Рис. 1

Следует обратить также внимание учащихся, что последняя фраза в решении: «Треугольник АВС имеет стороны, равные а, b, с - есть не что иное, как доказательство того, что построен имен-но искомый треугольник. После этого можно предложить учащим-ся решить задачу:

«Постройте равносторонний треугольник по его стороне».

Примерное планирование изучения материала

В классе - провести краткую беседу о том, что такое за-дачи на построение, разобрать решение задачи 5.1. решить за-дачи 17 (1), 19; дома - вопрос 10, задачи 17 (2), 18.

Указания к задачам

К пункту относятся задачи 16 - 20.

19. Задачу рекомендуется решить в классе. Если она будет за-дана на дом, то следует дать указание: решение начать с постро-ения окружности.

Рис. 2

Дано: а, b, R.

Решение. Проведем окружность данного радиуса (рис. 2). Выберем на окружности точку С и из этой точки как из центра сделаем две засечки радиусами а и b. Получим точки А и В. Д АВС искомый. У него данные попоны ВС = а, АС = b. Описанная окружность имеет радиус R.

Для того чтобы задача имела решение, стороны а и b должны быть меньше диаметра окружности (a<2R, b<2R).

20. Дано: R, точки А, В.

Решение. Проведем две окружности радиуса R с центрами в точках А и В. Точки пересечения этих окружностей являют-ся центрами искомой окружности.

Исследование. Если АВ > 2R, то задача не имеет ре-шения.

Если АВ = 2R, то задача имеет одно решение: центр окруж-ности - середина отрезка АВ.

Если АВ<2R, то задача имеет два решении: обе точки пе-ресечения проведенных окружностей служат центрами искомых окружностей.

На примере этой задачи учащимся можно дать представление об этапе исследования, о различном числе решений задач на по-строение. Для этого целесообразно решить задачу 20 в классе, за-готовив на доске три исходных рисунка: отрезок, равный R, и точ-ки А и В, причем: 1) АВ<2R; 2) АВ = 2R; 3) АВ > 2R. Реше-ние у доски одновременно проводится силами трех учащихся.

Примечание. Задачу можно предложить учащимся также после изу-чения теоремы 5.6, решив се с помощью метода геометрических мест.

ТЕМА 2. ПОСТРОЕНИЕ УГЛА, РАВНОГО ДАННОМУ (1 ч)

Комментарий для учителя

В результате изучения пункта учащиеся должны:

знать алгоритм задачи на построение угла, равного данному;

уметь применять алгоритм при решении задачи на построение треугольников по двум сторонам и углу между ними, по стороне и двум углам и т. п.

Методические рекомендации к изучению материала

Начать изучение нового материала можно с решения задачи на построение треугольника типа 21 (1, а):

«Постройте треугольник АВС по двум сторонам и углу между ними: АВ = 5 см, АС = 6 см, А = 40⁰».

Решение этой задачи знакомо учащимся из курса математики VI класса.

Затем можно предложить учащимся решить ту же задачу, од-нако данные задать геометрически:

«Постройте треугольник АВС по двум сторонам с, b и углу меж-ду ними » (рис. 3).

Рис. 3

Для того чтобы решить эту задачу, нам надо построить угол А, равный данному углу .

Далее учащимся излагается алгоритм решения задачи 5 (2).

После этого можно предложить учащимся решить задачу:

«Постройте равнобедренный треугольник по основанию и углу, прилежащему к основанию».

Примерное планирование изучения материала

В классе - разобрать решения за-дач 5 (2), 21 (1 а; 2 б), 22 (2); дома - вопрос 11. задачи 22 (1). 23.

Указания к задачам

К пункту относятся задачи 21-23.

ТЕМА 3. ПОСТРОЕНИЕ БИССЕКТРИСЫ УГЛА.

ДЕЛЕНИЕ ОТРЕЗКА ПОПОЛАМ (1 ч)

Комментарий для учителя

В результате изучения пунктов учащиеся должны:

знать алгоритмы решения задач на деление угла и отрезка пополам;

уметь решать несложные задачи па построение с исполь-зованием этих алгоритмов.

Методические рекомендации к изучению материала

1°. При изложении учащимся решения задачи 5.3 (построе-ние биссектрисы угла) можно более подробно остановиться на до-казательстве того факта, что в результате построения действитель-но получились равные утлы.

В самом деле, Д АВD = ДАСD по третьему признаку равенства треугольников. Из их равенства следует, что DAB = DAC (рис. 4).

Рис. 4 Рис. 5

2^о. При решении задачи на деление отрезка пополам (зада-ча 5.4) отрезки АС, ВС, АС₁ и ВС₁ строятся равными отрез-ку АВ (рис. 5). При доказательстве этот факт не учитывается. Действительно, равенство треугольников САС₁ и СВС₁ по треть-ему признаку можно доказать и без этого. Можно доказать, что точка О - середина отрезка АВ и с учетом конкретного построения, данного в учебном пособии. Приведем это дока-зательство. По построению АС = СВ = АС₁ = С₁В = АВ, т. е. ДАСВ и ДАС₁В равносторонние; следовательно, САВ = С₁АВ = 60°, а САС₁ = 120^о. ДАСС₁ равнобедренный, АСС₁ = АС₁С = (180⁰ - 120⁰):2 = 30⁰, ВСО = АСВ - АСС₁ = 60⁰ - 30⁰ = АСС₁, т. е. СО - биссектриса угла С в равнобедренном треугольнике АВС: следовательно, она медиа-на: ВО = АО.

3⁰. Для закрепления изученных приемов построения можно дать следующие задачи:

1. Дан треугольник. Постройте одну из его медиан (задача 28).

2. Постройте с помощью циркуля и линейки утлы 60° и 30° (задача 25).

Примерное планирование изучения материала

В классе - разобрать решения задач 5.3 и 5.4, решить задачи 25, 28; дома - вопросы 12, 13, задачи 24, 28 (еще две медианы).

Указания к задачам

К пунктам относятся задачи 24-29.

ТЕМА 4. ПОСТРОЕНИЕ ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ПРЯМОЙ (1 ч)

Комментарий для учителя

В результате изучения пункта учащиеся должны:

знать алгоритм построения перпендикулярной прямой;

уметь его применять при решении несложных задач на по-строение.

Методические рекомендации к изучению материала

1⁰. Можно предложить учащимся другое доказательство спра-ведливости выполненного построениЯ.

Первый случай (рис. 6) (точка О лежит на прямой а). Отрезки АО = ОВ, АС = СВ по построению. Следовательно, ДАВС равнобедренный, а СО - медиана этого треугольника, т. е. высота (теорема 3.5): СОАВ.

Второй случай (рис. 7) (точка О не лежит на прямой).

ДАОО₁ = ДВОО₁ по третьему признаку. Из равенства этих треугольников следует: АОС= ВОС. В равнобедренном ДАОВ ОС - биссектриса и, следовательно, высота.

Рис. 6 Рис. 7

2°. Сразу после разбора задачи 5.5 можно выполнить с учащи-мися следующие упражнения;

1) Дан треугольник. Постройте одну из его высот (часть задачи 28).

2) Постройте прямоугольный треугольник по его катетам.

3) Задача 30.

Решение задачи 30 является составной частью решения задач 31-34.

Примерное планирование изучения материала

В классе - провести самостоятельную работу, разобрать решение задачи 5.5, решить задачу 30; дома - вопрос 14, задача 28 (две другие высоты).