Здесь впервые встречаемся не с отдельной, фиксиро-ванной точкой, а с любой точкой прямой. До этого уча-щиеся почти всегда имели дело с неподвижными, опре-деленными по положению точками, а здесь точка может перемещаться некоторым образом, но все время она об-ладает определенным свойством. Поэтому большую пользу окажет учащимся наглядное пособие с непо-движными точками А и В и перемещающейся по их оси симметрии точкой О, соединенной резинкой с точками А и В, с помощью которого хорошо разъяснить смысл выражения: «Любая точка оси симметрии равноудалена от А и В».

Примечание. Включение в определение лишних с научной точки зрения слов «и только таких точек» вызвано педагогическими соображениями. В противном случае в определении явно не выделяется необходимость доказательства двух взаимно обратных теорем для утверждения, что та или иная фигура является геометрическим местом точек, обладающих определенным свойством.

4. Целесообразно в качестве домашнего задания к этому уроку предложить учащимся повторить определе-ние окружности (§ 12 по учебнику Н. Н. Никитина). То-гда на уроке, уточнив, что все точки окружности нахо-дятся от центра на одном и том же расстоянии, а всякая точка, взятая внутри (вне) окружности, находится от ее центра на расстоянии, меньшем (большем) радиуса, делаем вывод, что окружность можно рассматривать как геометрическое место точек плоскости, находящихся на данном расстоянии R от данной точки О.

Предлагаем учащимся самостоятельно найти все точки, находящиеся от данной точки О на расстоянии, меньшем чем R. И при разборе этого задания подчерки-ваем, что геометрическим местом точек может быть пря-мая, окружность и даже круг, а в дальнейшем будет показано, что геометрическим местом точек, обладаю-щих некоторым свойством, может быть луч, отрезок прямой, две прямые или две окружности и даже отдельные точки. Разбирая такие конкретные примеры, мы пока-зываем учащимся разнообразие видов тех множеств то-чек, которые могут быть геометрическими местами точек.

Затем надо показать учащимся, что одно и то же гео-метрическое место точек может встречаться в различ-ных формулировках, для чего сравниваем, например, из-вестное им геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, с такими, как геометрическое место точек, равноудаленных от концов дачного отрезка; геометрическое место вершин равнобедренных треуголь-ников с общим основанием (середина основания уже исключается).

5. Применяя эти геометрические места точек, решаем задачи методом геометрических мест, начиная с простей-шей задачи. Какие же задачи считать простейшими?

Сущность метода геометрических мест состоит в сле-дующем:

1) Решение задачи сводим к отысканию точки, удо-влетворяющей определенным условиям.

2) Отбрасываем одно из этих условий, получим гео-метрическое место точек, удовлетворяющих оставшимся условиям.

3) Отбрасываем затем какое-нибудь другое условие, получим новое геометрическое место точек, удовлетворяющих остальным условиям.

4) Искомая точка, удовлетворяющая всем условиям, является точкой пересечения полученных геометрических мест.

Какую задачу ни возьмем, одновременно второй и третий этапы отсутствовать не могут, ибо тогда это не была бы задача на метод геометрических мест. Но без одного из этих этапов можно обойтись, если в условии указать геометрическую фигуру, которой должна при-надлежать искомая точка. Чтобы избежать и первого этапа, достаточно задачу сформулировать в виде: «Най-ти точку...».

Следовательно, простейшими задачами на метод гео-метрических мест будут задачи вида: «На какой-либо фигуре найти точку, удовлетворяющую определенным условиям.

Метод осевой симметрии.

1. Осевая симметрия - это первый из видов движе-ния, преобразования, с которым учащиеся встречаются в систематическом курсе геометрии.

В настоящее время в геометрии большое значение имеют конструктивные навыки, при помощи которых учащиеся овладевают методами преобразования одних геометрических фигур в другие, и постепенно знакомятся с важной идеей геометрического преобразования, кото-рое является аналогом функциональной зависимости в геометрии.

Курсы алгебры и арифметики подчинены одной идее, идее функциональной зависимости. Мы стремимся воспи-тывать у учащихся функциональное мышление, умение находить законы связей между величинами. Подчинив курс геометрии идее геометрических преобразова-ний, аналогу функциональной зависимости, подчиняем все изложение курса математики одной руково-дящей идее.

В новой программе по геометрии значительное внима-ние уделено геометрическим преобразованиям, то есть таким операциям, когда каждой точке одной фигуры по некоторому закону ставится в соответствие определенная точка другой фигуры. В средней школе из геомет-рических преобразований рассматриваются различные виды движений, а также подобие фигур.

Изучение движения в средней школе принесет ощутимые плоды, если эти преобразования станут осно-вой курса геометрии, а не придатком, органически не связанным с ним. Движение должно служить одним из основных методов доказательства многих теорем геомет-рии в VI-VII классах. Более того, идея движения может быть положена в основу построения значительной части курса геометрии. Излагаемый материал приобретает кинематический характер, значительно облегчается по-нимание учащимися образования и построения геомет-рических фигур. Применяя понятие осевой симметрии, можно значительно усовершенствовать школьный курс геометрии. Например, применение свойств оси симметрии позволяет довольно просто изложить три признака ра-венства треугольников, специальные случаи равенства прямоугольных треугольников и ряд других тем из главы «Треугольники».

2. Различные виды движений дают возможность ре-шать практически важные задачи на построение, дока-зательство и задачи вычислительного характера. Поэтому все изложение должно сопровождаться упражнениями, среди которых предпочтение следует отдавать задачам на построение и на доказательство. Нужно решать и за-дачи на вычисление, особенно с практическим содержа-нием, но в большинстве случаев при решении таких за-дач геометрическая сторона вопроса в значительной сте-пени поглощается арифметическими и алгебраическими операциями.

3. Известно, что осознанные знания могут быть полу-чены только в процессе активной и творческой деятель-ности самостоятельно или под руководством учителя. При изучении осевой симметрии имеются большие возможности привлечь учащихся к формированию самого понятия. Действительно, учащиеся неоднократно наблю-дали в жизни примеры симметричных фигур, многие из таких предметов они рисовали или изготовляли на уро-ках в начальной школе и в V классе: вырезали симмет-ричные фигуры из бумаги, рисовали симметричные орнаменты, листья и цветы, изготовляли симметричные предметы из дерева и металла, применяя симметричные инструменты.

Анализируя эти знакомые учащимся примеры, осо-бенно примеры предметов, которые были объектом или орудием трудa учащихся в школьных мастерских, на уроках домоводства или общественно полезного труда, мы постепенно формируем представление о симметрич-ных фигурах.

Часть работ (изготовление мотыги, планки для граб-лей и т. п.), требующих построения точек, симметричных относительно определенной оси, учащиеся изготавливают до изучения соответствующего материала в курсе геометрии. поэтому при объяснении осевой симметрии, чтобы подчеркнуть значение этого понятия, в качестве симметричных фигур использовали пособия, изготовленные учащимися этого же класса в школьных мастерских, причем выбирали всегда два однотипных пособия 9молотки, стамески), одно из которых сделано аккуратно, точно по чертежу, а второе такое, у которого все размеры выдержаны, но нарушена симметричность. Совместными усилиями учащиеся выяснили, почему второе пособие получилось плохим, и как нужно было правильно сделать разметку.

4. В школьном курсе геометрии выражение «симмет-рия» имеет двоякий смысл: оно обозначает и вид движе-ния (преобразование) и свойство плоской фигуры, обла-дающей симметрией, которая при соответствующем дви-жении переходит сама в себя. Это различие мы должны учитывать, ибо в преподавании приходится иметь дело с каждым из этих истолкований симметрии. И одна из задач учителя - добиться того, чтобы учащиеся воспри-няли симметрию как один из способов преобразования одной фигуры в другую, а не как свойство неподвижной фигуры.

Поэтому после введения определения симметричных относительно оси точек, внимание учащихся переклю-чаем на практику построения взаимно симметричных относительно оси фигур, для чего решаем задачи вида:

1) Построить точку, симметричную данной точке от-носительно данной прямой.

2) Построить отрезок (прямую), симметричный дан-ному отрезку (прямой) относительно данной прямой.

3) Построить треугольник, симметричный данному треугольнику относительно данной прямой.

4) Построить окружность, симметричную данной ок-ружности относительно данной прямой.

5) Построить треугольник, симметричный данному прямоугольному треугольнику относительно а) его ка-тета; б) его гипотенузы.

При решении этих задач одновременно устанавливаем и равенство взаимно симметричных отрезков, углов и других фигур, иллюстрируя наши утверждения пере-гибанием чертежа по оси симметрии, что помогает най-ти и сделать понятным способ решения задачи. Напри-мер, при решении задач вида: «Даны две прямые. Най-ти на них точки, симметричные относительно третьей прямой» очень удобно нанести все три прямые на кальку и перегнуть чертеж по третьей прямой. Тогда решение задачи становится очевидным и понятным для всех учащихся. Таким же образом решаем задачи: а) Даны прямая и треугольник. Найти на одной прямой и на кон-туре треугольника точки, симметричные друг другу от-носительно другой прямой, б) Даны окружность и тре-угольник. Найти на окружности и на контуре треуголь-ника точки, симметричные друг другу относительно данной прямой.

Чтобы показать учащимся важность и необходимость умений и навыков в построении симметричных относительно оси точек, кроме разбора известных уже им при-меров, полезно выполнить разметку какого-нибудь из-делия, которое нужно будет изготовлять в ближайшее гремя.

5. Обучение должно вестись так, чтобы учащиеся усвоили знания не как изолированные, оторванные от других, а как подготовленные предшествующими зна-ниями, и которые естественно включаются в после-дующие. Поэтому в дальнейшем, где только возможно, следует использовать понятие и свойства осевой симмет-рии и правила построения симметричных фигур при изу-чении новых геометрических образов и при решении до-ступных учащимся задач на построение.

Знание свойств симметричных относительно оси фи-гур позволяет рассматривать решение основных задач на построение с помощью циркуля и линейки до изучения признаков равенства треугольников и понятия геометри-ческого места точек. Сами построения являются для учащихся понятными и естественными.

Действительно, чтобы построить точку, симметричную относительно некоторой прямой данной точке А, не ле-жащей на этой прямой, построим две окружности, про-ходящие через точку А с центрами в произвольных точ-ках О₁, и О₂ данной прямой. Так как для окружностей данная прямая является осью симметрии, то вторая их общая точка А₁ будет искомой точкой. Но этим самым мы решили и задачу: «Через точку А, не лежащую на данной прямой, пронести перпендикуляр к этой прямой,

Аналогичным образом решается и задача о построе-нии оси симметрии двух данных точек; одновременно по-лучаем решение задачи о делении данного отрезка по-полам.

Так как биссектриса угла есть ось симметрии его сторон, то для построения ее достаточно найти на сторонах угла две точки, симметричные относительно искомой оси, каковыми будут точки, находящиеся на равных расстояниях от вершины угла, принадлежащей оси симметрии. В результате задача свелась к предыдущей с той лишь разницей, что достаточно найти одну точку оси, так как вторая точка - вершина угла - нам известна.

Этим же построением решается и задача о проведении к прямой перпендикуляра через данную на ней точку, так как искомый перпендикуляр по существу есть биссектриса развернутого угла с вершиной в данной точке.

Применение осевой симметрии значительно упро-щает и облегчает усвоение таких разделов темы «Окруж-ность», как свойство диаметра, перпендикулярного к хорде, свойство дуг, заключенных между параллельными хордами. Без большой затраты времени можно тщатель-но рассмотреть весьма важный для приложений вопрос о взаимном расположении окружностей, если обратить внимание учащихся на симметричность общих точек двух окружностей относительно их линии центров. Уча-щиеся смогут самостоятельно указать необходимые и до-статочные условия касания двух окружностей, что нуж-но при изучении соответствующих геометрических мест центров окружностей, касающихся данной.

В VII-VIII классах метод осевой симметрии часто применяется вместе с другими методами.

Метод центральной симметрии.

1. В течение двух лет мы знакомили учащихся с цен-тральной симметрией примерно так, как в учебнике Н.Н. Никитина. Рассматривали построение и свойства точек, отрезков и треугольников, симметричных соответствующим данным фигурам относительно некоторой точки О. Затем рассматривали вопрос о центре симмет-рии параллелограмма, решая предварительно задачу: «Если в параллелограмме через точку О пересечения его диагоналей провести произвольную прямую, то отрезок прямой, заключенный между его сторонами, делится в точке О пополам». Получив соответствующий вывод о центре симметрии параллелограмма, вводим понятие центрально-симметричных фигур, подчеркивая, что каж-дой точке М фигуры, имеющей центр симметрии в точ-ке О, соответствует другая точка М₁ этой же фигуры, отстоящая от О на такое же расстояние, как и точка М, и лежащая на прямой МО.

Решали такие задачи на построение с применением центральной симметрии;

1) Построить треугольник по двум сторонам и ме-диане, проведенной к третьей стороне.

2) Дан угол и точка Р внутри него. Провести через эту точку прямую так, чтобы отрезок ее, заключен-ный между сторонами угла, делился в данной точке пополам.

У большинства учащихся не создавалось правильного представления о применении здесь центральной сим-метрии, они рассматривали эти решения, как решения задач дополнением искомых треугольников до паралле-лограммов.

Причины того, что это понятие оказалось трудным при таком изложении, следующие: во-первых, понятие центральной симметрии точек и фигур вводилось фор-мально, без активного участия учащихся в формирова-нии этого понятия; во-вторых, примеры задач на постро-ение для иллюстрации применения центральной симмет-рии подобраны неудачно; в-третьих, в курсе геометрии по установившейся традиции центральная симметрия не находит должного применения.

2. Результаты оказались значительно лучшими, когда понятие центральной симметрии начали вводить так же, как и понятие осевой симметрии. Объяснение этого по-нятия сопровождалось показом соответствующих на-глядных пособий, а также изделий, для которых учащи-еся данного класса выполняли разметку, принимая точку пересечения базисных линий за центр симметрии и от-кладывая на одной и той же прямой по разные от этой точки стороны равные отрезки.

Затем решаем задачи вида: «Построить точку (отре-зок, треугольник), симметричную данной точке (отрезку, треугольнику) относительно данного центра О», устанав-ливая одновременно равенство центрально-симметричных отрезков и треугольников. Чтобы учащиеся поняли, что любые центрально-симметричные фигуры равны, предлагаем им начертить произвольную прямолинейную фигуру и найти центрально-симметричную ей фигуру по отношению к некоторому центру. Поворачивая одну из них на 180^о около центра О, учащиеся убеждаются, что эти фигуры совпадают. Затем, как и в прежнем вариан-те, вводим понятие центрально-симметричных фигур, рас-сматривая предварительно симметрию параллелограмма. Чтобы показать приложение центральной симметрии к решению задач на построение, подбираем задачи, для решения которых требуется применить действительно центральную симметрию, а не дополнение до параллело-грамма.

Метод параллельного переноса.

В средней школе умножение движений не рас-сматривается, и мы не можем вводить параллельный перенос как произведение двух отражений около парал-лельных осей, а вынуждены исходить из свойств парал-лелограммов.

Целесообразно с параллельным переносом знакомить учащихся в процессе решения задач па построение при изучении темы «Четырехугольники».

Имеются задачи вычислительного характера и на доказательство, требующие проведения прямых, парал-лельных боковой стороне трапеции, или в которых уже проведена такая прямая, например:

1) В трапеции ABCD из вершины В проведена пря-мая, параллельная боковой стороне CD, до встречи в точке Е с большим основанием АD. Периметр треугольника АВЕ равен 1м, а длима ED равна 3дм. Определить периметр трапеции.

2) Доказать, что в равнобедренной трапеции углы при основании равны. Для решения этой задачи учащиеся проводят прямую, параллельную боковой стороне, чтобы свести доказываемое предложение к свойству равнобед-ренного треугольника.

Но перенос части фигуры, искусственно отделенной от других элементов, для учащихся более сложен, чем пере-нос всей фигуры. Поэтому можно было бы начинать с ре-шения задачи, требующей переноса окружности. В этих задачах очень простое построение, так как фактически нужно перемещать в заданном направлении на данное расстояние лишь одну точку - центр окружности. Но при таком решении учащиеся не видят, как перемещаются точки окружности, ибо допустимо вращение окружности около центра, а это может привести к неправильному пониманию параллельного переноса. Например, в изве-стном пособии И. И. Александрова первым примером на метол параллельного переноса является задача: «Между двумя окружностями провести отрезок ХУ, делящимся пополам в данной точке А». Приведенное там решение показывает, что вместо параллельного переноса окруж-ности фактически выполнено отражение от точки А, ко-торое можно в данном случае рассматривать как про-изведение параллельного переноса и поворота окруж-ности вокруг своего центра на 180°.

Таким образом, при решении задач па построение мы применяем метод параллельного переноса, сущность ко-торого состоит в следующем: при анализе какую-нибудь фигуру подвергаем параллельному переносу на некото-рое расстояние в определенном направлении, в результа-те чего получаем вспомогательную фигуру, построение которой или очевидно, или не представляет затруднений. После этого производим обратный перенос и получаем искомую фигуру. Здесь же разъясняем, что параллель-ный перенос фигуры на некоторое расстояние означает, что все ее точки смещаются на одинаковое расстояние в определенном направлении. Следовательно, для опре-деления параллельного переноса нужно знать направ-ление и величину переноса.

Параллельным перенос можно задать вектором переноса, которым одновременно определял бы и направле-ние и интервал данного переноса, но понятие вектора для семиклассников неизвестно, поэтому мы вынуждены выделять отдельно направление и величину переноса. В дальнейшем при решении всех задач па построение методом параллельного переноса требуем от учащихся указывать как направление переноса, так и расстояние, на которое перемещается каждая точка фигуры.

Метод подобия.

1. Понятие о подобии фигур в курсе геометрии VIII класса обычно иллюстрируется многочисленными примерами подобных фигур, встречающихся в быту, в науке и технике. Используется и имеющийся у учащихся опыт применения подобия при изготовлении планов и карт на уроках географии; при проведении мензульной съемки, если она была проведена до изучения этой темы; при выполнении рабочих чертежей на уроках черчения; при разметке деталей в школьных мастерских по черте-жам, выполненным в некотором масштабе.

Для лучшего усвоения метода подобия при изучении теоретического материала необходимо проводить подго-товительную работу, в частности, разъяснять, хотя бы в простейших случаях (треугольники, параллелограм-мы), условия, определяющие форму фигуры с точностью до подобия. Так как учащиеся должны уметь выполнять построения вспомогательных фигур, подобных искомым, то нужно повторить изученные ранее методы и приемы геометрических построений, в особенности, метод геомет-рических мест, что можно сделать при изучении пропор-циональности отрезков в связи с новым материалом.

Учащиеся, повторив материал, относящийся к методу геометрических мест, легче воспринимают метод подо-бия. При решении задач методом подобия, как и при ре-шении задач методом геометрических мест, отбрасываем одно из условий, в результате чего задача становится неопределенной. Ее решением при применении метода геометрических мест является бесконечное множество точек, удовлетворяющих оставшимся условиям, а в слу-чае метода подобия получаем бесконечное множество фигур, объединенных одним свойством; все они подобны искомой фигуре. Взяв одну из них, мы с помощью по-добного преобразования, учитывая ранее отброшенное условие, получаем искомую фигуру. Эта аналогия помо-гает лучше усвоить метод подобия.

2. При изучении понятия «центр подобия» и при построении многоугольника, подобного данному, разъясняем уча-щимся, что соответственные точки всегда лежат на одной прямой, проходящей через центр подобия, а прямая, не проходящая через центр подобия, преобразуется в парал-лельную ей прямую. После того как учащиеся ознакомят-ся с построением многоугольника, подобного данному, разбираем сущность метода подобия, решая несложную задачу, в которой были бы ярко выражены характерные признаки этого метода. Например: «Построить треуголь-ник, знай два его угла А и С и высоту h_b».

Эту задачу можно решить различными способами, например методом параллельного переноса или методом геометрических мест. Разобрав предлагаемые учащи-мися решения и повторив сущ-ность применяемых методов, указываем на возможность ре-шения еще одним способом: с применением подобия фигур.

Если не учитывать высоту искомого треугольника, то по двум данным углам мы можем построить бесконечное множество треугольников, но все они будут подобны искомому. Построим один из них, например треуголь-ник А₁В₁С₁ (рис. 50).

Рис. 50

Чтобы выяснить, будет ли он искомым, проведем высоту B_lD₁ и сравним ее с данной высотой. В общем случае полученная высота не будет равна данной. Если, например, B_lD₁ меньше данной высоты в два раза, значит, и стороны треугольника нужно увеличить в два раза, ибо сходственные высоты в подобных треугольниках относятся как сходственные стороны. Если высота B_lD₁ больше данной в несколько раз, тогда нужно во столько же раз уменьшить и стороны треугольника. Следовательно, треугольник А₁В₁С₁ нужно подобно преобразовать так, что-бы высота была равна данному отрезку h_b, для чего до-статочно определить коэффициент подобия и выбрать центр подобия. Коэффициент подобия равен отношению данной высоты к настроенной высоте B_lD₁, то есть . За центр подобия выберем, например, точку B₁, тогда очень легко построить точку, соответствующую точке D₁, для чего достаточно отложить отрезок B₁D = h_в. Проведя пря-мую СА || С₁А₁, получим искомый треугольник АВ₁С, который действительно удовлетворяет всем условиям задачи.

Построения, выполняемые с применением транспор-тира и треугольника, просты, доказательство и исследо-вание элементарны, и все внимание учащихся концен-трируется на уяснении сущности нового для них способа решения задач на построение.

Повторяем решение задачи: не учитывая высоты, по данным углам построили треугольник, подобный иско-мому; учитывая затем заданную высоту, подобно пре-образовали построенный треугольник в искомый. Такой способ решения задачи называется методом подобия. Этим методом можно решать лишь такие задачи па по-строение, условия которых можно разбить на две части, одна из которых определяет фигуру с точностью до по-добия (два утла треугольника), а вторая часть условия определяет размеры фигуры (высота).

Таким образом, метод подобия при решении задач на построение состоит в следующем; отбросив условие, определяющее размеры фигуры, по оставшимся усло-виям строим фигуру, подобную искомой; учитывая затем ранее отброшенное условие, подобно преобразовываем построенную фигуру в искомую.

Алгебраический метод.

1. Одним из важных методов, применяемых в школь-ном курсе геометрии, является алгебраический метод ре-шения задач на построение. Уже в VI-VII классах уча-щиеся неоднократно применяли алгебру при решении задач вычислительного характера и задач на доказатель-ство с целью упрощения решения. Алгебра дает очень удобный и хороший способ решения геометрических вопросов аналитическим путем.

В VI классе целесообразно рассказать, что некоторые сведения по алгебре были известны еще в глубокой древ-ности, но вопросы алгебры не отделя-лись от вопросов арифметики и геоме-трии. Позже греческие ученые, такие, как Пифагор, Евклид, которые занима-лись преимущественно геометрией, по-лучили значительные результаты и в алгебре. Но многие алгебраические то-ждества доказывались ими геометри-чески. На доске в качестве примера ил-люстрируем доказательство тождества: (a + b)² = a² + 2ab + b² (рис. 56).

Рис. 56

Площадь квадрата, построенного на сумме отрезков а и b, равна сумме площадей двух квадратов со сторо-нами а и b и площадей двух прямоугольников со сторо-нами а и b. В IX в. н. э. узбекский

ученый Мухаммед-бен-Муса ал-Хорезми написал книгу «Хисаб ал-джебр вал-мукабала», появление которой явилось как бы мо-ментом оформления науки алгебры. В дальнейшем ал-гебра получила свое самостоятельное развитие и начала оказывать большую помощь при решении различных за-дач других математических дисциплин, в том числе и ге-ометрии.

2. Алгебраический метод решения задач на построе-ние рассматривается как дальнейшее расширение приме-нения алгебры к геометрии. Как известно, он состоит в следующем. Предположив задачу решенной: 1) Устанав-ливаем, какой или какие отрезки (в редких случаях углы или дуги) нужно определить, чтобы решить задачу, и обозначаем длины этих отрезков через х, y, z, ..., а длины данных отрезков - через а, b, с, …, то есть вводим обозначения. 2) Из условия задачи, пользуясь из-вестными геометрическими соотношениями между иско-мыми и данными отрезками, составляем уравнение или систему уравнений. 3) Решаем это уравне-ние или систему уравнений. 4) Исследуем получен-ные формулы для неизвестных отрезков по условию задачи. 5) Строим с помощью инструментов искомые отрезки, выраженные полученными формулами через данные отрезки. После того как неизвестные построены, выполняем построения, которые окончили бы решение, проводим доказательство и исследование.

Первые четыре этапа известны учащимся, так как при решении геометрических задач на вычисление и алгеб-раических на составление уравнений всегда выделялись такие же этапы. Это говорит о том, что задачи на по-строение, решаемые таким методом, можно рассматри-вать как обобщение задач вычислительного характера, а с другой стороны, при применении алгебраического ме-тода всякая задача на построение заменяется вначале задачей на вычисление, так что каждая задача на постро-ение, решаемая этим методом, является, по существу, и задачей на вычисление.

4. Целесообразность рассмотрения этого метода в средней школе не определяется только тем, что учащиеся ознакомятся с еще одним видом задач, для ре-шения которых применяется алгебра. Алгебраический метод решения отдельных, даже сложных задач на по-строение более доступен учащимся, ибо достаточно по-лучить соответствующую формулу для определения иско-мой величины, чтобы стало ясным все решение задачи.

Алгебраический метод позволяет легко установить условия возможности решения задачи, а также наличие определенного числа решений при тех или иных значе-ниях и положениях данных.

5. Однако в средней школе не следует чрезмер-но увлекаться этим методом за счет других важных раз-делов. Нужно решать доступные и интересные для учащихся задачи.

2.3. Влияние задач на построение на развитие логического

мышления.

В программе по математике для средней общеобразовательной школы, разработанной в соответствии с Основными направлениями реформы общеобразовательной и профессиональной школы, подчеркивается, что развитие логического мышления учащихся является одной из основных целей курса геометрии.

При изучении геометрии развитие логического мышления учащихся осуществляется в процессе формирования понятий, доказательства теорем, решения задач.

При изучении геометрических построений, прежде всего, приходится преодолевать трудности логического порядка. В условиях школы для преодоления этих трудностей совершенно необходимо сопровождать логические конструкции фактическими построениями при помощи определенных инструментов (линейка, чертежный треугольник, циркуль),а также изображениями, выполняемыми от руки.

Весь процесс решения задачи на построение сопровождается выполнением соответствующих чертежей («чертеж-задание», «чертеж-набросок», «чертеж-построение», «чертеж для исследования»).

Решение задач на построение развивает логическое и активное мышление учащихся. Ни одни задачи не содействуют так развитию в учениках наблюдательности и правильности мышления, представляя в то же время для них и наибольшую привлекательность, как геометрические задачи на построение.

Действительно, задачи вычислительного характера в планиметрии, не требующие в большинстве своем вспомогательных построений и сложных логических рассуждений, служат для закрепления фактического материала: формулировок теорем, свойств фигур и т.п. чтобы развивать логическое мышление учащихся, а этим сделать их знания более систематизированными, прочными и глубокими, решаются задачи на доказательство.

Большое значение для логического развития учащихся имеют и задачи на построение. Наличие анализа, доказательства и исследования при решении большинства таких задач показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать. При решении задач на построение они имеют дело не с конкретной определенной фигурой, а должны создать необходимую фигуру, подвергающуюся различным изменениям в процессе решения. Вскрывая взаимосвязи между данными элементами, видим, как с изменением одних изменяются другие и даже вся фигура.

Весь комплекс, состоящий из четырех стадий решения задач на построение (анализ, построение, доказательство, исследование), является хорошей школой решения и исследования проблем в области точных наук. В процессе решения таких задач развивается внимание, настойчивость, инициатива и изобретательность.

Логические трудности главным образом связаны с проведением анализа и исследования задачи. Известные методы решения задач на построение изучаются здесь, прежде всего как средства анализа.

3. ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ЭКСПЕРИМЕНТ

3.1. Замысел эксперимента. Программа эксперимента.

Среди учащихся 10-го класса был проведен тест на выполнение логических операций над геометрическими объектами.

Тест предназначен для выявления умения выполнять основные логические операции над геометрическими фигурами (аналогии, классификации, построение закономерности) и рассчитан на ра-боту с учащимися старших классов, студентами математических факультетов.

Материалом заданий являются плоские геометрические фигуры (углы, многоугольники, окружности, комбинированные формы).

Данные тестирования могут использоваться преподавателями математики, практическими психологами для отбора в математи-ческие классы и школы для разработки коррекционных обучаю-щих программ в целях дифференциации учащихся.

Тест предназначен для диагностики умственного развития уча-щихся подросткового и юношеского возраста; позволяет выявлять индивидуально-психологи-ческие различия в овладении логиче-скими операциями с геометрическими объектами. Он со-держит три набора заданий (субтестов) на выполнение «анало-гии», «классификации», «закономерности построения» геомет-рических объектов, в качестве которых выступают углы, треу-гольники, четырехугольники, неоднородные «комбинированные фигуры». Каждый субтест состоит из 12 вариантов заданий, отли-чающихся усложнением материала.

OCHOBHOE СОДЕРЖАНИЕ И НАЗНАЧЕНИЕ ТЕСТА

Как уже отмечалось, предлагаемый тест может быть использован для диагностики умственного развития учащихся. Критерием этого развитая служит успешность (правильность) выполнения логических операций: «аналогии», «классификации», «закономерности построения» геометрических объектов. Работа с тестом предполагает, что испытуемый знает основные признаки (свойства) геометриче-ских фигур, умеет ими пользоваться. Однако тест не предусматрива-ет проверку программных требований к усвоению учебного матери-ала (знания теорем, аксиом, правил решения задач и т.п.). Он не ориентирован также на проверку графических знаний, умений. Все задания теста даются в готовом виде. Испытуемый выполняет требу-емые логические операции, опираясь на восприятие объектов (в виде плоскостных изображений), заданных графически.

Выполнение заданий теста предполагает мысленное преобразование геометрических объектов. Однако содержание и характер этих преобразований теста не определяется построением задания. По-этому испытуемый может придти к правильному ответу, исполь-зуя различные мысленные преобразования. При групповом тести-ровании определяется количество правильно выполненных зада-ний в целом и в каждом субтесте отдельно. Учитывается также вре-мя, затраченное на выполнение, как отдельного задания, так и общего их объема. При индивидуальном тестировании можно оце-нить не только результативность выполнения заданий теста, но и сам процесс работы. Например, установить, как выполняет испы-туемый геометрические преобразования объектов: ориентируется на изменение величины, пространственного положения объектов, осуществляет повороты, достраивание фигуры, произвольно выделяет вписанные и описанные фигуры, меняет соотношение «фи-гуры и фона» и т.д. Получение таких сведений о работе испытуе-мых важно для выявления их индивидуальных возможностей для построения коррекционного обучения. Однако это связано с использованием дополнительных методов: специально организован-ной беседы, контролем за каждым этапом выполняемого преобразования, их анализом, что не может (и не должно) обеспечиваться групповым тестированием.

Данный тест разработан как групповой. Он позволяет выявлять и оценивать каждого учащегося по общей результативности его рабо-ты. Однако очень высокие (низкие) результаты могут быть подверг-нуты более тщательному и содержательному анализу, что требует индивидуальной работы экспериментатора с каждым учащимся.

Своим содержанием тест «ЛОГО» обеспечивает анализ успеш-ности выполнения трех основных логически операций.

В первом субтесте («аналогия») испытуемому предлагается три однородных геометрических объекта. Между первым и вторым объек-тами имеется определенная связь, которую испытуемый должен выявить. Сообщается, что между третьим и одним из четырех объектов, предлагаемых на выбор, существует аналогичная связь. Испытуемый должен найти из четырех объектов тот, который соответствует по аналогии третьему. Этот субтест содержит четыре варианта заданий, отличаю-щихся типом геометрических объектов, каждый из которых представлен в трех различных видах.

Во втором субтесте («классификация») предлагается пять геометрических объектов, четыре из которых объединены одним общим признаком. Пятый («лишний») объект, который не подходит к остальным, нужно найти. Субтест также имеет несколько вариантов заданий, отличаю-щихся типом геометрических объектов, представленных различным образом.

В третьем субтесте испытуемому предлагается три геометрических объекта, расположенных в определенной закономерности. Необходимо найти и использовать эту закономерность, подобрать к трем объектам четвертый, который продолжал бы данную закономерность. Субтест содержит четыре варианта заданий, отличаю-щихся постепенным усложнением типа геометрического объекта (один объект, их сочетание, сложность конфигурации).

Таким образом, каждый субтест включал 12 заданий. Одна фор-ма теста состояла из 36 заданий. Всего по двум эквивалентным формам было разработано 72 задания.

Тест «ЛОГО» позволяет дифференцировать учащихся по уме-нию выполнять основные логические операции над геометриче-скими объектами (фигурами), что является существенным для ов-ладения математикой. Он может использоваться при отборе уча-щихся в математические школы, классы с углубленным изучени-ем этого предмета, для оценки логического мышления учащихся. Поскольку оперирование геометрическими объектами существен-но не только при усвоении математики, но составляет основу про-екционного черчения, тест может использоваться на занятиях гра-фическими дисциплинами.

На работу с тестом отводится 45 минут. Перед началом работы сообщается ее цель и порядок.

3.2. Описание проведения эксперимента и его результаты.

Описание и пример работы с субтестом 1.

Вам предлагаются три геометрических объекта. Между первым и вто-рым объектом существует определенная связь. Между третьим и одним из четырех объектов, предлагаемых на выбор, существует аналогичная, та же самая связь. Этот геометрический объект вам следует найти и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Правильный ответ - г). Его нужно записать.

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 1

1
2
3

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 2.

1
2
3

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 3.

1
2
3

СУБТЕСТ 1. ЗАДАНИЕ 4.

1
2
3

Описание и пример работы с субтестом 1.

Вам предлагаются ПЯЧЬ геометрических объектов. четыре из них объединены общим признаком. пятый объект к ним не подходит. Его нужно найти и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Правильный ответ - в. Его нужно записать.

СУБТЕСТ2. ЗАДАНИЕ 1

1
2
3

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 2.

1
2
3

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 3.

1
2
3

СУБТЕСТ 2. ЗАДАНИЕ 4.

1
2
3

Описание и пример работы с субтестом 3.

Вам предлагаются три геометрических объекта, расположенных на основе определенной закономерности. Вам нужно выбрать из представленных внизу вариантов ответов четвертый объект, который продолжал бы данную закономерность построения геометрического ряда, и написать на листке бумаги соответствующую ему букву.

Пример:

Правильный ответ - а. Его нужно записать.

ФОРМА А. СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 1.

1
2
3

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 2.

1
2
3

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 3.

1
2
3

СУБТЕСТ 3. ЗАДАНИЕ 4.

1
2
3

КЛЮЧ К РЕШЕНИЮ ЗАДАНИЙ

Обработка результатов тестирования

По итогам количественной обработки теста получили следующие результаты:

Фамилия учащегося	Кол-во правильно выполненных заданий	Процентное отношение
Антонова К.	10	28%
Колосова Н.	10	28%
Михайлюк К.	18	50%
Назарова А.	20	56%
Петрова К.	16	44%
Платонова Ю.	21	58%
Трофимова О.	12	33%

Далее мы провели качественную обработку тестирования, выяснив:

1. Вид заданий (на величину, форму и тип оперирования образами), который вызывает наибольшее количество ошибок;

2. Вид деятельности (создание образа, оперирование образами), вызывающий наибольшее количество ошибок.

По результатам качественного анализа мы выделили задания, которые при решении вызывают у учащихся трудности. В течение трех недель мы с учащимися разбирали и прорешивали задания, подобные заданиям из теста «ЛОГО».

В конце третьей недели тест «ЛОГО» был проведен повторно и получили следующие результаты.

Фамилия учащегося	Кол-во правильно выполненных заданий	Процентное отношение
Антонова К.	25	69%
Колосова Н.	23	64%
Михайлюк К.	32	89%
Назарова А.	28	78%
Петрова К.	25	69%
Платонова Ю.	34	94%
Трофимова О.	30	83%

Сравнив результаты первого и второго тестирования можно сделать вывод: при периодическом стимулировании логического мышления процент его развития повысился.

Таким образом, чтобы максимально повысить процент развития логического мышления, нужно непрерывно выполнять стимулирующие упражнения, увеличивая их сложность.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Изучив и проанализировав психологическую и методическую литературу мы выполнили следующие задачи:

1. Выделили пути развития математического мышления учащихся;

2. Дали характеристику задач на построение и описали их влияние на развитие логического мышления школьников;

3. Разработали систему уроков с рекомендациями по развитию логического мышления через решение задач на построение.

В результате наблюдения за учебной деятельностью учащихся в 7-9 классах общеобразовательной школы можно подвести итоги: геометрические построения играют серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащихся как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися.

Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии.

Наличие анализа, доказательства и исследования при решении задач на построение показывает, что они представляют собой богатый материал для выработки у учащихся навыков правильно мыслить и логически рассуждать.

В результате проведенного педагогического эксперимента можно сделать вывод о том, что развитию логического мышления у учащихся способствует систематическое нарешивание, начиная с простейших, постепенно переходя к более сложным заданиям.

Задачи на построение - это задачи, которые значительно чаще других поражают красотой, оригинальностью и во многих случаях простотой найденного решения, что вызывает к ним повышенный интерес.

БИБЛИОГРАФИЯ

Александров, А.Д. Геометрия: Учебное пособие для студ. вузов, обучающихся по спец. «Математика» / А.Д. Александров, Н.Ю. Нецветаев. - М.: Наука, 1990. - 672 с.

Александров, А.Д. Основание геометрии: Учеб. пособие для вузов по спец. «Математика». - М.: Наука, 1987. - 288 с.

Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями. Пособие. Изд. 19-е, - М.: УЧПЕД ГИЗ, 1954. - 176 с.

Антонов, Н.С. Современные проблемы методики преподавания математики: Сб. статей. Учебное пособие для студентов мат. и физ.-мат. спец. пед. ин-тов / Сост. Н.С. Антонов, В.А. Гусев. - М.: Просвещение, 1985. - 304 с.

Аргунов, Б.И. Геометрические построения на плоскости. Пособие. / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: УЧПЕД ГИЗ, 1955. - 268 с.

Атанасян, Л.С. Курс элементарной геометрии. Ч I. Планиметрия.: Учебное пособие. / Л.С. Атанасян и др.

Блудов, В.В. К изучению темы «Геометрические построения» (в школе) / В.в. Блудов // Математика в школе. - 1994 - №4 - с. 14-15.

Боженкова, Л.И. Алгоритмический подход к задачам на построение методом подобия / Л.И. Боженкова // Математика в школе. - 1991 - №2 - с. 23-25.

Брушлинский, А.В. Общая психология: Учеб. пособие для студентов пед. ин-тов / А.В. Брушлинский, В.П. Зинченко, А.В. Петровский и др.; Под редакцией А.В. Петровского - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Просвещение, 1986. - 464 с., ил.

Брушлинский, А.В. Психология мышления и проблемное обучение. - М.: Знание, 1983. - 96 с.

Буловацкий, М.П. Разнообразить виды задач: [О развитии мышления на уроках математики] // Математика в школе. - 1988 - №5 - с. 37-38.

Варданян, С.С. Задача оп планиметрии с практическим содержанием: Книга для учащихся 6-8 классов средней школы. / под ред. В.А. Гусева. - М.: Просвещение, 1989.

Векслер, С.И. Найти и преодолеть ошибку: [О развитии мышления школьников на уроках математики] // Математика в школе. - 1989 - №5 - с. 40-42.

Виноградова, Л.В. Методика преподавания математики в средней школе: учеб. пособие / Л.В. Виноградова - Ростов-на-Дону: Феникс, 2005 - 252 с., ил.

Груденов, Я.И. Психолого-дидактические основы методики обучения математике. - М.: Педагогика, 1987.

Груденов, Я.И. Совершенствование методики работы учителя математики - М.: просвещение, 1990. - 224 с., ил

Гусев, В.А. Методика обучения геометрии / В.А. Гусев, В.В. Орлов, В.А. Панчищина и др.; под ред. В.А. Гусева. - М.: Издательский центр «Академия» - 2004. - 368 с.

Гусев, В.А. Преподавание геометрии в 6-8 классах: Сб. статей / Сост. В.А. Гусев - М.: Просвещение, 1979. - 287 с.

Далингер, В.А. Чертеж учит думать: [К методике шк. курса геометрии] // Математика в школе. - 1990 - №4 - с. 32-36.

Дьюи, Дж. Психология и педагогика мышления - М.: Просвещение, 1999.

Зетель, С.И. Геометрия линейки и геометрия циркуля, 1957.

Клименченко, Д.В. Задачи на построение треугольников по некоторым данным точкам. / д.В. Клименченко, Т.Д. Цикунова // Математика в школе. - 1990 - №1 - с. 19-21.

Костовский, А.Н. Геометрические построения одним циркулем, 1984.

Кушнир, И.А. Об одном способе решения задач на построение. // Математика в школе. - 1984 - №2 - с. 22-25.

Мазаник, А.А. Задачи на построение по геометрии в восьмилетней школе, 1967.

Маслова, Г.Г. Методика обучения решению задач на построение в восьмилетней школе, 1961.

Мишин, В.И. Методика преподавания математики в средней школе: Частная методика; сост. В.И. Мишин. - М.: Просвещение, 1987. - 414 с.

Никитина, Г.Н. проверим построение. // Математика в школе. - 1988 - №2 - с. 55-56.

Овезов, А. Особенности рассуждений в приложениях математики: [О развитии логического мышления на уроках математики] // Математика в школе. - 1991 - №4 - с. 45-48.

Петров, К. Метод гомотетии в решении задач // Математика в школе. - 1984 - №1 - с. 63-64.

Пичурин, Л.Ф. Воспитание школьников в процессе обучения математике: из опыта работы. Сборник / сост. Л.ф. Пичурин - М.: Просвещение, 1981 - 159 с.

Погорелов, А.В. Геометрия в 7-9 классах: (Метод. рекомендации к преподаванию курса геометрии по учеб. пособию А.В. Погорелова): Пособие для учителя. - М.: Просвещение, 1990 - 334 с., ил.

Погорелов, А.В. Геометрия: Учебник для 7-11 классов средней школы. - 4-е изд. - М.: Просвещение, 1993 - 383 с.

Погорелов, А.В. Элементарная геометрия / А.В. Погорелов. - 3-е изд., доп. - М.: «Наука», 1977 - 279 с., ил.

Сенников, Г.П. Решение задач на построение в VI-VIII классах: пособие для учителей, 1955.

Смогоржевский, А.С. Линейка в геометрических построениях, 1957.

Степанов, В.Д. Актуальные вопросы обучения геометрии в средней школе: Межвуз. сб. науч. тр / Владимир. гос. пед. ин-т им. П.И. Лебедева-Полянского; [ред. кол.: В.Д. Степанова (отв. ред.) и др.] - Владимир: ВГПИ, 1989 - 94 с., ил.

Столяр, А.А. Методика преподавания математики в средней школе: Общая методика / Учеб. пособие по спец. «Математика» и «Физика»; сост. А.А. Столяр, Р.С. Черкасов. - М.: просвещение, 1985 - 336 с.

Тесленко, И.Ф. О преподавании геометрии в средней школе: (По учеб. пособию А.В. Погорелова «Геометрия 6-10») Кн. для учителя. - М.: Просвещение, 1985 - 95 с., ил.

Фетисов, А.И. Методика преподавания геометрии в старших классах средней школы / под ред. А.И. Фетисова: пособие для учителя - М.: Просвещение, 1967 - 272 с.

Фурман, А.В. влияние особенностей проблемной ситуации на развитие мышления учащихся. // Вопросы психологии, 1985 - №2 - с. 68-72.

Четверухин, Н.Ф. Изображение фигур в курсе геометрии: пособие для учителей и студентов - М.: УЧПЕД ГИЗ, 1958.

Четверухин, Н.Ф. Методы геометрических построений, 1952.

Чистякова, Г.Д. Мышление: его закономерности и условия развития. // Биология в школе - 1989 - №5 - с. 18-21.

Чистякова, Г.Д. Учить думать: [О развитии мышления школьников] // Биология в школе - 1989 - №6 - с. 23-26.

Шерпаев, Н.В. Графическая система для геометрических построений. // Математика в школе. - 1988 - №5 - с. 44-48.

Якиманская, И.С. Знания и мышление школьника. - М.: Знание, 1985 - 80 с.

Якиманская, И.С. Психологические основы математического образования: учеб. пособие для студ. вузов - М.: Академия, 2004 - 319 с.

ПРИЛОЖЕНИЯ

ТЕМА 1. ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ.

ПОСТРОЕНИЕ ТРЕУГОЛЬНИКА С ДАННЫМИ СТОРОНАМИ (1 Ч)

Комментарий для учителя

В результате изучения пунктов учащиеся должны:

знать алгоритм решения задачи па построение треугольника по трем сторонам;

уметь его применять при решении конкретных задач с числовы-ми или геометрически заданными условиями.

Методические рекомендация к изучению материала

Учащиеся уже знакомы из курса математики VI класса с ре-шением задачи на построение треугольника по трем сторонам. По-этому изучение нового материала можно начать с решения зада-чи 17 (1):

«Постройте треугольник с данными сторонами а = 2 см, b = 3 см, с =4 см».

Построенный треугольник обозначить ДАВС, обратив внима-ние учащихся на традиционное соответствие обозначений, - сто-рона а лежит против угла А, b -против В, с - против С.

Затем можно показать учащимся, что стороны треугольника могут быть заданы геометрически - данными отрезками а, b, с (рис. 1), и разобрать с ними общий алгоритм решения задачи.