изобразите на чертеже случай, для которого неверно высказывание: «Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не имеют ни одной общей точки». (Пропущено указание на то, что речь идет о двух прямых.).

В пропедевтическом курсе геометрии важно воспитывать у школьников понимание необхо-димости того, чтобы изучаемые факты дока-зывались. Целесообразно показывать школь-никам что v людей нет иного пути убедиться в истинности суждения, как только доказать его логическим путем. «Самые тщательные из-мерения - может сказать учитель,-- все-таки оставляют повод для сомнений, поскольку в них неизбежны большие или меньшие ошибки. Доверяться очевидности тоже нельзя, так, как широко известно, что зрение человека дает неточную, а иногда и совершенно ошибочную информацию».

Итак, разносторонняя работа с чертежами не только способствует общему умственному развитию школьников, но и подталкивает их логическое развитие, обеспечивая менее болезненный переход от опытно - индуктивного преподавания пропедевтического курса геометрии к дедуктивности основного курса геометрии.

Для повышения эффективности развивающего обучения геометрии перед учащимися следует систематически ставить серии задач (или отдельные задачи), которые наряду с конкретными обучающими функциями несли бы в себе (также в качестве веду-щих) функции, направленные на формирование у школьников эле-ментов творческого математического мышления.

В качестве таких задач могут выступать, например, задачи, при постановке которых или в процессе решения которых:

учащимся мотивируется целесообразность изучения нового ма-териала, разумность определений геометрических понятий, полез-ность изучения тех или иных теорем;

учащиеся побуждаются к самостоятельному открытию того или иного геометрического факта, к обоснованию того или иного поло-жения, к установлению возможности применения уже усвоенных ими знаний в новой для них ситуации;

учащиеся подводятся к самостоятельному открытию методов доказательства теорем, общих приемов решения задач, к установле-нию новых связей между известными им геометрическими понятиями;

у учащихся формируются умения использовать ведущие мето-ды научного познания (опыт, наблюдение, сравнение, анализ, обобщение и т. д.) как методы самостоятельного изучения геомет-рии, понимание роли и места индукции, аналогии дедукции в про-цессе познания;

учащиеся обнаруживают взаимосвязь геометрии и алгебры и с другими предметами, устанавливают содержательные и структур-ные связи между различными вопросами самого курса геометрии, получают возможность применить математические знания к реше-нию нематематических задач;

учащиеся приобщаются к самостоятельным поисковым иссле-дованиям (посредством изучения результатов решения задач, из-менения условия задачи, возможных обобщений задачи, отыскания других способов ее решения и отбора того из них, который наиболее полно удовлетворяет заданным условиям, и т. п.);

у учащихся формируются качества, присущие научному мышле-нию (активность, гибкость, глубина, критичность, доказатель-ность и т. п.), умение выражать свою мысль ясно и точно и т.д.

2. МЕТОДИКА ОБУЧЕНИЯ РЕШЕНИЮ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ НА ПОСТРОЕНИЕ, С ЦЕЛЬЮ РАЗВИТИЯ ЛОГИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ УЧАЩИХСЯ

2.1. Роль задач в обучение, роль задач в развитие логического мышления.

2.1.1. Общее понятие задачи.

Решение многих задач требует от человека хорошо развитой способности к творческой деятельности или, по крайней мере, спо-собности и умения отыскать более или менее оптимальное в данных условиях решение. Поэтому не удивительно то большое значение, которое современная наука придает изучению процесса человече-ской деятельности, поискам эффективных способов управления этой деятельностью, как в сфере производства, так и в обучении.

«Почти всегда изучение любой человеческой деятельности -- в труде или игре -- можно проводить как изучение ситуаций, в которых приходится принимать решения, то есть таких ситуаций, когда один человек или группа людей сталкиваются с необходимо-стью выбора какого-нибудь одного из нескольких действий (хотя бы из двух). Поэтому изучение человеческой деятельности можно в основном свести к изучению поведения человека в условиях про-изводимого им выбора, то есть в условиях ситуаций, в которых нужно принимать решение», т. е. в процессе решения человеком различных задач.

Проблема решения задач как чисто математических, так и задач, возникающих перед человеком в процессе его производственной или бытовой деятельности, изучается издавна, однако до настоя-щего времени нет общепринятой трактовки самого понятия зада-чи. «Понятие задачи обычно используется только в ограниченном объеме: говорят о научных (математических, физических и т. п.) задачах, о задачах в образовании, о задачах политических, хозяй-ственных, технических. Общее понятие задачи еще не выработано».

Главной причиной такого положения дел, несомненно, являются, прежде всего, объективнее трудности, связанные с характеристикой этого понятия в общем виде. Вместе с тем немалое значение имеет и то обстоятельство, что до недавнего времени для большинства исследователей наибольшую практическую ценность представляло изучение процесса решения задач человеком как важной поведенче-ской проблемы, а также путей повышения эффективности процес-са решения задач человеком).

2.1.2. Роль задач в обучении математике.

В процессе обучения математике задачи выполняют, разнообраз-ны» функции. Учебные математические задачи являются очень эф-фективным и часто незаменимым средством усвоения учащимися понятий и методов школьного курса математики, вообще математиче-ских теорий. Велика роль задач в развитии мышления и в математиче-ском воспитании учащихся, в формировании у них умений и навыков в фактических применениях математики. Решение задач хорошо служит достижению всех тех целей, которые ставятся перед обучением математике. Именно поэтому для решения задач используется поло-вина учебного времени уроков математики (700--800 академических часов в IV--X классах). Правильная методика обучения решению математических задач играет существенную роль в формировании высокого уровня математических знаний, умений и навыков уча-щиеся.

В этой главе рассматриваются общие и наиболее важные аспекты использования задач в обучении математике, общие методы, приме-няемые при решении задач, и т. д. Значительное внимание уделяется вопросам организации обучения решению задач на уроках, приводят-ся «практические рекомендации, которые могут быть использованы в процессе учебной работы над задачей.

Значение учебных математических задач

При обучении математике задачи имеют большое и многосторон-нее значение.

1.2.1. Образовательное значение математических задач. Решая математическую задачу, человек познает много нового: знакомится с новой ситуацией, описанной в задаче, с применением математической теории к ее решению, познает новый метод решения или новые теорети-ческие разделы математики, необходимые для решения задачи, и т. д. Иными словами, при решении математических задач человек приоб-ретает математические знания, повышает свое математическое образовавшие. При овладении методом решения некоторого класса задач у человека формируется умение решать такие задачи, а при достаточ-ной тренировке -- и навык, что тоже повышает уровень математического образования.

1.2.2. Практическое значение математических задач. При решении математических задач ученик обучается применять математические знания к практическим нуждам, готовится к практической деятель-ности в будущем, к решению задач, выдвигаемых практикой, по-вседневной жизнью. Почти во всех конструкторских расчетах при-ходится решать математические задачи, исходя из запросов практики. Исследование и описание процессов и их свойств невозможно без привлечения математического аппарата, т. е. без решения математиче-ских задач. Математические задачи решаются в физике, химии, био-логии, сопротивлении материалов, электро- и радиотехнике, особен-но в их теоретических основах, и др.

Это означает, что при обучении математике учащимся следует предлагать задачи, связанные со смежными дисциплинами (физикой, химией, географией и др.), а также задачи с техническим и практиче-ским, жизненным содержанием.

1.2.3. Значение математических задач в развитии мышления. Ре-шение математических задач приучает выделять посылки и заключе-ния, данные и искомые, находить общее, и особенно в данных, сопо-ставлять и противопоставлять факты. При решении математических задач, как указывал А. Я. Хинчин, воспитывается правильное мышление, и прежде всего учащиеся приучаются к полноценной ар-гументации. Решение задачи должно быть полностью аргументиро-ванным, т. е. не допускаются незаконные обобщения, необоснованные аналогии, предъявляется требование полноты дизъюнкции (рассмот-рение всех случаев данной в задаче ситуации), соблюдаются полнота и выдержанность классификации. При решении математических задач у учащихся формируется особый стиль мышления: соблюдение формально-логической схемы рассуждений, лаконичное выражение мыслей, четкая расчлененность хода мышления, точность симво-лики.

1.2.4. Воспитательное значение математических задач. Прежде всего, задача воспитывает своей фабулой, текстовым содержанием. Поэтому фабула многих математических задач существенно изменяет-ся в различные периоды развития общества. Так, в русских дорево-люционных задачниках и в задачах, которые решают современные школьники капиталистических стран, сюжетное содержание многих математических задач связано с вопросами получения выгоды при купле и перепродаже товара, расчетов выигрыша-проигрыша в азарт-ной игре и т. п.

Воспитывает не только фабула задачи, воспитывает весь процесс обучения решению математических задач. Правильно поставленное обучение решению математических задач воспитывает у учеников честность и правдивость, настойчивость в преодолении трудностей, уважение к труду своих товарищей.

Роль задач в обучении математике

Каждая конкретная учебная математическая задача предназна-чается для достижения чаще всего не одной, а нескольких педагоги-ческих, дидактических, учебных целей. И эти цели характеризуются как Содержанием задачи, так и назначением, которое придает задаче учитель. Дидактические цели, которые ставит перед той или иной задачей учитель, определяют роль задач в обучении математике. В зависимости от содержания задачи и дидактических целей ее при-менения из всех ролей, которые отводятся конкретной задаче, можно выделить ее ведущую роль.

2.1. Обучающая роль математических задач.

Обучающую роль математические задачи выполняют при формировании у учащихся си-стем л знаний, умений и навыков по математике и ее конкретным дисциплинам. Следует выделить несколько видов задач по их обучающей роли.

1) Задачи для усвоения математических понятий. Известно, что формирование математических понятий хорошо проходит при усло-вии дательной и кропотливой работы над понятиями, их определе-ния» и свойствами. Чтобы овладеть понятием, недостаточно выучить его Определение, необходимо разобраться в смысле каждого слова в определении, четко знать свойства изучаемого понятия. Такое зна-ние достигается, прежде всего, при решении задач и выполнении упражнений.

2) Задачи для овладения математической символикой. Одной из целей обучения математике является овладение математическим язы-ком и, следовательно, математической символикой. Простейшая, сим-вол и вводится еще в начальной школе и в IV--V классах (знаки действий, равенства и неравенства, скобки, знаки угла и его величины, параллельности и т. д.). Правильному употреблению изучаемых символов надо обучать, раскрывая при решении задач их роль и назна-чение. Приведенные далее задачи способствуют пониманию роли скобок и учат их верному употреблению.

Существенное значение в овладение изучаемой символикой имеет правильное ее применение при записи решений задач. Учитель должен внимательно следить за грамотным применением математических символов в записях. Нельзя признать правильными такие, например, записи:

«p < 2 на 3», « Докажем - ность прямых a и b» и др. Следовало бы записать в первом случае: «p меньше, чем 2 на 3», или «2 - p = 3», или «2 - 3 = p», или «p + 3 = 2», «2 - 3 = p», а во втором: «Докажем, что ab».

3) Задачи для обучения доказательствам. Обучение доказатель-ствам - одна из важнейших целей обучения математике.

Простейшими задачами, с решения которых практически начи-нается обучение доказательствам, являются задачи-вопросы и эле-ментарные задачи на исследование. Решение таких задач заключается в отыскании ответа на вопрос и доказательстве его истинности.

Задачи-вопросы обычно требуют для своего решения (доказатель-ства истинности ответа) установления одной импликации, одного логического шага от данных к доказываемому. Доказательство же при решении более сложной задачи или доказательство теоремы пред-ставляет собой цепочку шагов-импликаций.

Целью решения задач-вопросов является и осознание, уточнение и конкретизация изучаемых понятий и связей между ними. Задачи-вопросы необходимы также для усвоения учащимися вводимой сим-волики и используемого языка. Примеры задач-вопросов:

5. х > у. Обязательно ли x² > у²?

6. Могут ли две биссектрисы треугольника быть перпендикуляр-ными? А две высоты?

Существенную роль в обучении доказательствам играют упраж-нения в заполнении пропущенных слов, символов и их сочетаний в тексте готового доказательства. Аналогичные упражнения довольно часто применяются при изучении русского языка, на уроках же ма-тематики они встречаются редко, в учебниках и задачниках их нет.

2.1.3. Роль математических задач в развитии мышления.

1) Мыслительные умения, вос-приятие и память при решении задач. Решение математических задач требует применения многочисленных мыслительных умений: анали-зировать заданную ситуацию, сопо-ставлять данные и искомые, решае-мую задачу с решенными ранее, вы-являя скрытые свойства заданной ситуации; конструировать простейшие математические модели, осуществляя мысленный эксперимент; синтезировать, отбирая полезную для решения задачи информацию, систематизируя ее; кратко и чет-ко, в виде текста, символически, графически и т. д. оформлять свои мысли; объективно оценивать полученные при решении за-дачи результаты, обобщать или специализировать результаты решения задачи, исследовать особые проявления заданной ситуации. Сказанное говорит о необходимости учитывать при обучении решению математических задач современные достижения психологической навыки.

Исследованиями советских психологов установлено, что уже восприятие задачи различно у различных учащихся данного класса. Способный к математике ученик воспринимает и единичные элементы задачи, и комплексы ее взаимосвязанных элементов, и роль каждого элемента в комплексе. Средний ученик воспринимает лишь отдельные элементы задачи. Поэтому при обучении решению задач необходимо специально анализировать с учащимися связь и отношения элементов задачи. Так облегчится выбор приемов переработки условия задачи. При решении задач часто приходится обращаться к памяти. Инди-видуальная память способного к математике ученика сохраняет не всю информацию, а преимущественно «обобщенные и свернутые структуры». Сохранение такой информации не загружает мозг избыточной информацией, а запоминаемую позволяет дольше хранить и легче использовать. Обучение обобщениям при решении задач раз-вивает, таким образом, не только мышление, но и память, формирует «обобщенные ассоциации». При непосредственном решении математи-ческих задач и обучении их решению необходимо все это учитывать.

2) Обучение мышлению. Эффективность математических задач и упражнений в значительной мере зависит от степени творческой активности учеников при их решении.

Собственно, одно из основных назначений задач и упражнений и заключается в том, чтобы активизировать мыслительную деятель-ность учеников на уроке.

Математические задачи должны, прежде всего, будить мысль учеников, заставлять ее работать, развиваться, совершенствоваться. Говоря об активизации мышления учеников, нельзя забывать, что при решении математических задач учащиеся не только выполняют построения, преобразования и запоминают формулировки, но и обу-чаются четкому мышлению, умению рассуждать, сопоставлять и противопоставлять факты, находить в них общее и различное, делать правильные умозаключения.

Правильно организованное обучение решению задач приучает к полноценной аргументации со ссылкой в соответствующих случаях на аксиомы, введенные определения и ранее доказанные теоремы. С целью приучения к достаточно полной и точной аргументации полезно время от времени предлагать учащимся записывать решение задач в два столбца: слева - утверждения, выкладки, вычисления, справа - аргументы, т.е. предложения, подтверждающие правильность вызванных утверждений, выполняемых выкладкой и вычислений.

Разумеется, нет необходимости так записывать решение каждой задачи, допустима и устная аргументация.

Взрослому человеку, как в повседневной жизни, так и в профес-сиональном труде для принятия правильных решений исключительно важно уметь рассматривать все возможные случаи создавшейся ситуации. Это надо разъяснять и школьникам. Важно такое умение и при изучении математики, в противном случае неизбежны ошибки. Умение же предусмотреть все возможные варианты некоторой ситуа-ции свидетельствует о развитости мышления рассматривающего эту ситуацию.

Умение рассуждать включает в себя и умение оценивать истин-ность или ложность высказываний, правильно составлять сложные высказывания и суждения, т. е. логически правильно употреблять союзы «и», «или», отрицание «не». Обучение вер-ному применению этих связок помогает воспитанию у учащихся мате-матически грамотной речи, а мышление, как известно, связано с язы-ком, речью человека.

Полезно научить школьников, верно, формулировать отрицания тех или иных предложений. Такое умение особенно важно при ре-шении задач сведением к противоречию.

Существенно для развития математического мышления учащихся формирование умений правильно выделять посылки и заключения. Такие умения формируются обычно при решении задач на доказатель-ство. На первых же порах необходимы упражнения в расчленении

некоторых предложений на досылки и заключения.

3) Задачи, активизирующие мыслительную деятельность уча-щихся. Эффективность учебной деятельности по развитию мышления во многом зависит от степени творческой активности учащихся при решении математических задач. Следовательно, необходимы матема-тические задачи и упражнения, которые бы активизировали мысли-тельную деятельность школьников. А. Ф. Эсаулов подразделяет задачи на следующие виды: задачи, рассчитанные на воспроизведе-ние (при их решении опираются на память и внимание); задачи, ре-шение которых приводит к новой, неизвестной до этого мысли, идее; творческие задачи. Активизирует и развивает мышление учащихся решение задач двух последних видов.

2.1.4. Значение геометрических задач.

Задачи являются неотъемлемой составной частью курса гео-метрии в средней школе. Действительно, лишенный задач курс элементарной геометрии представлял бы собой лишь группу теорем размещенных более или менее последовательно. Пользы от изуче-ния такого курса очень мало.

Во-первых, учащимся пришлось бы у «вызубривать» содержа-ние этих теорем, поскольку школьники не видели бы никакого применения изучаемого материала. Был бы нарушен из-вестный дидактический принцип сознательности обуче-ния.

Во-вторых, такой курс не был бы связан с другими дисциплинами, входящими в программу средней школы, в том числе и с другими математическими дисциплинами.

В-третьих, такой курс ни в малейшей степени не способствовал бы развитию пространственных представлений учеников.

В-четвертых, такой курс не дал бы школьникам подготовки к решению даже простейших практических задач.

Поэтому весь школьный курс геометрии должен быть насыщен различными упражнениями. Как бы ни менялись программа и количество часов, отводим на изучение геометрии, решение задач остается важнейшей частью курса.

Разумеется, речь идет не о произвольном наборе задач. Задачи являются первой формой применения знаний, полученных школьниками в процессе изучения геометрии. Поэтому предлагае-мые задачи должны соответствовать подготовке учеников, причем речь идет не только о соответствии общем (программе, учебнику), но и об учете знаний конкретного класса, особенностей про-изводственного обучения и т. д.

Однако задачи играют не только вспомогательную роль - зак-реплять знания изученного теоретического материала, но и обучающую роль в процессе решения задач школьники знако-мятся с методами математического рассуждения, расширяют кругозор.

При подготовке к теме урока учитель особое внимание об-ращает на подбор упражнений. Основным источником для под-бора задач является стабильный задачник. Однако он не может быть единственным источником. Вводной книге нельзя поместить достаточного количества упражнений и для ведения индиви-дуальной работы как с теми учащимися, которые временно стали в учебе, так и с теми, кто определил своих товарищей, и для повторения материала (в конце темы, четверти, учебного года и для проведения контрольных работ).

Поэтому учителя используют, кроме стабильного задачника, другие сборники упражнений, отдельные статьи из опыта препо-давания, содержащие подбор упражнений к отдельным темам курса, а также сами составляют геометрические задачи.

2.1.5. Классификация геометрических задач.

Как известно, упражнения в геометрии в зависимости от условия и задания делят на три группы: задачи, на вычисление, дока-зательство и на построение.

В задачах на вычисление требуется выразить неиз-вестные величины (отрезки, углы, площади, объемы) или их от-ношения через известные параметры. Если параметры даны в общем виде, то результат получается в буквах; если же условие со-держит числовые значения параметров, ответ доводится до числа.

Иногда условие таково, что требуется сначала решить задачу в общем виде, а потом подставить в полученное выражение значе-ния параметров. Но порой, независимо от требований условия, за-дачу целесообразно решить в общем виде. Таким образом, решения «в буквах» и «в числах» не противопоставляются одно другому, они являются лишь двумя формами представления неизвестных величин через известные.

В задачах на доказательство необходимо установить наличие определенных соотношений между элементами рассматри-ваемой фигуры: равенство или неравенство отрезков, углов, па-раллельность или перпендикулярность прямых, плоскостей и т. д. Иногда задачи этого типа могут быть оформлены и как задачи на вычисление; например, доказать, что некоторый угол равен 45°, что объем одной фигуры во столько-то раз больше объема другой фигу-ры и т. п.

Менее распространены задачи на исследование. В таких упражнениях результат заранее не сообщается. Требуется выяснить лежит ли некоторая точка на данной прямой (на данной плоскости), пересекаются ли данные окружности, * параллельны ли данные прямые и т. п., определить, какой изданных отрезков больше, к какой из сторон треугольника ближе данная точка. Установить зависимость между перечисленными в условие элементами фигуры.

Обе формы задач на доказательство важны.

В задачах на построение неизвестные величины опреде-ляются в результате выполнения ряда геометрических построений (с помощью допустимых геометрических инструментов или в обус-ловленной проекции). Как правило, речь идет о построении гео-метрической фигуры по некоторым данным о ней. В стереометрии нередко вместо отрезков и углов дается изображение (например, пирамиды), на котором требуется выполнить построение (напри-мер, найти сечение), т. е. элементы фигуры задаются их положение (на проекционном чертеже).

Мы провели среди учащихся анкетирование для того, чтобы выяснить, как они относятся к решению задач на построение.

Анкета.

1. Что вам больше нравится:

а) алгебра

б) геометрия

2. Какие геометрические задачи вы обычно решаете успешнее:

а) на построение

б) на доказательство

3. Можете ли работать методом «в воображении», т.е. создавать образы предметов, мысленно представлять их себе с разных сторон, не опираясь на наглядные изображения (картинки, чертежи, схемы)?

а) да

б) нет

4. Как вы используете чертеж в решении геометрической задачи?

а) в основном на первом этапе работы для меня разобраться в чертеже - это уже решить задачу; на втором этапе записываю ход рассуждений

б) обращаюсь к чертежу периодически: чередую работу с чертежом и оформление каждого смыслового куска решения

5. Что составляет для вас большую трудность при усвоении геометрии:

а) представить в уме («по воображению») нужный образ (предмет, чертеж, схему)

б) восстановить в уме ход рассуждений в какой-нибудь теореме или решенной ранее задачи

6. При решении геометрической задачи «средней» для вас сложности нужен ли вам чертеж?

а) большинство задач могу решить в уме, без чертежа

б) мне было бы достаточно иметь перед глазами чертеж из учебника

в) всегда удобнее иметь собственный чертеж в тетради, на котором можно сделать дополнительные построения, пометки, обозначения

г) лучше, когда есть несколько вариантов чертежей: так легче представить задачу «с разных сторон»

7. Как вы относитесь к необходимости построения чертежа к задаче?

а) это трата времени, почти всегда могу обойтись без чертежа

б) черчу с удовольствием, стараюсь выполнить чертеж как можно точнее, это помогает решить задачу

в) не очень люблю чертить, но стараюсь сделать четкий грамотный чертеж, это облегчает решение задачи

г) чертеж, наверное, нужен, но не стоит долго им заниматься, вполне достаточно если он приблизительно соответствует условиям задачи

д) чертеж не обязателен, удобнее делать наброски на черновике и с ними работать.

Обработка результатов

Количество учащихся
	Вопросы

Выводы: По результатам проведенной анкеты можно выделить следующие факты:

1. Большинство учащихся испытывают неприязнь к выполнению чертежа.

2. При решении задач «средней» сложности учащимся недостаточно пользоваться чертежом из учебника или изображенным на доске; им необходимо каждому выполнить чертеж в своей тетради.

3. Для учащихся составляет большую трудность не только выполнение чертежа, но и самостоятельная запись решения. Поэтому решение задачи разбивается на этапы; обсуждая решение по чертежу учащимся необходимо давать время записать его ход после каждого этапа.

4. Все учащиеся без исключения не могут мысленно создать образ предмета и рассмотреть его с разных сторон «в воображении».

5. Как итогом всех этих фактов можно отметить то, что учащиеся больше предпочитают заниматься алгеброй, чем геометрией.

2.2. Характеристика задач на построение.

В преподавании математики большое значение при-обретают вопросы, связанные с обучением учащихся геометрическим построениям (выполнение наиболее рас-пространенных геометрических построений и обучение решению задач на построение).

Решая задачи на построение, учащиеся приобретают первые теоретические и практические основы «графической грамотности», знакомятся с наиболее употребитель-ными приемами их решения, с инструментами, исполь-зуемыми в различных условиях работы (о чертежно-конструкторской практике, при разметке, при выполне-нии построений на местности). У них развиваются пространственное воображение, конструктивные способно-сти, сообразительность, изобретательность, т. е. такие качества, которые необходимы работникам многих про-фессий.

Доказательство правильности решения задачи и ее исследование способствуют лучшему усвоению учащими-ся теоретического материала, развитию их логического мышления.

Обучение геометрическим построениям в школе имело до последнего времени много недостатков. Так, уча-щиеся поздно знакомились с геометрическими построениями (в VI классе ими занимались лишь в конце учебного года). Приемы решения задач на построение часто не отвечали требованиям практики: как правило, изуча-лись построения, выполняемые только циркулем и линейкой, а другие чертежные инструменты практически не использовались; мало уделялось внимания распространенным построениям, хотя обоснование их соот-ветствовало программе по геометрии и целесообразность применения этих построений на уроках математики, чер-чения и других предметов не вызывала сомнения; при рассмотрении геометрических построений не уделялось должного внимания установлению связи между приема-ми построений (на бумаге, при разметке, на местности) и использованием соответствующих инструментов.

2.2.1. Определение задачи на построение.

Задачей на построение называется предложение, ука-зывающее, по каким данным, какими средствами (инст-рументами) и какой геометрический образ (точку, пря-мую, окружность, треугольник, совокупность точек и т. д.) требуется найти (начертить, построить на плоскости, на-метить на местности и т. п.) так, чтобы этот образ удо-влетворял определенным условиям.

Будем считать средствами построения циркуль и одно-стороннюю линейку; вопрос о дополнении этих инстру-ментов чертежным прямоугольным треугольником будет рассмотрен далее.

Задача на построение может быть выражена с по-мощью чертежа-задания. Чертеж-задание включа-ет в себя данные элементы и требование задачи. Рассмот-рим примеры.

1. Построить треугольник по основанию а, углу при основании В=в и высоте на основание h_а (рис.6)

2. Построить окружность данного радиуса r, проходящую через две данные точки А и В (рис.7).

Чертеж-задание выделяет из элементов плоскости данные элементы. При этом возможны два случая: 1) дан-ные элементы являются уже построенными (пример 2, точки А и В), и в этом случае перемещение их по пло-скости невозможно (данные элементы определены по по-ложению); 2) данные элементы лишь могут быть постро-ены (пример 1 - отрезки а и h_а, угол В, пример 2 - от-резок r); в этом случае подразумевается, что элементы могут быть построены в «любом месте» плоскости (дан-ные элементы не определены по положению).

Решить задачу на построение при помощи циркуля и линейки - значит свести ее к конечной сово-купности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми:

1) построение прямой линии через две известные точки:

Дано: Дано:

Построить треугольник Построить окружность

АВС радиуса r, проходящую

через точки А и В

Рис. 6 Рис. 7

2) построение точки пересечения двух известных пря-мых (если эта точка существует);

3) построение окружности известного радиуса с цент-ром в известной точке;

4) построение точек пересечения известной прямой и известной окружности (если эти точки существуют);

5) построение точек пересечения двух известных окружностей (если такие точки существуют).

Термин «известный элемент» означает, что этот элемент либо дан, либо получен в предыдущих построениях, либо выбран произвольно.

Сведения к каждой задаче к элементарным построениям практически неудобно, так как делает решение громоздким. Иногда удобнее сводить задачи к так называемым основным построениям. Выбор некоторых построений в качестве основных в известной мере произволен.

Характеристика чертежа-задания показывает, что за-дачи на построение делятся на два существенно различ-ных вида:

Задачи «метрические», в которых требуется построить геометрический образ по данным элементам, имеющим определенные размеры, но не определенными по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый в задаче геометрический образ может занимать произволь-ное положение на плоскости (пример 1).

Задачи «положения», в которых построение требуемого геометрического образа выполняется на осно-ве данных элементов, из которых хотя бы один определен по положению на плоскости. Следовательно, и требуемый геометрический образ должен занимать определенное по-ложение на плоскости (относительно данных элементов, пример 2).

2.2.2. Некоторые вопросы теории геометрических построений.

В теории геометрических построений каждый инстру-мент выполняет свойственную только ему операцию. Описание этой операции является его абстрактной характеристикой и дает возможность указать на те эле-менты чертежа, которые могут быть построены при од-нократном использовании того или иного инструмента.