Эконометрика. Корреляционный анализ

Размещено на http://www.allbest.ru

Задача 11

По данным основных показателей производства с/х предприятий:

а. Построить график зависимости между двумя признаками, определив какой из них будет результативным, а какой факторным;

б. Установить тип зависимости и МНК, определить параметры уравнений регрессии (линейного степенного, показательного и т. п.);

в. Оценить тесноту связи;

г. Оценить качество и адекватность уравнений регрессии;

д. Оценить статическую зависимость.

Зависимость изучить по следующим парам признаков (не менее 5 предприятий):

число работников предприятия и валовый доход.

регрессия уравнение корреляция детерминация

Дано:

№ п/п	Число работников, сот. чел	Валовый доход, млн. руб
1	12,8	9,1
2	4,3	9,1
3	4,2	5,2
4	4,8	2,7
5	7,8	1,0
6	9,0	7,6
7	3,5	2,9
8	6,2	7,9
9	8,1	3,5
10	1,7	0,6
11	5,7	8,6
12	11,3	18,8
13	3,0	1,7
14	4,0	1,6
15	4,2	9,3
16	4,6	2,8
17	2,4	0,2
18	7,4	3,1
19	3,9	2,8
20	4,4	2,0

Решение.

Предварительный анализ:

Построим поле корреляции - по оси абсцисс откладываем значения фактора Х - числа работников, по оси ординат - валовый доход.

Разброс точек очень большой

Поэтому для рассмотрения возьмем предприятия №№ 1, 4, 6, 8, 10, 13, 19.

№ п/п	Число работников, сот. чел	Валовый доход, млн. руб
1	1	12,8	9,1
2	4	4,8	2,7
3	6	9,0	7,6
4	8	6,2	7,9
5	10	1,7	0,6
6	13	3,0	1,7
7	19	3,9	2,8

1. Построение регрессионных моделей

Построение уравнения регрессии сводится к оценке его параметров. Классический подход - применение метода наименьших квадратов (МНК). При этом сумма квадратов отклонений фактических значений результативного признака у от теоретических значений должна быть минимальной, т. е

.

А. Линейная модель

Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида

= a + b ? x или y = a + b ? x + е .

Уравнение вида _х = a + b ? x позволяет по заданным значениям

фактора x находить теоретические значения результативного признака,

подставляя в него фактические значения фактора x .

Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров -

a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной

регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК

позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма

квадратов отклонений фактических значений результативного признака

y от теоретических ?yx минимальна:

.

Для оценки параметров необходимо вычислить суммы

.

Составим таблицу:

Вспомогательные расчеты для линейной регрессионной модели
№ п/п	Х	У	Х^2	Y^2	XY	У*	(У-У*)	(У-У*)^2	A
1	12,8	9,1	163,84	82,81	116,48	10,2446	-1,1446	1,31013	12,5781
2	4,8	2,7	23,04	7,29	12,96	3,71975	-1,0198	1,03989	37,7686
3	9	7,6	81	57,76	68,4	7,1453	0,4547	0,20675	5,98288
4	6,2	7,9	38,44	62,41	48,98	4,8616	3,0384	9,23186	38,4607
5	1,7	0,6	2,89	0,36	1,02	1,19137	-0,5914	0,34972	98,5618
6	3	1,7	9	2,89	5,1	2,25166	-0,5517	0,30433	32,4506
7	3,9	2,8	15,21	7,84	10,92	2,98571	-0,1857	0,03449	6,63236
Итого	41,4	32,4	333,42	221,36	263,86	32,4	9,4E-15	12,477	232,435
Среднее	5,91429	4,62857	47,6314	31,6229	37,6943			1,782	38,7392
Уравнение линейной регрессии
ух =	3,55706		уy =	3,19362
b=	0,81561		a=	-0,1952
	у = -0,1952 + 0,81561х

Основные формулы:

у_х = = = 3,55706

у_у = = = 3,19362

b = = = 0.8156

a = - b = 4.62857 - 0.8156*5.91429 = - 0.1952

у = -0,1952 + 0,81561х

Значение коэффициента регрессии b показывает, что увеличение числа работников (х) на 100 человек приводит к росту валовой продукции (у) в среднем 0,81561 млн. руб.

Для характеристики изменчивости результативного признака часто используют относительную скорость изменения, называемой темпом изменения Т (логарифмической производной) или безразмерный показатель - эластичность или среднюю эластичность, которая характеризует изменчивость результативного признака в % при вариации на 1% от среднего уровня:

Т = = (lny)'; Э = '; = (

Для линейной модели:

= (a + bx)' Э = = b

В нашем случае:

Э =

= = 1,042%

Таким образом, при увеличении числа работников на 1% от среднего уровня валовая продукция увеличится на 1,042%.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = -0.1951671 + 0.815607x

Стандартное отклонение: 1,442057;

R² = 0.8252358

Б. Степенная модель

Перед построением степенной модели y = ax^b произведем линеаризацию путем логарифмирования обеих частей уравнения:

lg y = lg a + b*lg x

Y = C + bX

где У = lg y X = lg x C = lg a

Вспомогательные расчеты для степенной регрессионной модели
№ п/п	Х	У	Х^2	Y^2	XY	У*	(У-У*)	(У-У*)^2	A
1	1,10721	0,95904	1,22591	0,91976	1,06186	1,1001	-0,141063042	0,01989878	14,7088
2	0,68124	0,43136	0,46409	0,18607	0,29386	0,50482	-0,073453831	0,00539547	17,0283
3	0,95424	0,88081	0,91058	0,77583	0,84051	0,88633	-0,00552042	3,0475E-05	0,62674
4	0,79239	0,89763	0,62788	0,80573	0,71127	0,66015	0,237477904	0,05639575	26,4562
5	0,23045	-0,2218	0,05311	0,04922	-0,0511	-0,1252	-0,096688807	0,00934873	43,5832
6	0,47712	0,23045	0,22764	0,05311	0,10995	0,21956	0,010886863	0,00011852	4,7242
7	0,59106	0,44716	0,34936	0,19995	0,2643	0,3788	0,068361332	0,00467327	15,288
Итого	4,83372	3,6246	3,85858	2,98968	3,23063	3,6246	4,996E-16	0,095860998	122,415
Среднее	0,69053	0,5178	0,55123	0,49828	0,46152	0,5178	7,13715E-17		17,4879
Уравнение степенной регрессии
уx=	0,27275		уy=	0,47975
b=	1,39749		C =	-0,4472
	Лианеризованное уравнение
	Y = -0,4472 + 1,39749X

Выполняем потенцирование линеаризованного уравнения и получаем искомую степенную модель:

у = 10^-0,4472 * х^1,3975 = 0,3571х^1,3975

эластичность:

Э = (а = = b = 1,39749 %

Эластичность степенной модели постоянна и совпадает с коэффициентом регрессии b.В нашем случае увеличение числа работников на 1% приводит к увеличению валовой продукции на 1,4%.

В. Показательная модель.

Построение уравнения показательной кривой у = aпредшествует процедурв линеаризации путем логарифмирования обеих частей уравнения

lg y = lg a + x*lg b

Y = C + Bx

где Y = lg y B = lg b C = lg a

Составляем таблицу в Excel:

Вспомогательные вычисления для показательной регрессионной модели
№ п/п	х	У	x^2	Y^2	xY	У*	(У-У*)	(У-У*)^2	A
1	12,8	0,95904	163,84	0,91976	12,2757	1,17552	-0,216482034	0,046864471	22,5728
2	4,8	0,43136	23,04	0,18607	2,07055	0,41136	0,019999664	0,000399987	4,63638
3	9	0,88081	81	0,77583	7,92732	0,81255	0,068265846	0,004660226	7,75032
4	6,2	0,89763	38,44	0,80573	5,56529	0,54509	0,352535109	0,124281003	39,2741
5	1,7	-0,2218	2,89	0,04922	-0,3771	0,11525	-0,337101111	0,113637159	151,951
6	3	0,23045	9	0,05311	0,69135	0,23943	-0,00897933	8,06284E-05	3,89645
7	3,9	0,44716	15,21	0,19995	1,74392	0,3254	0,121761856	0,014825949	27,2302
Итого	41,4	3,6246	333,42	2,98968	29,897	3,6246	6,93889E-16	0,30475	257,311
Среднее	5,91429	0,5178	47,6314	0,4271	4,271	0,5178	9,91271E-17		36,7587
Уравнение показательной регрессии
уx =	3,557057		уy =	0,479752
В =	0,09552		A =	-0,04713
Y = -0,04713 + 0,09552*x

Произведем потенцирование полученного уравнения

у = 10^-0,04713 10^0,09552х = 0,897*1,246^х

Эластичность:

Э = (а = = xb

= = 1.3 %.

Г. Гиперболическая модель.

Уравнение равносторонней гиперболы: у = а + b* преобразуем заменой z = к виду: у = а + b*z

Составляем таблицу в Excel:

Вспомогательные расчеты для гиперболичкой регрессионной модели
№ п/п	z	y	z^2	y^2	zy	y*	(y - y*)	( y - y*)^2	A
1	0,07813	9,1	0,0061	82,81	0,71094	7,4739	1,626104738	2,64421662	17,8693
2	0,20833	2,7	0,0434	7,29	0,5625	5,29451	-2,594505902	6,731460877	96,0928
3	0,11111	7,6	0,01235	57,76	0,84444	6,92178	0,678216709	0,459977905	8,9239
4	0,16129	7,9	0,02601	62,41	1,27419	6,0819	1,818101813	3,305494202	23,0139
5	0,58824	0,6	0,34602	0,36	0,35294	-1,0642	1,664183052	2,76950523	277,364
6	0,33333	1,7	0,11111	2,89	0,56667	3,20229	-1,502292117	2,256881606	88,3701
7	0,25641	2,8	0,06575	7,84	0,71795	4,48981	-1,689808293	2,855452066	60,3503
Итого:	1,73684	32,4	0,61074	221,36	5,02963	32,4	1,08802E-14	21,023	571,984
Среднее:	0,24812	4,62857	0,08725	31,6229	0,71852	4,62857	1,55431E-15		81,712
Уравнение гиперболической регрессии
уz =	0,16027		уy =	3,19362
b =	-16,738		a =	8,78153
y = 8,7815 - 16,7377(z)

Получаем гиперболическую модель:

у = 8,7815 - 16,7377

Оценим эластичность:

Э = = = =

= 0.61 %

2. Оценка тесноты связи, качества и точности модели

Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции r_xy, который можно рассчитать по следующим формулам:

r_xy, = = r_xy, = b

Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: [-1; 1] . Чем ближе абсолютное значение r_xy к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при r_xy = ±1 имеем строгую функциональную зависимость). Но следует иметь в виду, что близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.

При нелинейных зависимостях лучше использовать другой показатель - индекс корреляции , тесно связанный с коэффициентом детерминации R²:

=

где = - общая дисперсия результативного признака у;

= - остаточная дисперсия

Величина данного показателя находится в пределах: 0 ? с_xy ?1.

Чем ближе значение индекса корреляции к единице, тем теснее связь рассматриваемых признаков, тем более надежно уравнение регрессии.

Квадрат индекса корреляции носит название индекса детерминации и характеризует долю дисперсии результативного признака y , объясняемую регрессией, в общей дисперсии результативного признака:

,

О качестве модели можно судить по относительным ошибкам (ошибкам аппроксимации). Нежелательно, чтобы относительные ошибки превышали 8 - 10% от уровня наблюдаемых у.

А. Линейная модель 

r_xy = b = 0,81561 = 0,908

так как r_xy 0,7 и положителен, то связь прямая и очень сильная.

Определим коэффициент детерминации:

R² = 1 - = r_xy² = 0.8245

Изменение валового выпуска с/х продукции на 90,8% объясняется вариацией числа работников. Доля неучтенных факторов составляет 100 - 82,45 = 17,55%.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = -0.1951671 + 0.815607x

Расчетная в задании: Y(x) = -0.1952 + 0.815617x

Стандартное отклонение: 1,442057;

R² = 0.8252358

Б. Степенная модель

Индекс корреляции и коэффициент детерминации:

= = = 0.956

R² = 0,914

В случае степенной модели вариация валового выпуска на 95.6 % объясняется вариацией числа работников. Доля неучтенных факторов составляет 8.6 %.

Коэффициент детерминации степенной модели выше коэффициента детерминации линейной модели, но различия незначительны - менее 10 %. (6,2 %). Значение индекса близко к 1, что свидетельствует об очень сильной взаимосвязи исследуемых факторов.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 0,3571002*х^1,3974895

Расчетная в задании: Y(x) = 0,3571*х^1,3975

Стандартное отклонение: 1,9881345;

R² = 0.9138602

В. Показательная модель

= = 0,852

R² = 0,726

Связь в этой модели удовлетворительная

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 0,8971571*2,450054^х

Расчетная в задании: Y(x) = 0,897*2,46^х

Стандартное отклонение: 3,0569256;

R² = 0.7261552

Г. Гиперболическая модель

=

R² = 0,7056

Связь в этой модели удовлетворительная.

Контроль в программе Advenced Grapher 8.0

Формула: Y(x) = 8,7815289 - 16,7377103/х

Расчетная в задании: Y(x) = 8,7815 - 16,7377/х

Стандартное отклонение: 1,8718524

R² = 0,7055368

Вывод: Расчеты произведены правильно, о чем свидетельствуют данные стандартной расчетной Программы

Расчет относительных ошибок произведён в предыдущих расчетах.

3. Оценка статистической значимости регрессионных уравнений

Статистическую значимость уравнений регрессии оцениваем при помощи критерия Фишера (F - тест).

Пусть основная гипотеза Н0 состоит в предположении, что R² = 0? А альтернативная Н1 - R² 0. Основная гипотеза Н0 принимается в том случае, если расчетная F-статистика меньше критического значения:

F_факт = F_крит (б, df₁ = m; df₂ = n - m - 1)

в противном случае принимается гипотеза Н1

где df - число степеней свободы;

m - число факторов в модели;

n - число наблюдений.

Для линейной модели:

F_факт = = 23,49

Критическое значение критерия Фишера при уровне значимости 0,05; m = 1; n = 7 равна 5,59. Так как F_факт F_крит, то при доверии 95% принимается гипотеза Н1 о неслучайной природе выявленной зависимости и статистической значимости показателей тесноты связи.

Для остальных моделей:

Степенная модель: F_факт = = 53,14

Показательная модель: F_факт = = 13,25

Гиперболическая модель: F_факт = = 11,98

Таким образом, все модели выдержали тест на значимость, т. к. во всех случаях F_факт F_крит. Улучшение достоверности уменьшает критическую область: при уровне достоверности б = 0,01 критическое значение увеличивается до 12,25, и тогда в этом случае гиперболическая модель отпадает.

Сравним регрессионные модели по всем показателям и выделим лучшую

Сравнительный анализ характеристик регрессионных моделей
Модель	Линейная	Степенная	Показательная	Гиперболическая
rxy/	0.908	0.956	0.852	0.840
R2/r2	0.8245	0.914	0.726	0.7056
Э	1.042%	1.4%	1.3%	0.61%
А	38.74%	17.49%	36.76%	81.712%
F	23.49	53.14	13.25	11.98

Показатели тесноты связи указывают, что очень сильная связь исследуемых признаков: числа работников х и валовой продукции у у степенной и линейной модели (лучшая степенная); у показательной и гиперболической моделей связь удовлетворительно тесная

Наибольший коэффициент детерминации у степенной модели - 0,914, отличие от линейной меньше 10%. Значительно отстают показательная и гиперболическая модели.

Степенная модель оказалась и более эластичной - 1,4%.

Наилучшим образом экспериментальные и теоретические значения результативного признака согласуются для степенной модели : А = 17,49%. Наихудшее согласование у гиперболической модели.

F-тест на значимость выдержали все модели при уровне значимости 0,05

Таким образом, для степенной модели получены наилучшие показатели тесноты связи.

Графики моделей приведены в предыдущих расчетах.



Программа Advenced Grapher 8/ 0 показывает ещё следующие возможные регрессионные модели:

Логарифмическая модель:

Y(x) = 4.7189419*ln(x) -2.8745813

Стандартное отклонение 1,2853802

R² = 0.8611484

Экспотенциальная модель:

У(х) = 0,8971571*е^0,22х

Стандартное отклонение: 3,0569228

R² = 0.7261548

Полиноминальна модель

У(х) = -0,0714504х² + 1,8598х - 2,9675345

Стандартное отклонение: 1,1326346

R² = 0.8921867



Лучшая

Y(x) = 0,0080221х⁶ - 0,2899243х⁵ + 4,0186219х⁴ - 27,2974512х³ + 95,8786377х² - 163,8950124х + 106,6035793

R² = 0.9861976

Стандартное отклонение: 0,040621

4. Составление прогноза

Прогноз валовой продукции выполняем по лучшей модели - степенной.

Вначале рассчитаем прогнозной значение числа работников на уровне 90% от среднего значения:

х_р = 0,9 = 0,9

Точечный прогноз:

найдем значение у_р подстановкой в уравнение регрессии:

у_р = 0,3571*5,322861^1,3975 = 3,695



для построения доверительного интервала вычислим предварительно среднюю стандартную ошибку прогноза m_p и предельную ошибку .

= t_табл m_p

m_p = у_ост

где у_ост =

для степенной модели остаточная сумма: = 0,09586 в логарифмической форме, в действительной: 1,247, тогда

у_ост = = 0,4993 = 0,5

вычислим квадратичную сумму отклонений фактора х от среднего значения:

= n = 7 3.55706 = 24.89942

Стандартная ошибка прогноза:

m_p = 0,5 = 0,538

при уровне значимости 0,05 и степени свободы df = 7 - 1 - 1 = 5 определим критическое значение критерия Стьюдента t_табл = 2,57, следовательно, предельная ошибка

= t_табл m_p = 2,57*0,538 = 1,382

Таким образом, можно определить нижнюю и верхнюю границы доверительного интервала:

y_min = y_p - = 3.695 - 1.382 = 2.313

y_max = y_p + = 3.695 + 1.382 = 5.077

выполненный прогноз достаточно надежен (95%), но точность невысока, так как диапазон верхней и нижней границы доверительного интервала составляет 5,077/2,313 = 2,2 раза.



Задача 31

По данным основных показателей производства с/х предприятий:

а. Построить матрицу коэффициентов корреляции;

б. Вычислить стандартизированные коэффициенты, ранжировать факторы по силе их влияния;

в. Построить линейное уравнение множественной регрессии в нормальном масштабе;

г. оценить тесноту связи факторов с результативным признаком;

д. оценить качество и адекватность модели;

е. оценить статистическую значимость уравнения в целом и целесообразность включения в модель каждого из факторов.

Число работников на 100 га пашни (х1), затраты на производство продукции на 100 га пашни (х2) и валовая продукция в сопоставимых ценах на 100 га пашни (у).

Дано:

№ п/п	Площадь пашни, га	Число работников, сот. чел	Затраты на производство продукции, млн. руб.	Валовый доход, млн. руб
1	110	12,8	27,5	9,1
2	69	4,3	13,5	9,1
3	44	4,2	20,0	5,2
4	75	4,8	15,8	2,7
5	75	7,8	20,4	1,0
6	85	9,0	29,1	7,6
7	50	3,5	7,5	2,9
8	63	6,2	20,8	7,9
9	67	8,1	17,3	3,5
10	21	1,7	2,5	0,6
11	82	5,7	16,5	8,6
12	102	11,3	34,6	18,8
13	49	3,0	9,1	1,7
14	55	4,0	12,7	1,6
15	55	4,2	15,7	9,3
16	73	4,6	13,9	2,8
17	23	2,4	4,0	0,2
18	83	7,4	32,7	3,1
19	37	3,9	9,1	2,8
20	60	4,4	14,5	2,0

Решение.

Преобразуем таблицу в показателях на 100 га пашни

№№	Число работников, сот. чел	Затраты на производство продукции, млн. руб.	Валовый доход, млн. руб
	Х1	Х2	У
1	11,64	25,0	8,273
2	6,23	19,565	13,188
3	9,55	45,455	11,818
4	6,4	21,067	3,6
5	10,4	27,2	1,333
6	10,59	34,235	8,941
7	7,0	15,00	5,8
8	9,84	33,016	12,54
9	12,09	25,821	5,224
10	8,10	11,905	2,857
11	6,95	20,122	10,488
12	11,08	33,922	18,431
13	6,12	18,571	3,469
14	7,27	23,1	2,91
15	7,64	28,545	16,91
16	6,30	19,041	3,836
17	10,43	17,391	0,87
18	8,92	39,40	3,735
19	10,54	24,6	7,568
20	7,33	24,167	3,333

1. вычисляем средние значения факторов Х_i и У, несмещенные среднеквадратические отклонения и коэффициенты корреляции, используя стандартные программы Excel:

среднее значение выборочных данных - СРЗНАЧ();

среднеквадратическое отклонение - СТАНДОТКЛОН().

Характеристика положения и разброса факторов
	Х1	Х2	У
СРЗНАЧ	8,721	25,3562	7,2562
СТАНДОТКЛОН	2,02527	8,42908	5,15017
Коэффициенты межфакторной и парной корреляции
	Х1	Х2	У
Х1	1,00000
Х2	0,46155	1,00000
У	0,13817	0,44012	1,00000

Судя по коэффициентам корреляции умеренное влияние на объем валовой продукции оказывает производство продукции на 100 га пашни r_xy 0.4 и довольно слабое - количество человек, занятых в производстве:

r_xy 0.4.

Матрица коэффициентов корреляции будет включать коэффициенты корреляции У с Х₁ и Х₂ и коэффициенты межфакторной корреляции

R = =

detR = 1(1-0.46155²) - 0.13817(0.13817 - 0.46155*0.44012) + 0.44012(0.13817*0.46155 - 0.44012) = 0.78697 - (-0.00898) + (-0.16564) =

= 0.63031

2. Проверяем наличие мультиколлинеарности средипеременных. Вычисляем определитель матрицы межфакторных коэффициентов корреляции:

det₂R = = 1 - 0.46155² = 0.78697

Определитель ближе к 1, чем к нулю, что говорит о возможном отсутствии мультиколлениарности

Проверим основную гипотезу Н0 о независимости переменных detR = 1/

Гипотеза принимается в случае .

В противном случае следует принять альтернативную гипотезу Н1 о наличии мультиколлениарности detR = 0

Фактическое значение критерия:

= [n - 1 - (2m + 5)lgDetR = 20 - 1 - (2*2 + 5)lg0.78697 = 19.844

меньше критического значения = 43,8 при уровне значимости 0,05 и числе степеней свободы df = 0.5*20*14 = 140, То подтверждается гипотеза Н0 о независимости переменных.

Совокупное влияние факторов на результат характеризуется коэффициентами множественной детерминации и корреляции. При линейной зависимости коэффициент множественной корреляции можно определить, зная матрицу парных коэффициентов корреляции и определителя.

R_yx1x2 =

Тогда множественный коэффициент корреляции:

R_yx1x2 = = 0.446 0,5.

Следовательно, тесноту связи исследуемых факторов (численности и затрат на производство на 100 га пашни) с объемом валовой продукции можно оценить как среднюю.

3. Составим уравнения множественной регрессии

Сначала найдем стандартизированные коэффициенты регрессии из системы уравнений:

Уравнение регрессии в стандартизированном масштабе:

t_y = -0.08256t_x1 + 0.47825t_x2 +

так как по модулю, то по силе влияния на объем валовой продукции больше влияют затраты на производство.

Используя формулы перехода, находим коэффициенты регрессии и свободный член линейного уравнения:

b₁ = ₁ b₁ = -0.08256 = - 0.21

b₂ = ₂ b₁ = 0.47823 =0.292

a = - a = 7.2562 - (-0.21) 8.721 - 0.292 25.3562 = 1.6836

Уравнение регрессии в нормальном масштабе:

у = 1,6836 - 0,21х₁ + 0,292х₂ +

увеличение валового объема продукции достигается путем увеличения численности работающих или снижением издержек на производство.

Снижение затрат на производство на 1 руб/га увеличивает валовый объем на 0,292 процентных пункта и увеличение работающих на 100 чел приводит к увеличению валового объема на 0,21 процентный пункт.

4. Проверим значимость уравнения в целом при помощи критерия Фишера

Коэффициент детерминации R² = 0,199. Тогда согласно критерию Фишера:

F_факт = = = 2.125 не превышает

F_крит = (б - 0,05; df₁ = 2; df₂ = 17) = 3.59

Это говорит об отсутствии статистической значимости коэффициента детерминации и линейного уравнения множественности регрессии в целом.

Проверим также значимость включенных в уравнение переменных

Вычислим приращение коэффициента детерминации за счет каждого фактора Х.

= 0.08256*0.13817 = 0.0114

= 0.47823*0.44012 = 0.21

Основная гипотеза принимается при условии:

F_факт = F_крит = (б - 0,05; df₁ = 1; df₂ = 17)

F_{факт х1} = = 0,121 F_крит = (б - 0,05; df₁ = 1; df₂ = 17) = 4,45

F_{факт х2} = = 2,231 F_крит = (б - 0,05; df₁ = 1; df₂ = 17) = 4,45

Во обоих случаях основная гипотеза Н0 принимается, следовательно, для построения модели объема валовой продукции оба фактора не значимы!

5. Проведем оценку качества модели

Для этого вычислим теоретические значения объема валовой продукции для каждого набора факторов, абсолютные и относительные ошибки

Абсолютные и относительные ошибки
множественной регрессивной модели
№	Утеор	Е=У-Утеор	А,%	Е^2
1	6,5392	1,7338	20,9573	3,00606
2	6,08828	7,09972	53,8347	50,406
3	12,951	-1,133	9,58673	1,2836
4	6,49116	-2,8912	80,3101	8,35883
5	7,442	-6,109	458,29	37,3199
6	9,45632	-0,5153	5,76356	0,26555
7	4,5936	1,2064	20,8	1,4554
8	9,25787	3,28213	26,1733	10,7724
9	6,68443	-1,4604	27,9562	2,13286
10	3,45886	-0,6019	21,0662	0,36224
11	6,09972	4,38828	41,8409	19,257
12	9,26202	9,16898	49,7476	84,0701
13	5,82113	-2,3521	67,8043	5,53252
14	6,9021	-3,9921	137,186	15,9369
15	5,63917	11,2708	66,6519	127,032
16	5,92057	-2,0846	54,3423	4,34544
17	4,57147	-3,7015	425,457	13,7009
18	11,3152	-7,5802	202,95	57,4594
19	6,6534	0,9146	12,0851	0,83649
20	7,20106	-3,8681	116,054	14,9619
Итого	142,349	2,77545	1898,86	458,495
Среднее	7,49203	0,14608	99,9398

Средняя ошибка аппроксимации оказалась за рамками допустимых значений, вследствие чего качество построенной модели плохо



Задача 51

1. Применив необходимое и достаточное условие идентификации определить идентифицировано ли каждое уравнение модели;

2. Определить метод оценки параметров модели;

3. На основе приведенной формы модели определить все возможные структурные коэффициенты.

Дано:

Структурная форма модели:

Приведенная форма модели:

Решение:

1. Заданная модель имеет три эндогенные (У₁, У_2, У₃) и три экзогенные переменные (Х₁, Х₂, Х₃).

Проверим каждое уравнение системы на необходимое и достаточное условие идентификации.

Необходимое условие заключается в выполнении счётного правила:

D + 1 - уравнение неиндентифицировано;

D + 1 = Н - уравнение точно идентифицировано;

D + 1 - уравнение сверхидентифицировано

Где Н - число эндогенных переменных в уравнении; D - число отсутствующих экзогенных переменных в уравнении, но присутствующих в системе.

Проверяем это правило для всех исследуемых уравнений:

Первое уравнение	Второе уравнение	Третье уравнение
Присутствуют Y1 Y2	Отсутствует Х2	Присутствуют Y1 Y2	Отсутствует Х1	Присутствуют Y1 Y2 Y3	Отсутствует Х1 X2 X3
Н = 2	D = 1	Н = 2	D = 1	Н = 3	D = 3
D + 1 = Н	D + 1 = Н	D + 1 Н
Уравнение точно идентифицировано	Уравнение точно идентифицировано	Уравнение сверхидентифицировано

Достаточное условие идентификации заключается в том, что определитель матрицы, составленной из коэффициентов при переменных, отсутствующих в исследуемом уравнении, не равен 0, и ранг этой матрицы должен быть не менее числа эндогенных переменных в системе без единицы.

Построим матрицу коэффициентов системы

Уравнение	Х1	Х2	Х3	Y1	Y2	Y3
Первое	b11	0	b13	-1	c12	0
Второе	0	b22	b23	c21	-1	0
Третье	0	0	0	1	1	-1

Так как в первом уравнении отсутствуют две переменные Х₂ и Y₃, из коэффициентов при них во втором и третьем уравнениях получается квадратная матрица второго порядка:

Уравнение	Х2	Y3
Второе	b22	0
Третье	0	-1

Определитель данной матрицы не равен нулю:

DetA = -1 b₂₂ rangA = 2, что совпадает с числом эндогенных переменных в системе без 1, т. е. 3 - 1 = 2. Достаточное условие для первого уравнения выполняется и оно точно идентифицировано.

Во втором уравнении отсутствуют две переменные Х₁ и Y₃, из коэффициентов при них во втором и третьем уравнениях получается квадратная матрица второго порядка:

Уравнение	Х1	Y3
Первое	b11	0
Третье	0	-1

Определитель данной матрицы не равен нулю:

DetВ = -1 b₁₁ rangВ = 2, что совпадает с числом эндогенных переменных в системе без 1, т. е. 3 - 1 = 2. Достаточное условие для второго уравнения выполняется и оно точно идентифицировано.

В третьем уравнении отсутствует три переменных Х₁ , Х₂ и Х₃

из коэффициентов при них во втором и третьем уравнениях получается прямоугольная матрица :

Уравнение	Х1	Х2	Х3
Первое	b11	0	b13
Второе	0	b22	b23

Из элементов этой матрицы можно составить определители второго порядка, отличные от нуля:

DetС = b₁₁b₂₂

DetС = b₁₁b₂₃

DetС = - b₁₃b₂₂ rangС = 2, что совпадает с числом эндогенных переменных в системе без 1, т. е. 3 - 1 = 2. Достаточное условие выполняется

Следовательно, первые два уравнения точно идентифицированы, третье - сверхидентифицируема, таким образом, вся система сверхидентифицируема.

5. Определение структурных коэффициентов

Так как первые два уравнения точно идентифицированы, находим соответствующие структурные коэффициенты путем следующих преобразований:

Для определения структурных коэффициентов первого уравнения за основу возьмем первое приведенное уравнение, в котором необходимо избавиться от Х₂ и ввести переменную Y₂. Поэтому выражаем Х₂ из второго приведенного уравнения и подставляем его в первое:

Х₂ =

Таким образом, а₁ = 3,167; b₁₁ = 9,2; b₁₃ = 2,083; c₁₂ = 0,183

Для определения структурных коэффициентов второго уравнения за основы берем второе приведенное уравнение, где необходимо избавиться от Х₁ и ввести переменную Y₁. Поэтому выражаем Х₁ из первого приведенного уравнения и подставляем его во второе:

Х₁ =

Таким образом, а₂ = 1,429; b₂₂ = 78,857; b₂₃ = 0,143; c₂₁ =1,714

В силу того, что третье уравнение сверхиндентифицируемо его структурные коэффициенты не подлежат точному определению. Для их расчета можно применить двухшаговый метод наименьших квадратов: на основе первого приведенного уравнения вычисляют теоретические значения ₁ и используя или наблюдаемые значения Х₂, вычисляют параметры третьего структурного уравнения, применяя МНК.



Задача 71

По условным поквартальным данным розничного товарооборота областей Х за три года (в % к уровню 1-го квартала):

а. Построить график временного ряда;

б. Построить аддитивную или мультипликативную модель временного ряда;

в. Оценить качество модели через показатели средней абсолютной ошибки, среднего относительного отклонения и коэффициента детерминации.

Исходные данные
Поквартальный розничный товарооборот, %
Номер квартала
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
100	93,5	95,6	102,1	107,8	96,3	95,7	98,2	105,1	99,3	98,9	101,9

Решение:

1. Построение временного ряда

По оси абсцисс откладываем кварталы, по оси ординат - размер товарооборота



Очевидно, что имеется тенденция к снижению розничного товарооборота:

О чем говорит «красная» аппроксимация.

Поскольку амплитуда колебаний изменяется от квартала к кварталу, возможно, лучшее соответствие покажет мультипликативная модель.

2. Построение аддитивной и мультипликативной моделей

Построим аддитивную и мультипликативную модели динамического ряда из трех компонент: тренда; квартальной; случайной.

y_адд = Т + S + E

y_мульт = Т S E

Начнем с выделения квартальной компоненты. Для этого произведем сглаживание временного ряда посредством усреднения уровней временного ряда по 4 соседним кварталам, каждый раз продвигаясь вперед на 1 шаг - вычисляем скользящую среднюю:

CC_k =

k =

где - номер квартала

Для первых 4 кварталов:

k = = 2,5

CC_k = = 97,8

Затем оцениваем квартальные (сезонные) компоненты

Аддитивные: S_адд = у - ЦCC

Мультипликативные: S_мульт = у/ЦСС

Дальнейшие расчеты произведем в Excel:

Выравнивание исходного ряда и
оценка сквартальных компонент
№	У	СС	ЦСС	Sa=y-ЦСС	Sм=y/ЦСС
1	100
2	93,5
3	95,6	97,8	97,8	-2,2	0,97751
4	102,1	97,8	97,8	4,3	1,04397
5	107,8	99,75	98,775	9,025	1,09137
6	96,3	100,45	100,1	-3,8	0,96204
7	95,7	100,475	100,463	-4,7625	0,95259
8	98,2	99,5	99,9875	-1,7875	0,98212
9	105,1	98,825	99,1625	5,9375	1,05988
10	99,3	99,575	99,2	0,1	1,00101
11	98,9	100,375
12	101,9
Итого	1194,4			6,8125	8,07048
Средняя	99,5333

Сезонная составляющая изменяется от квартала к кварталу, поэтому вычисляем усредненные величины за период наблюдения. Для этого просуммируем S отдельно за каждый квартал и находим их средние значения. Кроме того, в моделях с квартальной компонентой обычно полагают, что сезонные воздействия за год должны нивелировать друг друга. В случае построения аддитивной модели сумма квартальных компонент должна быть нулевой. Так как на самом деле сумма отличается от нуля необходимо произвести коррекцию:

К_адд = 0 k_адд = К_адд /4 S_адд = - k_адд

Разделим 12 кварталов на 3 года

Расчет сезонной аддитивной модели

	1	2	3	4	Итого
1 год			-2,2	4,3
2 год	9,025	-3,8	-4,7625	-1,7875
3 год	5,9375	0,1
Итого	14,9625	-3,7	-6,9625	2,5125
Среднее	4,9875	-1,2333	-2,3208	0,8375	2,27083
S	4,41979	-1,801	-2,8885	0,26979	0
Поправка	0,56771

Здесь корректирующая поправка k_адд =2,27083/4 =0,56771

В мультипликативной модели сумма квартальных компонент должна быть равна числу периодов кварталов

К_адд = 4 k_адд = 4/К_адд S_мульт = * k_адд

Расчет сезонной мультипликативной модели

	1	2	3	4	Итого
1 год			0,97751	1,04397
2 год	1,09137	0,96204	0,95259	0,98212
3 год	1,05988	1,00101
Итого	2,15125	1,96305	1,9301	2,02609
Среднее	0,71708	0,65435	0,64337	0,67536	2,69016
S	1,06623	0,97295	0,95662	1,0042	4
поправка	1,4869

Корректирующий множитель: k_адд = 4/2,69016 = 1,4869.

За исследуемый промежуток времени максимальный объем товарооборота приходится на 5-ый квартал и составляет 107,8 %.

3. Нахождение тренда

Сформируем динамические ряды, в которых исключаем сезонную компоненту из наблюдений для аддитивной модели (y - S) и для мультипликативной модели (y/S) и найдем для них уравнения линейного тренда Т = a + bt, где в качестве независимой переменной выступает фактор времени t - текущий номер квартала. Параметры тренда определяются МНК или при помощи встроенных функций в Excel: КОРРЕЛ() для определения коэффициента корреляции; ОТРЕЗОК() - свободного члена в линейном уравнении тренда; НАКЛОН() - коэффициента регрессии.

Расчет линейного тренда
№ кв	у	Аддитивная модель	Мультипликативная модель
		Sадд	у-Sадд	Тадд	Sмульт	у/S мульт	Тмульт
1	100	4,41979	95,580208	97,1946	1,06623	93,7884	96,8709
2	93,5	-1,801	95,301042	97,6198	0,97295	96,0993	97,3625
3	95,6	-2,8885	98,488542	98,0451	0,95662	99,9351	97,8541
4	102,1	0,26979	101,83021	98,4703	1,0042	101,673	98,3457
5	107,8	4,41979	103,38021	98,8955	1,06623	101,104	98,8374
6	96,3	-1,801	98,101042	99,3207	0,97295	98,9771	99,329
7	95,7	-2,8885	98,588542	99,7459	0,95662	100,04	99,8206
8	98,2	0,26979	97,930208	100,171	1,0042	97,7896	100,312
9	105,1	4,41979	100,68021	100,596	1,06623	98,5716	100,804
10	99,3	-1,801	101,10104	101,022	0,97295	102,061	101,295
11	98,9	-2,8885	101,78854	101,447	0,95662	103,385	101,787
12	101,9	0,26979	101,63021	101,872	1,0042	101,474	102,279
КОРРЕЛ		0,5932121			0,65119
ОТРЕЗОК		96,769413			96,3793
НАКЛОН		0,4252185			0,49161

Таким образом, получаем следующие линейные тренды:

Т_адд = 96,7694 + 0,4252 t

T_мульт = 96,3793 + 0,4916 t

4. Для оценки качества и сравнения двух моделей вычисляем теоретические значения уровней ряда (T + S) и (T*S), абсолютные ошибки е_адд = у - ( T + S), e_мульт = у/(T*S), ошибки аппроксимации А и средние значения.

Расчет абсолютных и относительных ошибок
№ кв	аддитивная модель	мультипликативная модель
	T+S	/e/	e^2	A	T*S	/e/	e^2	A
1	101,614	1,61442	2,60636	1,61442	103,287	0,96818	0,93737	0,96818
2	95,8188	2,31881	5,37687	2,48001	94,7291	0,98703	0,97422	1,05564
3	95,1565	0,44347	0,19667	0,46388	93,6093	1,02127	1,04298	1,06827
4	98,7401	3,35992	11,2891	3,29081	98,7585	1,03384	1,06882	1,01257
5	103,315	4,4847	20,1126	4,16021	105,383	1,02293	1,04639	0,94892
6	97,5197	1,21968	1,48763	1,26654	96,6423	0,99646	0,99293	1,03474
7	96,8574	1,1574	1,33958	1,20941	95,4905	1,00219	1,00439	1,04723
8	100,441	2,24095	5,02187	2,28203	100,733	0,97485	0,95034	0,99272
9	105,016	0,08383	0,00703	0,07976	107,48	0,97786	0,9562	0,93041
10	99,2206	0,07944	0,00631	0,08	98,5556	1,00755	1,01516	1,01466
11	98,5583	0,34172	0,11678	0,34553	97,3716	1,0157	1,03164	1,02699
12	102,142	0,24183	0,05848	0,23732	102,708	0,99213	0,98433	0,97364
Итого		17,5862	47,6192	17,5099		12	12,0048	12,074
Среднее		1,59874		1,59181		1,09091		1,09763
Soct/Sобщ			0,15397				0,08337
R^2			0,84603				0,91663

По результатам вычислений очевидно, что лучшей является мультипликативная модель с меньшими ошибками и большим коэффициентом детерминации.

Размещено на Allbest.ru